Доказать что пространство с0 сепарабельно

Сепарабельность вещественных чисел

Найти полноту, сепарабельность пространства
Объясните пожалуйста как доказать полноту и сепарабельность пространства C?

Сепарабельность пространства последовательностей действительных чисел
Помогите доказать сепарабельность пространства l2(множество которого служат все возможные.

Что такое сепарабельность
Здравствуйте! Я студент физического факультета..решил наконец взяться за ум,и сейчас изучаю заново.

Доказать сепарабельность пространства Лебега
Доказать, что для любого p\ge 1 пространство L_p(X) сепарабельно. Иначе говоря, в L_p(X) существует.

oobarbazanoo, Нашел сепарабельное пространство.
И в википедии есть строки:
Сепарабельные пространства обладают некоторыми привлекательными для математиков свойствами, вытекающими из возможности представить каждый элемент пространства как предел последовательности элементов из счётного множества, подобно тому, как всякое вещественное число можно представить в виде предела последовательности из рациональных чисел.

Можно поискать леммы и теоремы на тему «Действительное число, как предел последовательности рациональных чисел».

Множество вычислимое множество счётное.

X сепарабельное множество относительно соответствия R если и A вычислимое и плотное в X относительно соответствия R.

Добавлено через 1 минуту
В нашем случае X = R. Для доказательства необходимо найти A.

Подскажите, пожалуйста, правильные ли мои рассуждения.

Берём рациональные числа.

1. Это подмножество действительных чисел.
2. Рациональные числа счётное множество, а значит вычислимое.
3. Берём два рациональных числа. Тогда между ними обязательно найдётся не рациональное натуральное число.

Имея 1. 2. 3. по определению получаем что R сепарабельно.

Единственное что, так это не знаю как 3. показать.

Не видел определение, где бы счетность связывалась с вычислимостью. Также не видел, где бы вычислимость связывалась бы с сепарабельностью.

Байт, ясное дело что сепарабельность вещественных чисел необходимо доказывать с помощью рациональных чисел. Рациональные числа множество счётное. Значит остаётся доказать что между любыми двумя иррациональными числами присутствует рациональное число. Вот как я это делаю

Не знаю как доказать последний переход. Интуитивно понятно что существует такое m, а строго не могу сказать почему.

Решение

доказывается, опираясь либо непосредственно на определение вещественного числа, либо на известные свойства.

Допустим, мы определяем R как пополнение Q, то есть для каждого действительного числа a найдётся последовательность r1,r2. рациональных, что предел r1,r2. в R равен a. Тогда задача состоит в том, чтобы, имея две последовательности рациональных чисел, сходящихся к a и b, найти такое рациональное q, что все элементы (кроме, быть может, некоторых, которых конечное число) одной последовательности меньше q, а все элементы (кроме некоторых в конечном числе) второй — больше.
Итак, вспомогательная лемма:

если a \epsilon)» />. Стало быть, можно в качестве q взять любое значение tk при k>n.

Можно доказывать, пытаясь построить явно некую дробь. Например, пусть m = ceilng(2/(b-a)). Тогда 0 n будет n’/m > b.
3. если бы было n/m = a.

Найти суммы двух случайных чисел. a) целых чисел из диапазона от 50 до 100 b) вещественных чисел от 3х с половиной до 8
помогите решить Найти суммы двух случайных чисел. a) целых чисел из диапазона от 50 до 100 b).

Массив вещественных чисел. Выбрать среди положительных чисел наименьшее значение
Здравствуйте! Помогите решите задачу. Заранее спасибо! Создать массив вещественных чисел.

Дан файл вещественных чисел. Подсчитать среднее значение чисел большее 3
Файл уже заполнен. Не надо его заполнять на рандоме. Помогите пожалуйста.

В файле из 10 вещественных чисел сделать первые пять чисел последними и наоборот
В файле из 10 вещественных чисел сделать первые пять чисел последними и наоборот.

Источник

Сепарабельное пространство

Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, содержащее конечное или счётное всюду плотное множество.

Многие пространства, возникающие в математическом анализе и геометрии, являются сепарабельными. Сепарабельные пространства обладают некоторыми привлекательными для математиков свойствами вытекающих из возможности представить каждый элемент пространства как предел последовательности элементов из счётного множества, подобно тому как всякое вещественное число можно представить как предел последовательности из рациональных чисел.

Многие теоремы могут быть доказаны конструктивно только для сепарабельных пространств. Типичным примером такой теоремы является теорема Хана — Банаха, которая в случае сепарабельных пространств может быть доказана конструктивно, но в противном случае использует для доказательства аксиому выбора.

Свойства

Примеры

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Сепарабельное пространство» в других словарях:

СЕПАРАБЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство, обладающее счетной базой. Про такие пространства иногда говорят, что они удовлетворяют второй аксиоме счетности. М … Математическая энциклопедия

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… … Математическая энциклопедия

Локально стягиваемое пространство — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

ПСЕВДОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество X, наделенное псевдометрикой. Каждое П. м. нормально и удовлетворяет первой аксиоме счетности. Вторая аксиома счетности выполняется в том и только в том случае, когда X сепарабельное пространство. М. И. Войцеховский … Математическая энциклопедия

БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… … Математическая энциклопедия

ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое пространство, у к рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги… … Математическая энциклопедия

КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — концепция метрич. пространства, используемая в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства. Список где некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р… … Математическая энциклопедия

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Доказать сепарабельность замкнутого линеала

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 14.11.2010, 18:47, всего редактировалось 1 раз.

Рассмотрите проекции элементов исходного базиса на подпространство (т.е. результаты действия на элементы базиса ортопроектора на это подпространство). Любой элемент подпространства будет раскладываться в сходящийся ряд по этим проекциям (вообще говоря, неоднозначно, но какая разница).

Последний раз редактировалось moscwicz 14.11.2010, 18:50, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось MetaMorphy 14.11.2010, 18:52, всего редактировалось 1 раз.

Как-то всё слишком сложно у вас.

(Upd.: выше уже предложили доказать гораздо более общее утверждение.)

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Всё подобное. Ну нет у меня под рукой Канторовича с Акиловым. Я бы доказывал это так (скорее всего, и они примерно так же).

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Я просто не понимаю, что такое «счётная база» в метрическом случае. Вы хотите сказать: доказывается, что метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно сепарабельно, да.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Padawan 14.11.2010, 20:49, всего редактировалось 1 раз.

ewert
Вы не беспокойтесь, нижеследующее не для Вас, а для интересующихся. Вас на этом форуме, как я заметил, все равно никому никогда ни в чем переубедить не удавалось. Такое случается с профессиональными педагогами.

Док-во.
Пусть — метрическое пространство и — плотное подмножество.

Пусть — какое-нибудбь подпространство, покажем, что оно сепарабельно.
Для каждого и для каждого выберем элемент
такой, что .
Очевидно, и есть плотное множество в . Действительно,
если то

Остается взять достаточно большим и подобрать так что бы был достаточно малым.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

А что Вы будете делать в том случае, когда это множество пусто? Например, на координатной плоскости множество точек, у которых обе координаты рациональны, всюду плотно. Прямая, задаваемая уравнением , не содержит ни одной точки, у которой обе координаты рациональны.

На самом деле это делается иначе. Я приведу другую конструкцию, которая реализует стандартное в топологии рассуждение Padawan а, не упоминая таких «страшных» понятий, как база и вес топологического пространства. Эта конструкция существенно не отличается от конструкции moscwicz (но моё изложение несколько более подробное).

Пусть — сепарабельное метрическое пространство с метрикой , — его подпространство, — счётное всюду плотное подмножество . Будем обозначать открытый шар радиуса 0$» title=»$\varepsilon>0$» /> с центром в точке и, аналогично, , но здесь .

Построение. Для каждой точки и каждого натурального рассмотрим множество . Если это множество не пусто, то выберем какую-нибудь точку . Совокупность всех выбранных точек обозначим . Очевидно, — счётное подмножество пространства . Осталось доказать, что оно всюду плотно в .
Доказательство. Пусть — любое непустое открытое подмножество пространства . Возьмём любую точку . Так как открыто, существует такое 0$» title=»$\varepsilon>0$» />, что . Возьмём любое натуральное \frac 2<\varepsilon>$» title=»$n>\frac 2<\varepsilon>$» />. Так как всюду плотно в , найдётся точка . Так как множество содержит точку , то есть, не пусто, то при построении была выбрана точка . Имеем

поэтому , то есть, , поэтому всюду плотно в .

Источник

Сепарабельность

В топологии и смежных областях математики сепара́бельным пространством (от лат. separabilis — отделимый) называется топологическое пространство, в котором содержится не более чем счётное всюду плотное множество.

Очень многие классические пространства, встречающиеся в математическом анализе и геометрии, являются сепарабельными. Сепарабельные пространства обладают некоторыми привлекательными для математиков свойствами. Многие из этих свойств проистекают из возможности представить каждый элемент пространства как предел последовательности элементов из счётного плотного множества, подобно тому как всякое действительное число можно представить как предел последовательности из рациональных чисел.

Многие теоремы могут быть доказаны конструктивно только для сепарабельных пространств. Типичным примером такой теоремы является теорема Хана — Банаха, которая в случае сепарабельных пространств может быть доказана конструктивно, но в противном случае использует для доказательства аксиому выбора.

Свойства

Примеры

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Сепарабельность» в других словарях:

Сепарабельность актива — (asset separability) C.а. означает, что актив может быть отделен или выделен из (напр., вновь приобретенной) хозяйственной единицы и продан, перемещен, передан по лицензии, сдан в аренду или обменен (независимо от того, существуют ли вообще такие … Экономико-математический словарь

Сепарабельность функции — [se­­parability of function] в случае функции нескольких пе­ременных (аргументов) возможность разделения влияния аргументов на общий результат. Например, функция f (x1, …, xn) = ∑fi(xi), i = 1, …, n сепарабельная, поскольку каждое… … Экономико-математический словарь

сепарабельность актива — C.а. означает, что актив может быть отделен или выделен из (напр., вновь приобретенной) хозяйственной единицы и продан, перемещен, передан по лицензии, сдан в аренду или обменен (независимо от того, существуют ли вообще такие намерения).… … Справочник технического переводчика

Линейная сепарабельность — Два множества не разделимых линейно в … Википедия

Топологическое пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Топологическое пространство основной объект изучения топологии (термин «топология» в его рамках см. ниже). Исторически, понятие топологического пространства появилось как … Википедия

Сепарабельное пространство — (от лат. separabilis отделимый) топологическое пространство, содержащее конечное или счётное всюду плотное множество. Многие пространства, возникающие в математическом анализе и геометрии, являются сепарабельными. Сепарабельные… … Википедия

Многослойный перцептрон Румельхарта — У этого термина существуют и другие значения, см. Многослойный перцептрон. Архитектура многослойного перцептрона Многослойный перцептрон частный случай перцептрона Розенблатта, в котором один алгоритм обратного распространения … Википедия

С — Сальдо (balance) Cальдо внешней торговли [balance of trade] Сальдо государственного бюджета [balance of state bud­get] Сальдо торгового баланса см. Сальдо внешней … Экономико-математический словарь

БАЗИС — множества X минимальное порождающее его подмножество В. Порождение означает, что применением операций нек рого класса к элементам получается любой элемент Это понятие связано с понятием зависимости: элементы Xпосредством операций из ставятся в… … Математическая энциклопедия

Источник