Доказать что предела нет

Доказать что предела нет

`|x_n-a| oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.

Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.

Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c| k` имеет место неравенство `|x_n-c| oo)x_n=c`.

В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.

Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.

Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?

Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?

Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`?

Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|k`.

Сформулируем необходимое условие существования предела.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.

Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a| oo)y_n!=0`). При этом

Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab| k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n| k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b| k_2`. Если положить `k=max`, то при `n>k` имеем:

`|x_ny_n-ab| oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.

В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2

Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.

Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2

`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.

Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.

Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:

Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:

По пункту 3 теоремы 2.2

Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.

Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max`. Тогда при `n>k` одновременно `x_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и `z_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и, следовательно, `a-epsilon oo)x_n=1`.

Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.

`sqrt(n^2+n) 1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.

Учитывая `n/(sqrt(n^2+1)) oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.

Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a| k_2` выполняется `|b_n-b| k` имеем `b_n oo)1/n=0`.

В теории пределов важную роль играет следующий факт.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».

Источник

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Доказать НЕ существование пределов функций

Необходимо доказать, что предела не существует.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 11.01.2013, 19:26, всего редактировалось 2 раз(а).

Пределы удобнее записывыть так: .

Админ форума

Последний раз редактировалось Gudsaf 11.01.2013, 18:48, всего редактировалось 1 раз.

Верно, во втором под знаком предела должно быть (простите, спешил).

Что можете ещё посоветовать в заданиях данного типа? Какие иные методы,

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 11.01.2013, 19:25, всего редактировалось 3 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 12.01.2013, 09:27, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Доказать, что не существует предела

Доказать что последовательность не имеет предела
Последовательность имеет конечный предел a и a\neq 0, последовательность не имеет ни.

Доказать, что варианта не имеет предела
Нужно доказать что варианта:x_n=1 + \frac<1><2>+\frac<1><3>+. +\frac<1> не имеет предела.

Доказать, что последовательность не имеет конечного предела
Здравствуйте. Нужно доказать, что последовательность не имеет конечного предела, используя критерий.

Оценить 3 примера. Найти предел и показать что повторного предела не существует
1)Оценить 3 примера 2)Найти предел и показать что повторного предела не существует

Доказать, что предел последовательности равен числу 0 прямо по определению предела
Доказать, что предел последовательности равен числу 0 прямо по определению предела: если можно.

Доказать, что предел не существует
Такой вопрос, как доказать, что гнаница не существует у следующего уравнения: lim (x,y)->0.

Доказать, что предел не существует
А мне срочно нужна помощь по этому заданию. Помогите пожалуйста. Заранее благодарю. Мне надо.

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\) Последовательность сходится к 0

2) \(y_n=(-1)^n\) Последовательность ни к чему не сходится

3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) Последовательность уходит на бесконечность

4) приближения числа π Последовательность сходится к π

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник