Доказать что произведение двух четных функций
Понятие четной и нечетной функции
Понятие четности и нечетности функции
Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.
Четная функция
Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
График четной функции симметричен относительно оси Ох.
Нечетная функция
Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).
Произведение четной и нечетной функции
Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.
Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)
Исследование функций в примерах
Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.
1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.
Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)
1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.
Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac
Рассмотрим первую функцию:
1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.
Рассмотрим вторую функцию:
Исследовательская работа по теме: «Четность произведения двух функций»
Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №129
Советского района Волгограда
Исследовательская работа по теме:
«Четность произведения двух функций»
обучающиеся 8 «Б» класса
Иванас Ирина Анатольевна,
Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования. 5
Сбор первичного фонда информации. 5
Классификация фонда. 5
Составление модели для исследования. 6
Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было
исследовать все виды моделей. 6
Глава 2. Исследование собранного материала. 7
2.1. Исследование полученных моделей на четность
(по выбранному вопросу). 7
Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах. 8
3.1. Формулировка гипотезы. 8
3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде. 8
Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование. 9
4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…). 9
4.2. Доказательство теоремы в общем виде. 9
Список литературы 12
Проблема. Четность произведения двух функций.
изучение алгоритма определения четности произведения двух функций;
содействие углублению теоретического материала;
развитие познавательного интереса, расширение представления о свойствах произведения двух функций;
развитие умения осуществлять самостоятельный поиск информации, анализировать и обобщать её.
расширить знания программного материала о четности функции;
продолжить формирование умения исследовать функцию на четность с помощью определения;
формировать культуру построения графиков функций, культуру формулирования новой гипотезы и её доказательства;
развивать способность к исследовательской и проектной деятельности;
повысить информационную и коммуникативную компетентность.
расширение знаний о четности функции, четности произведения двух функций;
развитие средствами составления гипотез и их доказательства своих индивидуальных способностей и своего саморазвития;
умение использовать новую информацию и дополнительную литературу, выполнять анализ полученного материала и синтезировать его в доказательстве гипотезы.
Объектная область : математика.
Объект исследования: функции.
Предмет исследования : четность функции.
метод визуализации данных.
Новизна и практическое значение:
Изучая свойства элементарных функций (линейная, квадратичная, степень с натуральным показателем, обратная пропорциональность, модуль), мы узнали, как исследовать функцию на четность по определению. Изучаемые в школьной программе функции были исследованы нами на четность. В данной работе с помощью теоретического материала и графиков функций исследована четность произведения двух функций, что способствует углублению знаний и расширению кругозора.
Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования.
Изучая теоретический материал по теме «Функции и их свойства мы
познакомились со свойством четности.
По определению, которое мы нашли в дополнительной литературе,
четной называется функция f(x), обладающая следующими свойствами:
1). Область определения функции (D(f)) симметрична относительно начала отсчета;
Сбор первичного фонда информации.
Из собственного опыта мы собрали копилку конкретных примеров функций, известных из курса алгебры:
y=5x; y=-7x+5; y=x 2 ; y=x 3 ; y=x 4 ; y=x 5 ; y=|x|; y=3/x; y=5; y=x; y=5x 2 +2x-3
На этом этапе мы провели классификацию собранного фонда функций по четности.
Составление модели для исследования.
Для четности произведения двух функций, четность которых известна, возможны варианты:
Ч 
Ч;
Ч Н;
Н Н.
Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.
у=5х x 3
у= х 5 3/x
у=х x 3
Глава 2. Исследование собранного материала.
2.1. Исследование полученных моделей на четность (по выбранному вопросу).
2). z (- x ) = (- x ) 2 (- x ) 4 =(- x ) 6 = x 6 = z ( x )
2). f (- x ) = (- x ) (- x ) 3 =(- x ) 4 = x 4 = f ( x )
Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах.
3.1. Формулировка гипотезы.
В первом случае: Ч Ч=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).
Во втором случае: Ч Н=Н (произведение четной функции на нечетную функцию есть нечетная функция).
В третьем случае: Н Н=Ч (произведение двух нечетных функций есть четная функция).
3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде.
2). у(х)=|x| 3/x
2). у(-x) =|-x| 3/(-x)=-|x| 3/x=- у(x)
3). у(х)= х 5 3/x
2). у(-x) =(-x) 5 3/(-x) =x 5 3/x= у(x)
Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование.
4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…).
1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.
2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.
3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.
4.2. Доказательство теоремы в общем виде.
1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.
2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.
3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.
Изучив теоретический материал, рассмотрев свойство четности элементарных функций, мы исследовали четность произведения двух функций, четность которых была нам уже известна. Работая над этой темой мы выяснили, что произведение двух четных функций и двух нечетных функций есть четная функция, а произведение четной функции и нечетной функции есть нечетная функция.
При помощи определения четности функции нам удалось провести исследование частных примеров, затем проверить и доказать гипотезу четности и нечетности произведения двух функций.
Изучение данной проблемы помогло нам выбрать дальнейший путь исследований.
Нами были определены следующие направления работы:
увеличить фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Ч Ч Ч … Ч=Ч);
рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);
составить и проверить обратные утверждения.
Полученные знания и умения сбора и анализа материала, составления гипотезы и доказательства её помогут нам провести исследование по выбранному направлению.
Урок-исследование по алгебре «Четность произведения двух функций», 9 класс
муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Гимназия № 48 имени Героя России О.Н. Долгова» (МБУ «Гимназия № 48»)
Четность произведения двух функций, четность каждой из которых известна.
(Урок-исследование по алгебре в 9 классе)
Тема: «Четность произведения двух функций, четность каждой из которых известна»
Цель: развитие личности ученика, в частности развитие умений
• сравнивать по отдельным параметрам,
• сопоставлять и анализировать,
Тип урока: изучение нового материала
Форма работы: урок-исследование
Вид деятельности на уроке: групповая работа в исследовательском режиме
Собрать первичный фонд информации;
Составить модели для исследования;
Собрать дополнительный фонд для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей;
Проверить гипотезу на дополнительном фонде;
Выбрать дальнейший путь исследований;
Применить новую модель;
Представить результаты исследования.
Деятельность учащегося на уроке:
договаривался, кто, что, когда будет делать – планировал работу;
совместно с группой вспоминал все функции, которые он знает;
разбивал функции на группы;
спорил, доказывая, что одна функция – чётная, а другая – нечётная;
придумывал дополнительный фонд;
объяснял, спрашивал, пытался понять, писал, чертил,…
Собрать первичный фонд информации
y = 2x;
y = –2x + 5;
y = /x/;
y = 
;
y = x;
y = 5x 2 + 2x – 3;
y = 5;
y = x 2 ;
у = х 4 ;
у = х 3 ;
Функция не является ни чётной, ни нечётной
у = х 2
у = х 4
у = /х/
у = 5
у = 2х
у = х 3
у = х 5
у = 
у = х
у =
у = –2х + 5
у = 5х 2 + 2х–3
Составить модели для исследования
Для чётности возможны варианты:
Собрать дополнительный фонд для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей
у = х 2 . х 4 ;
у = х 2 . 2х;
у = х 2 . /х/;
у = х 4 . х 3 ;
у = х 4 . /х/;
Исследовать полученные модели на чётность
у = х 2 – чётная;
y = х 4 – чётная;
Проверить на чётность функцию
g = х 2 . х 4
В данном случае Ч . Ч = Ч
Проверить гипотезу на дополнительном фонде
Выбрать дальнейший путь исследований
Возможны следующие направления работы по группам:
Увеличить фонд за счёт добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества чётных функций есть функция чётная (Ч . Ч . Ч… . Ч = Ч);
Рассмотреть частные случаи;
Составить и проверить обратные утверждения;
Применить новую модель
Определить чётность функции у = х 2 . /х/ . (х 4 –3) . (х 124 + 715) . 33333;
Представить результаты исследования
Представление результатов проводится в виде мини-конференциии, где поочерёдно выступают представители каждой группы. Группы оформляют отчёты по исследовательской работе, которые вывешиваются в классе. В дальнейшем они используется в учебном процессе.
Таким образом, можно утверждать, что детская исследовательская работа строится по законам настоящей исследовательской научной работы.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-265070
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В России предложили учредить День семейного волонтерства
Время чтения: 2 минуты
В России планируют создавать пространства для подростков
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разработает внеучебные курсы для школьников
Время чтения: 1 минута
Школьники из России выиграли 8 медалей на Международном турнире по информатике
Время чтения: 3 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Произведение двух четных функций есть четная функция».
Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет для меня большой самостоятельный интерес.
Но материал, связанный с изучением функций и построением их графиков в основной школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков функций, с использованием их свойств, не редко вызывают затруднение у нас и требуют подробного рассмотрения.
Своё исследование я решила начать с вопроса: как чётность функций влияет на построение графиков функций, содержащих произведение функций, разность, частное, функции (или аргумент) под знаком модуля.
Возникла проблема в более детальном рассмотрении сложных функций, содержащих, в частности, произведение нескольких функций, чётность которых известна.
В связи с этим мною была выдвинута гипотеза: «произведение двух четных функций есть четная функция».
Поэтому объектом моего исследования является алгебра, а
предметом исследования – чётность функций, графики чётных функций.
Ставлю следующие цели и задачи:
1. Показать организацию учебной исследовательской работы по алгебре и обсудить целесообразность ее использования для развития моей личности, в частности, для развития моего исследовательского типа мышления.
2. Систематизировать и расширить знания по теме «Функции и их графики»:
а) изучить поведение графиков различных функций в зависимости от их свойств;
б) научиться выполнять различные преобразования графиков функций.
3. Составить коллекцию графиков функций и с ней познакомить желающих.
Для проверки гипотезы мною был собран «первичный фонд информации» в виде конкретных примеров известных мне функций.
Модель позволяет обобщить задачу и перейти от исследования конкретных, «живых» математических объектов к общей математической ее постановке.
На этапе применения я синтезирую новые задачи, в которых будет востребован данный материал, таким образом, присваивая его как инструмент для дальнейшего изучения математики.