Доказать что произведение многочленов
Доказать что произведение многочленов a(во второй степени)+2ab+4b(во второй степени) и a-2b равно частному от деления
Ответ или решение 2
Докажем, что произведение многочленов a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2 и a – 2 * b равно частному от деления многочлена 5 * a ^ 4 * b – 40 * a * b ^ 4 на одночлен 5 * a * b
Запишем используемые формулы для доказательства тождества:
Запишем выражение в виде:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a ^ 4 * b – 40 * a * b ^ 4)/(5 * a * b);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a * b * a ^ 3 – 5 * 8 * a * b * b ^ 3)/(5 * a * b);
Вынесем в правой части выражения в дроби в числителе общий множитель и получим:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a * b) * (1 * a ^ 3 – 1 * 8 * 1 * b ^ 3)/(5 * a * b);
Числитель и знаменатель в дроби в правой части выражения сокращаем на 5 * a * b, тогда получим:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = 1 * (1 * a ^ 3 – 1 * 8 * 1 * b ^ 3)/1;
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a ^ 3 – 8 * b ^ 3);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a ^ 3 – 2 ^ 3 * b ^ 3);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a ^ 3 – (2 * b) ^ 3);
Используя формулу сокращенного умножения (a ^ 3 – b ^ 3) = (a – b) * (a ^ 2 + a * b + b ^ 2) упростим выражение
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + a * 2 * b + (2 * b) ^ 2);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + a * 2 * b + 2 ^ 2 * b ^ 2);
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2);
Правую и левую часть выражения делим на (a – 2 * b), тогда получаем:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b)/(a – 2 * b) = (a – 2 * b) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2)/(a – 2 * b);
В правой и левой части выражения числитель и знаменатель в дроби сокращаем на (a – 2 * b), тогда получим:
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * 1/1 = 1 * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2)/1;
(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) = (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2);
Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:
a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2;
Отсюда получили, что тождество (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a – 2 * b) = (5 * a ^ 4 * b – 40 * a * b ^ 4)/(5 * a * b) верно.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Многочлен – сумма одночленов.
Любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых это число, не равное нулю.
Произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.
Чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Это мы научились выполнять на предыдущем занятии.
Сегодня мы будем находить произведение многочленов.
Для начала выясним, что такое произведение многочленов.
Оказывается, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена другого многочлена. Т. е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выглядит произведение многочленов а + с и многочлена х + у.
Найдите произведение многочленов а + с и х + у.
Видно, что произведение двух многочленов не зависит от того, какой из многочленов будем мы умножать.
Если поменяем полученные равенства местами, то получим разложение многочлена на множители.
ах + ау + сх +су = (а + с)(х + у)
Введём определение разложения многочлена на множители.
Разложением многочлена на множители называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.
Пример. Разложите многочлен на множители
Для этого возьмём любое число, не равное нулю, например, пять, вынесем его за скобки. Получается разложение на множители, один из которых имеет нулевую степень (это число пять), а другой – ту же степень, что и исходный многочлен (степень многочлена один).
Стоит отметить, что, если при умножении многочленов, один из них не представлен (или записан) в нестандартном виде, то его сначала можно привести к стандартному виду, а затем выполнить вычисления. В противном случае вычисления могут быть более сложными.
Найдём двумя способами произведение многочленов (2а – 4с + а)( х + 3у +х).
Первый способ: сначала приведём к стандартному виду тот многочлен, который записан не в стандартном виде, и затем выполним умножение.
Второй способ: будем выполнять умножение сразу, а затем приводить полученный многочлен к стандартному виду.
Запись первым способом короче, но результат вычислений одинаковый.
Выполним ещё одно задание.
Найдём произведение многочленов.
Данное выражение будет равно нулю.
Следовательно, произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.
Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.
Для этого на рисунке выделим 6 прямоугольников (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами у и с, третий – со сторонами а и k, четвёртый – со сторонами а и х, пятый – со сторонами у и k, шестой – со сторонами у и х).
Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, можно найти площадь каждого из шести прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, как произведение двух его смежных сторон (а + у) и (с + k + х).
Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Упростите выражение.
Это верное выражение.
Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение многочленов, раскрывать скобки, выполнять разложение многочленов на множители.
Доказать что произведение многочленов
Ключевые слова конспекта: произведение многочленов, умножение одночлена на многочлен, умножение многочлена на многочлен.
1. Умножение одночлена на многочлен
Пусть требуется умножить одночлен 2а 3 на многочлен 3а 4 – 4а 2 + а.
Составим произведение 2а 3 (3а 4 – 4а 2 + а).
При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:
Распределительный закон умножения относительно сложения, на котором основано правило умножения одночлена на многочлен, древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. доказывал на языке «геометрической алгебры»: если одна из сторон прямоугольника является суммой нескольких отрезков, то площадь всего прямоугольника можно найти как сумму площадей его частей. Например, если а = а 1 + а 2 + а 3 – одна сторона прямоугольника, b – его вторая сторона, то площадь прямоугольника равна ab = (ах + а 2 + а 3 )b = ах 6 + а 2 b + а 3 b. Если считать а = а 1 + а 2 + а 3 многочленом, а b – одночленом, то мы получим правило умножения многочлена на одночлен.
В рассмотренном примере мы представили произведение одночлена и многочлена в виде многочлена. Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. Причём степень произведения будет равна сумме степеней одночлена и данного многочлена.
Пример 1. Умножим одночлен –3ху на многочлен 2х 2 у + 4ху 2 – 1.
Имеем:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –3ху • 2х 2 у + (–3ху) • 4ху 2 + (–3ху) • (–1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.
Запись можно вести короче, не выписывая промежуточные результаты:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.
Каждое из произведений преобразуем в многочлен и сложим полученные многочлены:
4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4) = 8а 2 + 20а + 6а 2 – 2а – 3а 2 + 6а = 11а 2 + 24а.
2. Умножение многочлена на многочлен
Пусть требуется умножить многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов:
(а + b)(c + d).
Обозначим двучлен а + b буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
(а + b)(с + d) = х(с + d) = хс + xd.
В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + b)c + (а + b)d = ас + bc + ad + bd.
Итак,
(а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd.
Этот же результат для положительных а, b, с, d можно увидеть на рисунке, интерпретируя, вслед за Евклидом, произведение двучленов как площадь прямоугольника.
Произведение (а + b)(с + d) мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, которые получаются при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.
Мы пришли к следующему правилу:
При умножении многочлена а + b на многочлен с + d мы снова получили многочлен. Вообще произведение двух любых многочленов можно представить в виде многочлена. При этом если многочлен, содержащий m членов, умножается на многочлен, содержащий n членов, то в произведении получается многочлен, состоящий из mn членов (до приведения подобных членов). Этим удобно пользоваться для самоконтроля.
Пример 1. Умножим 3а 2 – 4аb + b 2 на многочлен 2а – b.
Умножение многочленов можно выполнять в столбик.
Из приведённого примера можно сделать полезный вывод: степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов–множителей. Действительно, первый множитель – многочлен степени 2, второй – двучлен степени 1, а их произведение – многочлен степени 2 + 1 = 3.
Рассмотрим пример умножения двух многочленов с одной переменной.
Пример 2. Представим в виде многочлена стандартного вида произведение многочленов 2x 2 – 3х + 1 и 5x + 4.
(2х 2 – 3х + 1)(5х + 4) = 10х 3 + 8х 2 – 15х 2 – 12х + 5х + 4 = 10х 3 – 7х 2 – 7х + 4.
Старшие коэффициенты многочленов–множителей равны 2 и 5, а старший коэффициент произведения равен 10. Свободные члены многочленов–множителей равны 1 и 4, а свободный член произведения многочленов равен 4. Легко видеть, что старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов множителей. Аналогично, свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов многочленов–множителей.
Пример 3. Упростим выражение (3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3).
Умножим многочлен 3х – 4 на многочлен 2х + 1, а многочлен х – 2 – на многочлен 6х + 3 и вычтем из первого произведения второе:
(3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3) = (6х 2 – 8х + 3х – 4) – (6х 2 + 3х – 12х – 6) =
= 6х 2 – 8х + 3х – 4 – 6х 2 – 3х + 12х + 6 = 4х + 2.
Это конспект по математике на тему «Произведение многочленов». Выберите дальнейшие действия:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Произведение одночлена и многочлена
Перечень рассматриваемых вопросов:
Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Вынесение за скобки общего множителя многочлена – преобразование многочлена в произведение одночлена и многочлена.
Разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Сумма противоположных многочленов равна нулю.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами два числовых выражения: 123 + 5 и 7.
Можем ли мы найти произведение данных выражений и его значение?
Значение данного выражения можно получить, используя распределительный закон умножения.
(123 + 5) · 7 = 123 · 7 + 5 · 7 = 861 + 35 = 896
Аналогичную арифметическую операцию можно выполнить и с любыми одночленами и многочленами, т.е. найти произведение одночлена и многочленов.
Посмотрим, как выполняется такое действие.
Для начала выясним, что такое произведение одночлена и многочлена.
Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена данного многочлена.
Например, найдите произведение одночлена х и многочлена а + с.
Если записать равенство в обратном порядке, т. е. преобразовать многочлен в произведение одночлена и многочлена, то получим результат выполнения действия, которое называют вынесением за скобки общего множителя.
Можно за скобки выносить и более сложный одночлен.
Например, выполним следующее задание.
Дан многочлен 8а 2 – 4ас– 6а. Вынесите за скобки общий множитель.
При выполнении задания нужно выделить одинаковые множители во всех членах исходного многочлена. В данном случае этот множитель равен 2а.
Выносим его за скобки и получаем произведение одночлена и многочлена следующего вида.
8а 2 – 4ас– 6а = 2а(4а– 2с– 3)
А теперь выполним следующее задание.
Найдём произведение многочлена и числа (-1). Раскроем скобки и в результате получим следующий многочлен.
При этом исходный и полученный многочлены называются противоположными.
4х 3 – 5х и – 4х 3 + 5х – противоположные многочлены.
Т. к. (4х 3 – 5х ) · (-1) = – 4х 3 + 5х
Эти многочлены противоположные, т. к. один получен из другого путём умножения первого на число минус один.
Рассмотрим сумму противоположных многочленов.
(4х 3 – 5х) +(-4х 3 + 5х) = 4х 3 – 5х – 4х 3 + 5х = (4 – 4)х 3 + (– 5 + 5)х = 0 · х 3 + 0 · х = 0
Раскроем скобки и приведём подобные члены в полученном многочлене. Вынесем у подобных членов букву за скобки, в результате в скобках получается числовое выражение равное нулю. Поэтому произведение нуля и буквы даст ноль. Поэтому сумма противоположных многочленов равна нулю.
Проверим следующее утверждение. Разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Запишем выражение соответствующее утверждению.
(5а – х)– (с + 4) = (5а – х)+ (-с – 4)
Далее рассмотрим правую и левую часть данного выражения, раскроем скобки и получим равные результаты для правой и левой части выражения.
(5а – х) – (с + 4) = 5а – х – с – 4
(5а – х) + (-с – 4) = 5а – х – с – 4
Таким образом, мы проверили данное утверждение о том, что разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
А теперь выясним, что будет происходить с многочленом, если его умножить на число 1.
(а + х) · 1 = а · 1 + х · 1 = а + х
Раскроем скобки и в результате получим исходный многочлен.
Если многочлен умножить на число 1, то в результате получится тот же самый многочлен.
Докажем это на практике.
Доказательства.
Пользуясь рисунком, докажите, что для а > 0; с > 0; k > 0; х > 0; у > 0.
а(с + k + х + у) = ас + аk + ах + ау
Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.
Для этого на рисунке выделим 4 прямоугольника (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами а и к, третий – со сторонами а и х, четвёртый – со сторонами у и а).
Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из четырёх других, можно найти площадь каждого из 4-х прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из четырёх других, как произведение двух его смежных сторон а и (с + k + х + у).
S2 = ас + аk + ах + ау.
S1 = S2, следовательно: а(с + k + х + у) = ас + аk + ах + ау.
Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Упростите (7ааааа+ 31х) · 81.
Для решения задания, сначала приведём многочлен в скобках к стандартному виду, а затем найдём произведение одночлена и многочлена.
(7ааааа + 31х) · 81 = (7а 5 + 31х) · 81 = 7а 5 · 81 + 31х · 81 = 567а 5 + 2511х
Ответ: 567а 5 + 2511х.
2. Подберите вместо букв А и В одночлены так, чтобы равенство было верным:
5с · (а + b) = 35асk + 20bс 2
При выполнении задания, разложим правую часть равенства на множители так, чтобы один из множителей был одночлен 5с, далее вынесем за скобки общий множитель 5с и получим в скобках одночлены a и b.
35асk + 20bс 2 = 5с · 7аk + 5с · 4bс = 5с · (7аk + 4bc)
Следовательно: a = 7аk; b = 4bс
Ответ: a = 7аk; b = 4bс.
Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение одночлена на многочлен, раскрывать скобки, выносить за скобки общий множитель.
Умножение многочлена на многочлен
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение многочлена
Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.
Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.
Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.
Как привести многочлен к стандартному виду:
Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:
(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.
(a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.
Правило умножения многочлена на многочлен
Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:
Правило умножения многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.
Алгоритм умножения многочлена на многочлен:
Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).
Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x 2 – 8a + 6ax.
Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).
Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x 3 – 29x 2 + 7x + 6.
Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.
Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x 2 − 7x + 1.
Запишем произведение: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1).
Из полученных выражений составим сумму: 2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1.
Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.
Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x 2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.
Запишем их произведение: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).
Умножим первые два многочлена:
(x 2 + xy − 1)(x + y) = x 2 x + x 2 y + xyx + xyy − 1x − 1y = x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y.
Таким образом: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3).
Снова выполним умножение двух многочленов:
(x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3) = x 3 2y + x 3 (−3) + 2x 2 y 2 y + 2x 2 y(−3) + xy 2 2y + xy 2 (−3) − x 2 y − x(−3) − y 2 y − y(−3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.
Ответ: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.