Доказать что функция является метрикой

Теория функций действительного переменного/Метрическое пространство

В основе математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности и операция предельного перехода. Достаточно сказать, что производная и определённый интеграл определяются через понятие предела. При определении предела используется тот факт, что на числовой прямой определено расстояние между вещественными числами. Но оказывается, что для формулировки многих фундаментальных понятий и доказательства различных теорем анализа важна не природа действительных чисел, а только само понятие расстояния. Обобщением представления о расстоянии между действительными числами на случай произвольного множества является понятие метрики, которое мы сейчас введём.

Содержание

Определение метрического пространства [ править ]

Пусть M — некоторое непустое множество, ρ — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества M некоторое вещественное число:

отображение ρ называется метрикой, если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):

\rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)>.

Совокупность множества M и определённой на нём метрики ρ называют метрическим пространством и обозначают (M,ρ). Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество М. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая. Покажем, что множество вещественных чисел с метрикой ρ(x, y)=|х — у| является метрическим пространством. Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа

Все аксиомы метрического пространства выполняются, по свойствам модуля:

|x-y|=0\Leftrightarrow x=y> , | x − y | = | − ( y − x ) | = | − 1 | ⋅ | y − x | = | y − x | <\displaystyle

|x-y|=|-(y-x)|=|-1|\cdot |y-x|=|y-x|> , | x − y | = | x − z + z − y | ≤ | x − z | + | z − y | <\displaystyle

|x-y|=|x-z+z-y|\leq |x-z|+|z-y|> .

Пусть (M, ρ) — метрическое пространство, и A — непустое подмножество множества M, тогда (A, ρ) — тоже является метрическим пространством, которое называется подпространством метрического пространства (M,ρ).

Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:

а следовательно, если взять естественную для вещественных чисел метрику

будет метрическим пространством.

В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство. Действительно, если для элементов произвольного множества ввести так называемую дискретную метрику:

то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек.

На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно. Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.

Свойства метрики [ править ]

Рассмотрим некоторые свойства метрики, которые могут быть выведены из её определения.

Свойство 1. Метрика является неотрицательной функцией:

По аксиоме тождества

\forall x\in M:\rho (x,x)=0> .

С другой стороны, по аксиоме треугольника:

\forall y\in M:\rho (x,x)\leq \rho (x,y)+\rho (y,x)> .

В силу аксиомы симметрии:

\rho (x,y)=\rho (y,x)> ,

Откуда и получается, что

Свойство 2 (Неравенство многоугольника). Для любой конечной системы элементов

множества M имеет место неравенство

Доказательство проводится с помощью метода математической индукции, база индукции — аксиома треугольника.

Но по предположению:

Свойство 3 (Неравенство четырёхугольника). Для любых четырёх элементов

имеет место неравенство

Сравнивая два эти неравенства, получим

Свойство 3а (Второе неравенство треугольника). Для любых трёх элементов

имеет место неравенство

Важные неравенства [ править ]

Для проверки аксиомы треугольника для различных пространств полезны следующие леммы.

Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского):

| ∑ i = 1 n a i b i | ≤ ∑ i = 1 n a i 2 ⋅ ∑ i = 1 n b i 2 <\displaystyle \left|\sum _^a_b_\right|\leq <\sqrt <\sum _^a_^<2>>>\cdot <\sqrt <\sum _^b_^<2>>>> .

F ( t ) = ∑ i = 1 n ( a i t + b i ) 2 ≥ 0 <\displaystyle F(t)=\sum _^(a_t+b_)^<2>\geq 0> .

Применим формулу квадрата суммы:

F ( t ) = t 2 ∑ i = 1 n a i 2 + 2 t ∑ i = 1 n a i b i + ∑ i = 1 n b i 2 <\displaystyle F(t)=t^<2>\sum _^a_^<2>+2t\sum _^a_b_+\sum _^b_^<2>> .

Пусть сначала все a i <\displaystyle a_> равны нулю. В этом случае

Теперь будем считать, что

D = 4 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − 4 ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 <\displaystyle D=4\left(\sum _^a_b_\right)^<2>-4\sum _^a_^<2>\sum _^b_^<2>> ,

( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 ≤ 0 <\displaystyle \left(\sum _^a_b_\right)^<2>-\sum _^a_^<2>\sum _^b_^<2>\leq 0>

( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 <\displaystyle \left(\sum _^a_b_\right)^<2>\leq \sum _^a_^<2>\sum _^b_^<2>> .

Лемма 2 (неравенство Минковского):

∑ i = 1 n ( a i + b i ) 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 + ∑ i = 1 n b i 2 <\displaystyle <\sqrt <\sum _^(a_+b_)^<2>>>\leq <\sqrt <\sum _^a_^<2>>>+<\sqrt <\sum _^b_^<2>>>> .

По формуле квадрата суммы и в силу неравенства Коши-Буняковского:

∑ i = 1 n ( a i + b i ) 2 = ∑ i = 1 n a i 2 + 2 ∑ i = 1 n a i b i + ∑ i = 1 n b i 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 + 2 ∑ i = 1 n a i 2 ⋅ ∑ i = 1 n b i 2 + ∑ i = 1 n b i 2 <\displaystyle \sum _^(a_+b_)^<2>=\sum _^a_^<2>+2\sum _^a_b_+\sum _^b_^<2>\leq \sum _^a_^<2>+2<\sqrt <\sum _^a_^<2>>>\cdot <\sqrt <\sum _^b_^<2>>>+\sum _^b_^<2>> .

Правая часть этого неравенства может быть записана в виде квадрата суммы:

∑ i = 1 n a i 2 + 2 ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 + ∑ i = 1 n b i 2 = ( ∑ i = 1 n a i 2 + ∑ i = 1 n b i 2 ) 2 <\displaystyle \sum _^a_^<2>+2<\sqrt <\sum _^a_^<2>>><\sqrt <\sum _^b_^<2>>>+\sum _^b_^<2>=\left(<\sqrt <\sum _^a_^<2>>>+<\sqrt <\sum _^b_^<2>>>\right)^<2>> .

∑ i = 1 n ( a i + b i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n a i 2 + ∑ i = 1 n b i 2 ) 2 <\displaystyle \sum _^(a_+b_)^<2>\leq \left(<\sqrt <\sum _^a_^<2>>>+<\sqrt <\sum _^b_^<2>>>\right)^<2>> .

Неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.

Лемма 3 (Интегральное неравенство Коши-Буняковского).

∫ a b f ( t ) g ( t ) d t ≤ ∫ a b f 2 ( t ) d t ⋅ ∫ a b g 2 ( t ) d t <\displaystyle \int \limits _^f(t)g(t)dt\leq <\sqrt <\int \limits _^f^<2>(t)dt>>\cdot <\sqrt <\int \limits _^g^<2>(t)dt>>> .

Рассмотрим неотрицательную функцию

F ( λ ) = ∫ a b [ f ( t ) λ + g ( t ) ] 2 d t <\displaystyle F(\lambda )=\int \limits _^[f(t)\lambda +g(t)]^<2>dt> .

По свойствам интеграла и формуле квадрата суммы:

F ( λ ) = λ 2 ∫ a b f 2 ( t ) d t + 2 λ ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t + ∫ a b g 2 ( t ) d t <\displaystyle F(\lambda )=\lambda ^<2>\int \limits _^f^<2>(t)dt+2\lambda \int \limits _^f(t)g(t)dt+\int \limits _^g^<2>(t)dt> .

4 ( ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t ) 2 − 4 ∫ a b f 2 ( t ) d t ⋅ ∫ a b g 2 ( t ) d t ≤ 0 <\displaystyle 4\left(\int \limits _^f(t)g(t)dt\right)^<2>-4\int \limits _^f^<2>(t)dt\cdot \int \limits _^g^<2>(t)dt\leq 0> ,

откуда и следует утверждение леммы.

Лемма 4 (Интегральное неравенство Минковского).

∫ a b [ f ( t ) + g ( t ) ] 2 d t ≤ ∫ a b f 2 ( t ) d t + ∫ a b g 2 ( t ) d t <\displaystyle <\sqrt <\int \limits _^[f(t)+g(t)]^<2>dt>>\leq <\sqrt <\int \limits _^f^<2>(t)dt>>+<\sqrt <\int \limits _^g^<2>(t)dt>>> .

По свойствам интеграла:

∫ a b [ f ( t ) + g ( t ) ] 2 d t = ∫ a b f 2 ( t ) d t + 2 ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t + ∫ a b g 2 ( t ) d t <\displaystyle \int \limits _^[f(t)+g(t)]^<2>dt=\int \limits _^f^<2>(t)dt+2\int \limits _^f(t)g(t)dt+\int \limits _^g^<2>(t)dt>

Воспользуемся интегральным неравенством Коши-Буняковского:

∫ a b [ f ( t ) + g ( t ) ] 2 d t ≤ ∫ a b f 2 ( t ) d t + 2 ∫ a b f 2 ( t ) d t ⋅ ∫ a b g 2 ( t ) d t + ∫ a b g 2 ( t ) d t <\displaystyle \int \limits _^[f(t)+g(t)]^<2>dt\leq \int \limits _^f^<2>(t)dt+2<\sqrt <\int \limits _^f^<2>(t)dt>>\cdot <\sqrt <\int \limits _^g^<2>(t)dt>>+\int \limits _^g^<2>(t)dt> ,

∫ a b [ f ( t ) + g ( t ) ] 2 d t ≤ ( ∫ a b f 2 ( t ) d t + ∫ a b g 2 ( t ) d t ) 2 <\displaystyle \int \limits _^[f(t)+g(t)]^<2>dt\leq \left(<\sqrt <\int \limits _^f^<2>(t)dt>>+<\sqrt <\int \limits _^g^<2>(t)dt>>\right)^<2>> .

Интегральное неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.

Примеры метрических пространств [ править ]

Мы уже рассмотрели два метрических пространства: множество вещественных чисел и множество рациональных чисел. Ниже приведены ещё некоторые примеры метрических пространств, все они играют важную роль в математическом анализе и алгебре.

Проверка первых двух аксиом является, как правило, тривиальной задачей, основные трудности связаны с доказательством справедливости аксиомы треугольника.

Арифметическое евклидово пространство [ править ]

является метрическим пространством.

Перейдём к проверке третьей аксиомы.
3.

По неравенству Минковского (Лемма 2):

то есть аксиома действительно выполняется.

Метрика Хэмминга [ править ]

Метрика такого вида называется метрикой Хэмминга.

Равномерная метрика [ править ]

Таким образом, три рассмотренных примера показывают, что на основе одного и того же множество можно, задавая различные метрики, строить различные метрические пространства.

Комплексные числа [ править ]

является метрическим пространством. Справедливость аксиом следует из свойств модуля комплексного числа. Действительно, если z 1 = x 1 + i y 1 <\displaystyle z_<1>=x_<1>+iy_<1>> , а z 2 = x 2 + i y 2 <\displaystyle z_<2>=x_<2>+iy_<2>> , то

| z 1 − z 2 | = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 <\displaystyle |z_<1>-z_<2>|=<\sqrt <(x_<1>-x_<2>)^<2>+(y_<1>-y_<2>)^<2>>>> ,

таким образом, с точки зрения теории метрических пространств, множество комплексных чисел эквивалентно двумерному арифметическому евклидову пространству (геометрическая интерпретация комплексных чисел).

Непрерывные функции [ править ]

является метрическим пространством.

max x ∈ [ a ; b ] | f ( x ) − g ( x ) | = 0 <\displaystyle \max _|f(x)-g(x)|=0> ,

| f ( x ) − g ( x ) | ≤ max x ∈ [ a ; b ] | f ( x ) − g ( x ) | = 0 <\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq \max _|f(x)-g(x)|=0> ,

Аксиома симметрии тоже выполняется.

Докажем теперь аксиому треугольника. Для любых трёх функций

в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство

Возьмём максимальное значение левой и правой части:

max x ∈ [ a ; b ] | f ( x ) − g ( x ) | ≤ max x ∈ [ a ; b ] < | f ( x ) − h ( x ) | + | g ( x ) − h ( x ) | ><\displaystyle \max _|f(x)-g(x)|\leq \max _\left\<|f(x)-h(x)|+|g(x)-h(x)|\right\>> .

w 1 ( x ) + w 2 ( x ) ≤ max x ∈ [ a ; b ] w 1 ( x ) + max x ∈ [ a ; b ] w 2 ( x ) <\displaystyle w_<1>(x)+w_<2>(x)\leq \max _w_<1>(x)+\max _w_<2>(x)> ,

max x ∈ [ a ; b ] < w 1 ( x ) + w 2 ( x ) >≤ max x ∈ [ a ; b ] w 1 ( x ) + max x ∈ [ a ; b ] w 2 ( x ) <\displaystyle \max _\(x)+w_<2>(x)\>\leq \max _w_<1>(x)+\max _w_<2>(x)> ,

то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.

Используем последнее неравенство, положив

w_<2>(x)=|h(x)-g(x)|> ,

max x ∈ [ a ; b ] < | f ( x ) − h ( x ) | + | h ( x ) − g ( x ) | >≤ max x ∈ [ a ; b ] | f ( x ) − h ( x ) | + max x ∈ [ a ; b ] | h ( x ) − g ( x ) | <\displaystyle \max _\<<|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|>\>\leq \max _|f(x)-h(x)|+\max _|h(x)-g(x)|> .

Все аксиомы действительно выполняются.

На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например

полученное метрическое пространство обозначают C 2 [ a ; b ] <\displaystyle C_<2>[a;b]> .

Пространства числовых последовательностей [ править ]

Рассмотрим множество всевозможных числовых последовательностей вида

Если на этом множестве ввести расстояние

то получим метрическое пространство, которое обозначают l 2 <\displaystyle l_<2>> . Ряд

∑ k = 1 ∞ ( x k − y k ) 2 <\displaystyle \sum _^<\infty >(x_-y_)^<2>>

сходится, если сходятся ряды

\sum _^<\infty >y_^<2>> ,

а значит введённая метрика имеет смысл для любых последовательностей из l 2 <\displaystyle l_<2>> .

Доказательство аксиом тождества и симметрии не представляет труда, доказательство справедливости аксиомы треугольника для указанной метрики можно с помощью предельного перехода в неравенстве Минковского.

Выводы [ править ]

Приведённые примеры показывают, что понятия метрики и метрического пространства позволяют рассматривать с единых позиций такие непохожие на первый взгляд объекты, как вещественные и комплексные числа, вектора, непрерывные функции и числовые последовательности.

Источник

Пространство \(R^n\)

Метрическое пространство.

Будем множество \(X\) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов \(x\) и \(y\) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число \(p(x,y)\), называемое расстоянием между элементами \(x\) и \(y\), такое, что для любых элементов \(x, y, z\) множества \(X\) выполнены следующие условия:

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию \(\rho(x,y)\), определенную на множестве пар точек метрического пространства \(X\), \(\rho\) — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числами \(\alpha\) и \(\beta\) при помощи формулы \(\rho(\alpha,\beta)=|\beta — \alpha|\), получаем метрическое пространство, которое обозначается через \(R\).

Рассмотрим множество пар вещественных чисел \(x = (x_<1>,x_<2>)\). Если \(x = (x_<1>,x_<2>)\), а \(y = (y_<1>,y_<2>)\), то полагая
$$
\rho(x,y) = ((x_ <1>— y_<2>)^ <2>+ (x_ <2>— y_<2>)^<2>)^<1>\nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через \(R^<2>\). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства \(R^<2>\) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max (|x_ <1>— y_<1>|,|x_ <2>— y_<2>|).\label
$$

Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.

\(\circ\) Из \eqref следует, что
$$
|x_<1>-y_<1>| \leq \tilde\rho(x,y),\qquad |x_<2>-y_<2>| \leq \tilde<\rho>(x,y),\nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_-y_|\leq |x_-z_|+|z_-y_|\leq \tilde<\rho>(x,z)+\tilde<\rho>(z,y),\qquad i=1,2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max(|x_ <1>— y_<1>|, |x_ <2>— y_<2>|) \leq \tilde<\rho>(x,z) + \tilde<\rho>(z,y).\quad\bullet\nonumber
$$

Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел \(x = (x_<1>, x_<2>, x_<3>)\) и для \(x = (x_<1>, x_<2>, x_<3>)\) и \(y = (y_<1>, y_<2>, y_<3>)\) определить расстояние \(\rho(x,y)\) при помощи формулы
$$
\rho(x,y) = ((x_ <1>— y_<1>)^ <2>+ (x_ <2>— y_<2>)^ <2>+ (x_ <3>— y_<3>)^<2>)^<1>,\nonumber
$$
то получим метрическое пространство \(R^<3>\).

Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством \(R^<3>\) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства \(R^<3>\). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в \(R^<2>\).

Точками пространства \(R^\) являются упорядоченные совокупности из \(n\) вещественных чисел
$$
x = (x_<1>, \ldots, x_),\quad y=(y_<1>, \ldots, y_),\quad z = (z_<1>, \ldots, z_).\nonumber
$$
Расстояние между точками \(x\) и \(y\) определяется формулой
$$
\rho(x,y) = \left(\sum_^(x_ — y_)^<2>\right)^<1>.\label
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
\left(\sum_^a_b_\right)^ <2>\leq \sum_^a_i^<2>\sum_^b_i^<2>,\nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел \(a_<1>, b_<1>,\dots, a_, b_\).

\(\circ\) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(\xi) = \sum_^(a_ + \xi b_)^ <2>= A + 2B\xi + C \xi^<2>,\label
$$

Так как квадратный трехчлен \(P(\xi)\) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, \(B^ <2>— AC \leq 0\). Подставляя в неравенство значения коэффициентов \(A\), \(B\) и \(C\), получаем неравенство Коши. \(\bullet\)

Полагая в неравенстве \eqref \(a_ = x_ — z_, \ b_ = z_ — y_\), получаем неравенство
$$
\left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_ — y_)^<2>\right)^ <1>\leq \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_ — z_)^<2>\right)^ <1>+ \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(z_ — y_)^<2>\right)^<1>,\nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния \(\rho(x,y)\), определяемого формулой \eqref.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из \(n\) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max_<\substack>>|x_ — y_|,\qquad \hat<\rho>(x,y) = \sum_ <\substack>^<\substack>|x_ — y_|.\nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае \(n = 2\). Расстояние, определяемое формулой \eqref, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство \(R^\). Но те свойства пространства \(R^\), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.

Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть \(\\>\) — последовательность точек метрического пространства \(X\). Говорят, что последовательность точек \(\\>\) сходится к точке \(a\) (имеет предел \(a\)) и пишут \(\displaystyle\lim_x^ <(k)>= a\), если
\(\displaystyle\lim_<\substack>\rho(x^<(k)>, a) = 0\). Последовательность точек \(\\>\) называется ограниченной, если \(\exists C \in R\) и \(\exists a \in X\) такие, что для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>,a) \leq C\).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.

Если последовательность \(\\>\) имеет предел, то она ограничена.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= a\), тогда \(\displaystyle\lim_<\substack>\rho(x^<(k)>, a) = 0\). Поэтому числовая последовательность \(\<\rho(x^<(k)>, a)\>\) ограничена, то есть \(\exists C \in R\) такое, что для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, a) \leq C\). \(\bullet\)

Последовательность \(\\>\) не может сходиться к двум различным точкам.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= a\) и \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= b\). В силу неравенства треугольника для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство
$$
0 \leq \rho(a, b) \leq \rho(a, x^<(k)>) + \rho(x^<(k)>, b).\nonumber
$$
Так как числовые последовательности \(\rho(a, x^<(k)>)\) и \(\rho(x^<(k)>, b)\) бесконечно малые, то \(\rho(a, b) = 0\). Поэтому \(a = b\). \(\bullet\)

Для того чтобы последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(R^\), где \(x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, \ldots, x_^<(k)>)\), сходилась к пределу \(a = (a_<1>, \ldots, a_)\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
\lim_<\substack>x_^ <(k)>= a_,\quad i = \overline<1, n>.\nonumber
$$

Наоборот, если при любом \(i = \overline<1, n>\) выполнено условие \(\displaystyle\lim_<\substack>|x_^ <(k)>— a_| = 0\), то
$$
\rho(x^<(k)>, a) = \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_^ <(k)>— a_)^<2>\right)^ <1>\rightarrow 0,\quad при \ k \rightarrow \infty.\quad\bullet\nonumber
$$

Последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(X\) называется фундаментальной, если \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, x^<(m)>) Лемма 4.

Если последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(X\) сходится, то она фундаментальна.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_x^ <(k)>= a\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнены неравенства \(\rho(x^<(k)>, a) Теорема 1.

Пространство \(R^\) полное.

\(\circ\) Пусть \(\\>\) — фундаментальная последовательность точек в \(R^\). Если
$$
x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, \ldots, x_^<(k)>),\nonumber
$$
то числовые последовательности \(\^<(k)>\>\) фундаментальны при \(i = \overline<1, n>\). В самом деле, \(\forall \varepsilon > 0\) \(\exists N\) такое, что для любых \(k, m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, x^<(m)>)

Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса \(r\) с центром в точке \(a\) определяется как множество \(S_(a) = \

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

\(\triangle\) Действительно, пусть
$$
S_(a) = \ Рис. 23.1

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

\(\circ\) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть \(G = \displaystyle\bigcup_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>G_<\alpha>\), где \(G_<\alpha>\) — открытые множества. Пусть точка \(a \in G\). Тогда существует \(\overline <\alpha>\in \Lambda\) такое, что \(a \in G_<\overline<\alpha>>\). Но множество \(G_<\overline<\alpha>>\) открытое. Поэтому существует шар \(S_<\varepsilon>(a) \subset G_<\overline<\alpha>>\). Тем более, \(S_<\varepsilon>(a) \subset G\). Итак, \(a\) — внутренняя точка множества \(G\). В силу произвольности точки \(a\) множество \(G\) открытое.

Докажем 3). Пусть \(G = \displaystyle\bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>^G_\), где \(G_\) — открытые множества. Возьмем любую точку \(a \in G\). Тогда \(a \in G_\) при \(i = \overline<1, n>\). Так как множества \(G_\) открытые, то существуют шары \(S_<\varepsilon_>(a) \subset G_\). Пусть \(\varepsilon = \displaystyle\min_<\substack>>\varepsilon_\). Тогда \(S_<\varepsilon>(a) \subset G_\), \(i = \overline<1, n>\). Поэтому
$$
S_<\varepsilon>(a) \subset \bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>^G_ = G,\nonumber
$$
и, следовательно, \(G\) есть открытое множество. \(\bullet\)

Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть \(X\) — метрическое пространство. Окрестностью точки \(x^<0>\in X\) будем называть любое множество \(O(x^<0>)\), для которого точка \(x^<0>\) является внутренней. Например, шар \(S_<\varepsilon>(x^<0>)\) является окрестностью (шаровой) точки \(x^<0>\).

Точка \(x^<0>\) называется предельной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(x^<0>\) есть точки множества \(M\), отличные от точки \(x^<0>\). Предельная точка множества \(M\) может принадлежать множеству \(M\), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала \((a, b)\) будут его предельными точками. Концы интервала \(a\) и \(b\) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества \(M\), не являющаяся предельной точкой множества \(M\), называется изолированной точкой множества \(M\). Если \(x^<0>\) есть изолированная точка множества \(M\), то существует такая окрестность \(O(x^<0>)\), в которой нет точек множества \(M\), отличных от точки \(x^<0>\). Каждая точка множества \(M\) является или предельной точкой множества \(M\), или изолированной точкой множества \(M\).

Множество \(M \subset X\) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [\(a, b\)] замкнут в \(R\), а интервал \((a, b)\) не является замкнутым множеством в \(R\).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству \(M\) все его предельные точки, называется замыканием \(M\) и обозначается \(\overline\).

Для того чтобы множество \(F\) в метрическом пространстве \(X\) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение \(X \setminus F\) было открытым.

\(\circ\) Необходимость. Пусть множество \(F \subset X\) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение \(G = X \setminus F\) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка \(a \in G\), не являющаяся внутренней точкой множества \(G\). Тогда в любой окрестности \(O(a)\) точки \(a\) есть точки, не принадлежащие \(G\), то есть принадлежащие множеству \(F\). Поэтому \(a\) есть предельная точка множества \(F\). Так как \(F\) замкнуто, то \(a \in F\). С другой стороны, \(a \in G = X \setminus F\) и, следовательно, \(a \notin F\). Полученное противоречие доказывает, что все точки \(G = X \setminus F\) внутренние, то есть \(G\) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь \(X \setminus F = G\) — открытое множество. Покажем, что \(F\) замкнуто. Пусть \(a\) — предельная точка \(F\). Предположим, что \(a \notin F\). Тогда \(a \in G\), а так как \(G\) — открытое множество, то найдется окрестность \(O(a) \subset G\). Но тогда \(O(a) \bigcap F = \varnothing\), следовательно, \(a\) не может быть предельной точкой множества \(F\). Поэтому множество \(F\) содержит все свои предельные точки, то есть \(F\) замкнуто. \(\bullet\)

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

\(\circ\) Свойство 1) очевидно, так как \(X\) и \(\varnothing\) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть \(F = \displaystyle\bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>F_<\alpha>\), где \(F_<\alpha>\) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X \setminus F = \bigcup_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>(X \setminus F_<\alpha>).\nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества \(X \setminus F_<\alpha>\) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение \(X \setminus F\) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество \(F\) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). \(\bullet\)

Компакт в метрическом пространстве.

Множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) называется компактом в \(X\), если из любой последовательности точек \(x_ \in M\) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству \(M\). Например, отрезок \([a, b]\) есть компакт в \(R\), а промежуток \([a, b)\) не является компактом в \(R\).

На пространство \(R^\) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства \(R^\) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

\(\circ\) Ограничимся случаем пространства \(R^<2>\). В общем случае доказательство аналогично. Пусть \(x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, x_<2>^<(k)>)\) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства \(R^<2>\). Числовая последовательность \(\^<(k)>\>\) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность \(\^<(k_)>\>\). Тогда у последовательности точек \(x^<(k_)>\) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности \(\^<(k_)>\>\) сходящуюся подпоследовательность \(\^<(k_>)>\>\). У последовательности точек \(\>)>\>\) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек \(\>)>\>\) сходится в \(R^<2>\). \(\bullet\)

Для того чтобы множество \(M \subset R^\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество \(M\) было ограниченным и замкнутым.

\(\circ\) Докажем достаточность. Пусть множество \(M\) ограничено и замкнуто в пространстве \(R^\). Возьмем произвольную последовательность точек \(\\> \in M \). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность \(\)>\>\), сходящуюся к точке \(a\). В силу замкнутости множества \(M\) точка \(a \in M\). \(\bullet\)

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Для того чтобы множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств \(\<, \ \alpha \in \Lambda>\>\) называется покрытием множества \(G\), если \(G \subset \displaystyle\bigcup_<\substack<\alpha \in \Lambda>>G_<\alpha>\). Покрытие называется конечным, если множество \(\Lambda\) конечно, и открытым, если все множества \(G_<\alpha>\) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.

Граница множества.

Точка \(a\) метрического пространства \(X\) называется граничной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(a\) есть как точки, принадлежащие множеству \(M\), так и точки, не принадлежащие множеству \(M\).

Граничная точка \(a\) множества М может не принадлежать множеству \(M\).

Совокупность всех граничных точек множества \(M\) называется границей множества \(М\) и обозначается \(\partial M\). Например,
$$
\partial (a, b) = \, \ \partial [a, b] = \, \ a, b \in R;\nonumber
$$
$$
\partial\

До сих пор рассматривались только такие объекты в \(R^\), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.

В этой главе ограничимся тем, что введем в \(R^\) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в \(R^\), проходящей через точки \(a = (a_<1>, \ldots. a_)\) и \(b = (b_<1>, \ldots. b_)\), будем называть следующее множество точек:
$$
\, \ x_ = a_t + b_(1 — t), \ t \in R, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке \(a\) в направлении \(l = (l_<1>, \ldots. l_)\), где \(l_<1>^ <2>+ \ldots + l_^ <2>= 1\), назовем множество
$$
\, \ x_ = a_ + tl_, \ 0 \leq t \leq + \infty, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки \(a\) и \(b\), назовем множество
$$
\, \ x_ = a_t + b_(1 — t), \ 0 \leq t \leq 1, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Множество в \(R^\) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Множество \(M \subset R^\) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой \(\Gamma\), лежащей в множестве \(M\). Открытое и связное множество в \(R^\) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в \(R^\), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в \(R^\).

Источник