Доказать что произведение четырех последовательных натуральных чисел сложенное с единицей
Ответы и решения очного тура конкурса «Юный знаток математики»
ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Ответы и решения очного тура конкурса «Юный знаток математики»
№1. Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
Произведение четырех последовательных натуральных чисел, сложенное с единицей, является точным квадратом, если оно представимо в виде квадрата целого числа.
Рассмотрим данное произведение
Так как, 
является целым числом, то выражение
является точным квадратом. Ч. т.д.
№2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны a и b. На его гипотенузе как на стороне во внешнюю сторону треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата.
Ответ: расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата равно 
.
Решение: Построим квадрат CBKL на гипотенузе во внешнюю сторону.
Достроим данный треугольник до квадрата AFED со стороной 
.
Центр квадрата CBKL совпадает с квадратом AFED. Тогда расстояние от точки A до центра O квадрата CBKL равно половине диагонали квадрата AFED.
По теореме Пифагора 
. Тогда 
.
№3. В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется 
. Докажите неравенство 
.
Пусть точка O — пересечение диагоналей AC и BD. По неравенству треугольника AO + BO > AB, OC + OD > CD, откуда