Доказать что функции при x 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости

Доказать что функции при x 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости

Рассмотрим функцию, определенную в некоторой окрестности точки , , за исключением, быть может, самой точки . Функция называется бесконечно малой при , стремящемся к , если . Если — бесконечно малая в точке , то для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Неравенства для всех , эквивалентные неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для график функции расположен на плоскости в прямоугольнике . Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию. При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.

ПРИМЕР 1. Бесконечно малые функции

Пусть и — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.

ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают

.

ПРИМЕР 3. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Доказать что функции при x 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Можно доказать и обратную теорему.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

.

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример..

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b 3 – 6x 2 + 11x– 6, то при делении получим

II. Неопределенность .

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

При вычислении предела воспользовались равенством ,если x

Источник

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Это свойство имеет два частных случая.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций

Приведенные выше свойства выполняются, если функция ограничена, а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом. При этом эти функции не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти функции будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Доказательство свойств и теорем

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Поскольку произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
Согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Источник

Эквивалентные бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно больших функций.

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Среди б.м. функций одного порядка особое место в приложениях занимают эквивалентные б.м. функции. Определение 10.5. Б.м. при х а функции а(х) и Р(х) называют эквивалентными при х а и обозначают ), если предел их отношения при х а равен единице, или Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции. Сравнение бесконечно больших функций Свойство эквивалентности б.м. функций симметрично, поскольку из (10.8) следует lim Транзитивность свойства эквивалентности вытекает с учетом (10.8) непосредственно из (10.2).

аР(х) иногда называют асимптотическим равенством функций а(х) и 0(х) в окрестности точки а. Данное асимптотическое равенство можно читать слева направо и справа налево. Но обычно слева записывают изучаемую функцию, а справа эквивалентную ей более простую или более изученную функцию, и в этом случае говорят, что установлена асимптотика изучаемой функции в окрестности данной точки. Теорема 10.2.

Q х. (10.12) 4. Из непрерывности в точке t = 0 функции x(t) = arctg£ (см. 9.5) следует lira arctgt = arctgO = 0. Тогда из (10.11) и t^o теоремы 10.3 t = tg(arctgt), или, обозначая аргумент через х, имеем 5. Исходя из второго замечательного предела, заключаем, что lim(l-f х).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Еще раз отметим, что, согласно теореме 10.3, в этой цепочке эквивалентных при х —> 0 б.м. функций аргумент х сам может быть функцией, которая отлична от нуля в некоторой о проколотей окрестности U(r) точки г и timx(t) = 0. В частности, при а > 0 будем иметь Полагая, например, в (10.14) х = t — 1, при t —t 1 получим ln(l + t-l)£lt-l. Итак, Учитывая (10.14), (10.16) и (10.20), можно, например, записать ln(l+sinx)x

0tgx, ec08X-lr_^y2cosx, Incosx^^cosx-1. Теорема 10.4. Пусть a(x) и /(х) — некоторая функция, определенная в проколотой окрестности точки а.

Пусть an(x), n=l, N> — б.м. при х-ta функции и а(х) —их сумма.

Если для n = 2, N orn(x)x=eo(ai(x)), то ai(x) называют главной частью суммы б.м. при х а функций. Инаг че, главная часть суммы б.м. — это слагаемое более низкого порядка малости по сравнению с каждым из остальных слагаемых. Ясно, что если в сумме есть несравнимые слагаемые (см. определение 10.3), то выделить главную часть не удается. Пример 10.6. Для суммы sins + ln(l + ж2) + ^/х б.м. при х 0 функций главной частью будет f/xy поскольку с учетом (10.18) и теоремы 10.4 согласно определению.

Теорема 10.6:

Сумма конечного числа б.м. при х а функций эквивалентна своей главной части, или 4 Если ai(s) — главная часть суммы a(x), то с учетом свойства (7.22) суммы функций, имеющих конечные пределы) и определения 10.2 найдем I что, согласно (10.8), означает эквивалентность при х а суммы б.м. функций и ее главной части. Следствие 10.1. В некоторой проколотой окрестности о U (а) точки а сумма конечного числа б.м. при х а функций сохраняет знак своей главной части, или В ходе доказательства теоремы 10.5 установлено, что при х а а(х)/а\(х) 1.

Из свойства функции, имеющей в точке а отличный от нуля конечный предел, сохранять в некоторой проколотой окрестности этой точки знак предела, следует (10.23). Пример Ю.в. а. Вычислим то в силу Главной частью числителя дроби под знаком предела будет б.м. при х 0 функция которая, согласно теореме 10.5, эквивалентна при х 0 всему числителю. Из (10.18) и теоремы 10.3 sin yfx^^ Ух. Таким образом, и числитель, и знаменатель эквивалентны одной и той же б.м. при х 0 функции т.е. в силу (10.9) они эквивалентны при х 0 между собой, и искомый предел равен, по определению 10.5, единице.

QAxk. Для этого преобразуем: 24-644 Нетрудно заметить, что у(х)х

0-х2/8. Отсюда А =-1/8 и к = 2. Тогда Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции. Сравнение бесконечно больших функций где £(x)r=^o(x2).

Сравнение бесконечно больших функций

Для 6.6. функций можно ввести классификацию, аналогичную классификации б.м. функций (см. 10.1), также связанную с пределом их частного. Пусть v(s) и w(x) — функции, б.б. при х а (см. определение 7.11), где а — конечная или бесконечная точка расширенной числовой прямой. Если существует lim v(x)/w(x) = с6 R \ <0>, то в этом х—¥а случае v(x) и w(x) называют б.б. функциями одного порядка при х а и записывают v(x)x=aO(u;(a;)) или t0(s)r=aO(v(a:)).

При с = 0 v(x) называют б.б. функцией более низкого порядка роста по сравнению с w(x) при х а и записывают а в случае бесконечного предела отношения v(x)/w(x) — б.б. функцией более высокого порядка роста по сравнению с w(x) при х а и записывают w(x)x=eo(t;(a;)) (слово „роста» часто опускают). Наконец, если не существует ни бесконечного, ни конечного предела этого отношения, то и(х) и ги(х) называют несравнимыми при х а б.б. функциями. Пример 10.9. а.

Аналогично, если в сумме конечного числа б.б. функций при х а можно указать для каждого слагаемого порядок роста к относительно 1/(х — а), слагаемое высшего порядка будет также главной частью такой суммы при хча, если это слагаемое единственное. Например, в сумме l/sin2g+ctgz двух б.б. функций при х 0 согласно (10.18) первое слагаемое имеет второй порядок относительно 1/х, а второе — первый порядок. Поэтому главной частью этой суммы при х —>0 будет l/sin2x. Утверждение 10.2.

Сумма конечного числа б.б. функций эквивалентна своей главной части. В общем случае можно говорить о главной части не только алгебраической суммы конечного числа б.б. при х а (или при х оо) функций, но и произвольной по структуре функции f(x)y эквивалентной при х а степенной функции А/(х — а)* (при х оо —степенной функции Ахк), Аф 0, к > 0. Эта степенная функция и будет главной частью б.б. функции соответственно при х —у а или при х оо. Путь нахождения коэффициента А и показателя степени к основан на использовании определения 10.7 и утверждения 10.2 и подобен процедуре выделения главной части б.м. функции.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник