Доказать что при каждом натуральном n справедливо равенство

Метод математической индукции для чайников

Метод полного перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет крайне ограниченную область применения в математике, так как обычно математические утверждения касаются бесконечного множества объектов (например, натуральных чисел, простых чисел, квадратов и т.п.) и перебрать их невозможно.

Основы метода математической индукции

Доказательство с помощью метода математической индукции проводится в два этапа:

Метод математической индукции применяется в разных типах задач:

Ниже вы найдете примеры решения задач, иллюстрирующие применение метода математической индукции, а также ссылки на полезные сайты и учебник и небольшой видеоурок по ММИ.

Математическая индукция: задачи и решения

Доказательство кратности и делимости

$$a_n = 2n^3+3n^2+7n, \quad b=6.$$

Доказательство равенств и неравенств

Задача 5. Доказать равенство

Задача 6. Доказать методом математической индукции:

Задача 7. Доказать неравенство:

Задача 8. Доказать утверждение методом математической индукции:

Задача 9. Доказать неравенство:

Вычисление сумм

Задача 11. Доказать методом математической индукции:

Задача 12. Найдите сумму

Заказать решение

Полезные ссылки о ММИ

Кратенький видеоурок о ММИ

Источник

Примеры по теме «Математическая индукция»

Пример 1. Найти сумму S _n первых n нечетных чисел:

В таких ситуациях обычно начинают рассматривать частные случаи:

S ₄ = 1 + 3 + 5 + 7= 16; S ₅ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Какой вывод можно сделать на основе этих частных случаев? В данном случае высказать гипотезу несложно:

сумма первых п нечетных чисел равна квадрату их числа, т. е. квадрату числа складываемых нечетных чисел: S _n = п 2 .

Пример 2. Пусть требуется найти

для каждого натурального п.

Рассмотрим частные случаи: S₁ = 3, S ₂ = 18.

Попробуем доказать справедливость этого утверждения методом математической индукции.

S ₁=1 • 3 = 3 • 1 ·(2 • 1-1) — равенство верно.

2. Индуктивное предположение: Пусть формула

верна для некоторого произвольного k > 1.

3. Индуктивный переход. Надо доказать справедливость равенства

S _{k +1}=3 k (2 k –1) + (2 k +1)(2 k + 3) = 10 k 2 + 5 k + 3,

но нам нужно было получить

S _{k +1} = 3( k + 1)(2 k + 1) = 6 k 2 + 9 k + 3.

Так как у нас получился иной результат, то высказанное предположение неверно; на самом деле справедлива формула

Пример 3. Доказать, что при любых натуральных п число 7 n + 12п+ 17 делится на 18.

1. При n = 1 число 7 1 + 12 • 1 + 17 = 36 кратно 18.

2. Предположим, что для некоторого натурального числа k ≥ 1 число

7 k + 12 k + 17 делится на 18.

3. Рассмотрим число 7 k +1 + 12( k + 1) + 17 и докажем, что оно кратно 18.

Мы видим, что при любом натуральном k число 6 • 12 k + 90 = 18(4 k + 5)

кратно 18. Итак, мы представили число 7 k +1 +12( k + 1) + 17 в виде разности двух чисел, каждое из которых делится на 18. Следовательно, и

само число 7 k +1 + 12( k + 1) + 17 кратно 18.

(32 > 25), значит, утверждение А(5) верно.

3. Индуктивный переход. Докажем справедливость неравенства

Запишем последнее неравенство в виде

т. е. требуемое неравенство.

Итак, согласно принципу математической индукции данное неравенство справедливо при всех натуральных n > 4.

Пример5.Доказать, что при всех натуральных п справедливо

В данном случае проверим наше неравенство для п = 1 и п = 2.

1. При п = 1 неравенство 4 1 > 7 • 1-5 верно. При п = 2 имеем

4 2 > 7 • 2-5 также верное неравенство.

Но при любом k ≥2 число

Следовательно, справедливо неравенство

Из неравенств (1) и (3) следует неравенство

Теперь, пользуясь принципом математической индукции, данное утверждение справедливо для всех натуральных чисел.

Замечание. В данном случае базис индукции — пункт 1 — содержит доказательство данного утверждения для первых двух натуральных чисел n = 1 и n = 2. Это связано с тем, что неравенство (2) не выполняется при k = 1, но справедливо при каждом натуральном k > 1. Поэтому, доказав данное неравенство для n = 1и n = 2, в дальнейшем рассматривались числа k ≥2.

Пример 6. Доказать, что если для n положительных чисел а_1, а₂. а _n ( n > 1) выполнено условие a ₁а₂. а _n =1, то

Предположение индукции. Пусть данное утверждение справедливо для всех

3. Индуктивный переход. Докажем, что если произведение k + 1 положительных чисел равно 1, т. е. а₁а₂. а _{k +1}= 1, то их сумма не меньше количества слагаемых:

Отметим, что если все данные числа равны между собой, то каждое из них равно 1 и неравенство (6), очевидно, выполняется. Предположим, что хотя бы одно из заданных положительных чисел меньше 1, например, 0 a _{k +1} k > 1 (если какие-то другие два числа обладают указанными свойствами, то мы просто их перенумеруем).

Рассмотрим произведение k чисел: а_1, a ₂. а _{k -1}( a _k a _{k +1}) = 1. По условию все эти числа положительны:

значит, по предположению индукции имеем

Чтобы доказать неравенство (6), перепишем неравенство (7) следующим образом:

Для доказательства неравенства (6) осталось доказать, что

Левую часть последнего неравенства можно записать так:

Тогда неравенство (8) с учетом (9) примет вид

Источник

Доказать что при каждом натуральном n справедливо равенство

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливы следующие равенства:
а) ;
б) .

а) При n = 1 равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при n, покажем справедливость его и при n + 1. Действительно,

что и требовалось доказать.

б) При n = 1 справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его при n следует

т. е. утверждение справедливо и при n + 1.

Пример 1. Доказать следующие равенства

Решение. a) При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Используя предположение индукции, получим

Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.

c) При n = 1 равенство истинно: 1=1. Допустим, что истинно равенство

d) При n = 1 равенство справедливо: 1=1. Допустим, что имеет место

и докажем, что

e) Утверждение P(1) справедливо: 2=2. Допустим, что равенство

справедливо, и докажем, что оно влечет равенство Действительно,

Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f) P(1) справедливо: 1 /₃ = 1 /₃. Пусть имеет место равенство P(n):

. Покажем, что последнее равенство влечет следующее:

Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим

Таким образом, равенство доказано.

g) При n = 1 имеем a + b = b + a и, следовательно, равенство справедливо.

Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть,

Тогда Используя равенство получим

Пример 2. Доказать неравенства

Решение. a) При n = 1 получаем истинное неравенство

Таким образом, если P(n) истинно, то и P(n + 1) истинно, следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

Рассмотрим следующие два случая:

Поскольку их произведение равно единице: согласно ранее доказанному неравенству b), следует, что откуда

sin 2n a + cos 2n a ≤ 1 и покажем, что имеет место P ( n + 1). Действительно, sin 2(n + 1) a + cos 2(n + 1) a = sin 2n a ·sin 2 a + cos 2n a ·cos 2 a 2n a + cos 2n a ≤ 1 (если sin 2 a ≤ 1, то cos 2 a 2 a ≤ 1, то sin 2 a n О N sin 2n a + cos 2n ≤ 1 и знак равенства достигается лишь при n = 1.

e) При n = 1 утверждение справедливо: 1 3 /₂.

Допустим, что и докажем, что

Поскольку учитывая P ( n ), получим

Поскольку при n > 10 имеем или , следует, что

Пример 3. Доказать, что для любого n О N

Возникает гипотеза

(2)

Как ранее было показано при n = 1, что эта формула справедлива. Пусть (2) выполняется при n = k. Вычислим . Согласно формуле перехода,

Замечание. Из (2) следует, что длина окружности равна

I. Доказать равенства

II. Доказать неравенства

III. Доказать, что при любом натуральном n число a_n делится на b

IV. Показать, что (Формула Виета).

VI. Пусть даны n произвольных квадратов. Доказать, что эти квадраты могут быть разрезаны так, чтобы из получившихся частей можно было образовать квадрат.

Источник

11. Метод математической индукции

Во многих разделах математики приходится доказывать истинность утверждения, зависящего от , т. е. истинность высказывания P(N) Для «NÎN (для любого NÎN P(N) Верно).

Часто это удается доказать Методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Согласно принципу математической индукции предложение P(N) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия:

2. Из предложения, что P(N) истинно для N = K (K — Произвольное натуральное число) следует, что оно истинно для N = K + 1.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства

1. Проверяют истинность утверждения для N = 1 – база индукции.

2. Предполагают, что утверждение верно для N = K – Индуктивное предположение.

3. Доказывают, что тогда оно верно и для N = K + 1 индуктивный переход.

Иногда предложение P(N) оказывается верным не для всех натуральных N, а начиная с некоторого для N = N0. В этом случае в базе индукции проверяется истинность P(N) при N = N0.

Пример 1. Пусть . Доказать, что

1. База индукции: при N = 1 по определению S1 = 1 и по формуле получаем один результат. Утверждение верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = k и .

3. Индуктивный переход. Пусть N = k + 1. Докажем, что .

Действительно, в силу индуктивного предположения

Преобразуем это выражение

Индуктивный переход доказан.

Замечание. Полезно записать, что дано (индуктивное предположение) и что нужно доказать!

.

1. База индукции. При N = 1, утверждение, очевидно, верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = K и

3. Индуктивный переход. Пусть N = K + 1. Докажем:

Действительно, возведем правую сторону в квадрат как сумму двух чисел:

Используя индуктивное предположение и формулу суммы арифметической прогрессии: , получим

Пример 3. Доказать неравенство

для .

Источник

Доказать что при каждом натуральном n справедливо равенство

Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства

g) формула бинома Ньютона:

где n О N.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.

c) При n = 1 равенство истинно: 1=1. Допустим, что истинно равенство и покажем, что то есть истинность P(n) влечет истинность P(n + 1). Действительно, и, так как 2n 2 + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2), получим и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

d) При n = 1 равенство справедливо: 1=1. Допустим, что имеет место и докажем, что

Действительно,

e) Утверждение P(1) справедливо: 2=2. Допустим, что равенство справедливо, и докажем, что оно влечет равенство Действительно,

Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f) P(1) справедливо: 1 /₃ = 1 /₃. Пусть имеет место равенство P(n): . Покажем, что последнее равенство влечет следующее:

Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим

Таким образом, равенство доказано.

g) При n = 1 имеем a + b = b + a и, следовательно, равенство справедливо.

Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть, Тогда Используя равенство получим

Таким образом, если P(n) истинно, то и P(n + 1) истинно, следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

Рассмотрим следующие два случая:

e) При n = 1 утверждение справедливо: 1 3 /₂.

Допустим, что и докажем, что Поскольку учитывая P(n), получим

Индукция в геометрии

В частных случаях Возникает гипотеза

(2)

Как ранее было показано при n = 1, что эта формула справедлива. Пусть (2) выполняется при n = k. Вычислим . Согласно формуле перехода,

Замечание. Из (2) следует, что длина окружности равна и, поскольку l = 2 p R, получим
Упражнения для самостоятельной работы

I. Доказать равенства

II. Доказать неравенства

IV. Показать, что (Формула Виета).

VI. Пусть даны n произвольных квадратов. Доказать, что эти квадраты могут быть разрезаны так, чтобы из получившихся частей можно было образовать квадрат.

Источник