Доказать что функция измерима

§ 5. Измеримые функции. Примеры

3) Ступенчатая на данном сегменте функция является измеримой на нем.

Тогда ясно, что при множество либо пусто, либо представляет собой объединение конечного числа промежутков, т.е. является элементарным множеством. Все элементарные множества являются измеримыми, поэтому любая ступенчатая функция является измеримой.

Заметим, что ступенчатая функция может иметь точки разрыва. Значит, разрывные функции могут быть измеримыми.

4) Легко проверить, что функция на сегменте измерима.

6) Функция Дирихле измерима на любом сегменте (хотя все точки этого отрезка ( при ) являются точками разрыва этой функции).

Получили всего три вида измеримых множеств, а поэтому функция Дирихле также измерима.

Значит, всюду разрывная на данном промежутке функция может быть измеримой на нем.

Изучая вопросы обратимости утверждения 7), Н. Н. Лузин доказал, что измеримая на сегменте функция становится непрерывной, если изменить ее значения на множестве сколь угодно малой меры.

Источник

Тема 6. Измеримые функции

1. Функции, измеримые по Лебегу

2. Свойства функций, измеримых по Лебегу.

См. список литературы: [4, гл. 5.5]; [5, гл. 4.1 – 4.2].

Краткие теоретические сведения

Пусть задана некоторая функция f : E → R. Множество решений неравенства f(x) ≤ A будем обозначать символом Е(f ≤ A). Аналогичный смысл имеют обозначения Е(f A).

Функция f : E → R называется измеримой на множестве Е, если:

1) множество Е – измеримо;

2) для любого А множество Е(f > A) – измеримо (- ∞ A) измеримо для любого А, то измеримы и множества Е(f ≥ A), Е(f ≤ A), Е(f 3 измерима на Е, то и f(x) измерима на Е.

96. Показать, что из того, что функция измерима на Е, еще не следует, что f(x) измерима на Е.

97. Доказать, что если f(x) определена и непрерывна на [a; b], то она измерима на нем.

98. Говорят, что некоторое свойство имеет место почти всюду на Е, если оно выполняется во всех точках множества Е за исключением, быть может, некоторого его подмножества меры нуль.

Доказать, что если f(x) непрерывна почти всюду на Е, то она измерима на нем. Будет ли непрерывная функция, заданная на произвольном измеримом множестве Е, измерима на нем?

99. Доказать, что монотонная функция f(x), заданная на измеримом множестве Е, измерима на нем.

100. Пусть функция f(x) измерима на Е. Доказать измеримость следующих функций:

f(x) + K; k · f(x); [f(x)] 2 ; ; (f(x) 0).

101. Доказать, что сумма и разность измеримых функций есть функция измеримая.

102. Если существует такое число М, что для любого разбиения отрезка

[a; b] на конечное число частей выполняется неравенство:

,

то функция f(x) называется функцией с ограниченным изменением на отрезке [a; b].

Доказать, что функция с ограниченным изменением на [a; b] измерима на [a; b].

103. Пусть f : E → R и g : E → R – измеримые функции. Доказать, что множество Е(f > g) измеримо по Лебегу.

104. Дана измеримая функция f : E → R и Е₁ – измеримое подмножество множества Е. Является ли множество f(Е₁) измеримым? Если нет – привести пример.

105. Пусть Е = , где Е, Е_i – для любого i измеримы, и

106. Доказать измеримость следующих функций, определенных на

а)

б)

где Р₀ – совершенное множество Кантора, G₀ – дополнение множества Р₀ до отрезка [0; 1];

в)

г)

д)

е)

Источник

Курсовая работа: Измеримые функции

Определение и простейшие свойства измеримой функции

—,

и мы устанавливаем для них следующие законы действий:

+±a=+, ++(+)=+, +-(-)=+,

½+½=½-½=+, +×a=a×(+)=+,

—×a=a×(-)=-, если a>0,

+×a=a×(+)=-,

—×a=a×(-)=+, если a a)

обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.

Аналогичным образом вводятся символы

Е(f³а), Е(f=а), Е(f£а), Е(а а), В(f>а)

В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все множества Е(f>а) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.

Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

Это утверждение очевидно.

Действительно, А(f>а) =А×Е (f>а).

Теорема 3. Пусть f ( x ) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Е _k :

E= ×

Если f ( x ) измерима на каждом из множеств E_{R .} , то она измерима и на Е.

В самом деле, E(f>a)= .

Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так:

Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е₀ множества Е. Если mЕ₀ = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.

В частности, множество исключительных точек Е₀ может быть и пустым.

Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.

Теорема 4. Если f (х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g ( x )

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А = Е (f¹ g), B = E – A. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.

Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f ( x ) = c , то функция f ( x ) измерима.

E ( f > a ) =

Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.

Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b] разложить точками.

с₀ = а a), E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f ( x ), заданная на множестве Е, измерима, а k конечное число, то измеримы и функции 1) f ( x ) + k , 2) kf ( x ), 3) ç f ( x ) ç , 4) f 2 ( x ), и если f ( x ) ¹ 0, то измерима и функция 5) .

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих kизмеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

E (f 2 > a) =

вытекает измеримость функции f 2 (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость .

Теорема 8 . Функция f ( x ), заданная и непрерывная на сегменте Е= , измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

замкнуто. Действительно, если x₀ есть предельная точка этого множества и x_n ®x₀ (x_n ÎF ), то f(x_n ) £aи, в силу непрерывности f(x), будет f(x₀ ) £a, т.е. x₀ ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция j _м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция j_M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции j_М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f (х) и g (х), то множество Е ( f > g ) измеримо.

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

3) Измеримость произведения f(x) . g(x) вытекает из тождества

f(x) . g(x)=<[f(x)+g(x)]-[f(x)-g(x)]>

4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества

=f(x) ·.

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f ₁ ( x ), f ₂ ( x ), … Если в каждой точке хЕ существует (конечный или бесконечный) предел

F(x)=f_n (x),

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

А=Е(f> a + ), В=.

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

E(F>a) = .

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть хЕ (F>a), тогда F (x₀ ) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x₀ ) > a + 1/m. Поскольку же f_k (x) F (x₀ ), то найдется такое n, что при knбудет

f_k (x₀ ) > a + .

Иначе говоря, х₀ А при всех kn, а тогда х₀ В и тем более х₀ . Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

E (F > a),

и теорема будет доказана.

Пусть х₀ . Тогда х₀ Впри некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х₀ А для kn. Иначе говоря для kn будет f_k (x₀ ) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x₀ )>a, т.е. x₀ ÎE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

( a)

выполняется почти везде на Е, то F ( x ) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X Î Е, в которых соотношение (a) не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.

Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.

В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|f – g| ³s), Е (|f – g| 0, будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.

.

MQ = 0 (1)

, , .

Все эти множества измеримы.

Так как R₁ (s)ÉR₂ (s)ÉR₃ (s)É…, то, в силу теоремы 12, при n®¥ будет

Убедимся в том, что

В самом деле, если , то , причем все числа f₁ (x₀ ), f₂ (x₀ ), … и их предел f (x₀ ) – конечны. Значит найдется такое n, что для k³ n будет |f_k (x₀ ) – f(x₀ ) * ) сходится к функции f ( x ) по мере.

Мы будем, следуя Г.М.Фихтенгольцу, обозначать сходимость по мере символом

С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать теорему Леберга так.

Теорема 1*. Если последовательность функций сходится почти везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.

Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.

В частности, f₁ (1) (x) º 1 на [0, 1). Нумеруя все построенные функции подряд одним значком, мы получим последовательность

Легко видеть, что последовательность функций j_n (x) сходится по мере к нулю. В самом деле, если j_n (x) = f_i ( k ) (x), то при любом s>0 будет

и мера этого множества, равная 1/k, стремится к нулю с возрастанием n.

Вместе с тем, соотношение j_n (x)®0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0, 1). Действительно, если так что f_i ( k ) (x₀ ) = 1. Иначе говоря, как далеко мы не продвинемся вдоль ряда чисел j₁ (x₀ ), j₂ (x₀ ), j₃ (x₀ ), …, мы всегда будем встречать в этом ряду числа, равные 1, что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие, существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и тем более, чем понятие сходимости везде.

Естественно спросить, в какой степени соотношение

определяет функцию f(x), т.е. единственна ли предельная функция при сходимости по мере.

Теоремы 2 и 3 позволяют ответь на этот вопрос.

Теорема 2. Если последовательность функций f_n ( x ) сходится по мере к функции f ( x ), то эта же последовательность сходится по мере ко всякой функции g ( x ), эквивалентной функции f ( x ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом s > 0 будет

откуда (поскольку mE (f¹g) = 0)

что и доказывает теорему.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что при s > 0 будет

(*)

ибо точка, не входящая в правую часть этого соотношения, и подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения

показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что mE (êf_n – gê³s) = 0.

Но так как

g, что и требовалось доказать.

Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство единственной предельной функции для сходимости по мере, мы должны были бы условиться считать эквивалентные функции за тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах теории функций, т.е. в тех вопросах, где все свойства функций изучаются с помощью меры множеств, на которых функция обладает или не обладает тем или другим свойством. В интегральном исчислении мы надем много примеров подобного подхода к вещам.

Хотя сходимость по мере общее сходимости почти везде, имеет место все же следующая теорема.

Теорема 4 (Ф.Рисс). Пусть <fn ( x )> последовательность функций, которая сходится по мере к функции f ( x ). В таком случае существует подпоследовательность

Пусть, далее, h₁ +h₂ +h₃ +¼ (h_k >0) есть сходящийся положительный ряд.

Теперь мы можем построить требуемую последовательность индексов

Вообще через n_k мы обозначаем такое число, что

Последовательность (*), таким образом, построена.

Теперь установим, что почти везде на множестве E будет

(**)

, .

C другой стороны, очевидно, что так что mR_i ®0 и, стало быть, mQ=0.

В таком случае, для любого d >0 существует такое измеримое множество Е _d Е, что:

2) на множестве E _d стремление(*) происходит равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s >0 будет

(1)

где .

Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд

и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел

По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений

А₁ É А₂ É А₃ É …,

будет (теорема 12) при k®¥

Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [ a , b ]. Если функция j( x ) задана и непрерывна на множестве F , то можно определить на [ a , b ] функцию y( x ) со следующими свойствами

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через [a, b] наименьший сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция y(x) была уже построена на сегменте [a, b], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая

чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [a, b].

Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [a, b] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Если F = [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что F¹ [a, b]. Тогда множество [a, b] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).

Зададим функцию y(x), полагая ее равной j(x) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.

Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [a, b] – F очевидна.

Если точка х₀ служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции y(x) в этой точке слева очевидна.

Пусть же x₀ не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x₁ 0 и e >0 существует непрерывная на [ a, b] функция y( x), для которой

mE(| f- y| ³ s) 0 и e >0, найдем столь большое натуральное m, что K/m s₂ >s₃ >…, s_n ®0,

построим для каждого n такую непрерывную функцию y_n (x), что

mE(|f-y_n |³s_n ) 0 ни взять, для n³n₀ будет s_n 0, существует такая непрерывна функция j( x ), что

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →