Доказать что равенство является тождеством

Тождественно равные выражения. Тождества

Рассмотрим две пары выражений:

1) и

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных и значения выражений и равны.

2)

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Однако, можно указать такие значения и , при которых значения этих выражений не будут иметь равные значения. Например, если , то

Мы получили разные результаты.

Следовательно, выражения и являются тождественно равными, а выражения не являются тождественно равными.

Равенство — тождество, т.к. оно верно при любых значениях и .

Также к тождествам можно отнести равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел:

Можно привести и другие примеры тождеств:

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Очень часто при вычислении значений выражений, легче сначала упростить имеющееся выражение, а затем выполнять вычисления.

К тождественным преобразованиям можно отнести приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.

Примеры:

1) , мы преобразовали выражение в выражение .

2) , мы преобразовали выражение в выражение .

Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют следующие методы:

1) тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть;

2) тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение;

3) доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю.

Также, чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример, т.е. указать такое значение переменной (или переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется.

Пример: Докажите, что равенство не является тождеством.

Решение: Приведем контрпример. Если , то

, следовательно, равенство не является тождеством.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Тождества: определение, обозначение, примеры

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Источник

Доказательства тождеств

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Источник

Тождество

Тема урока: § 4. Тождество.

Тождественные выражения

Сравним значения выражений \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>\) при некоторых значениях переменной \( x.\) При \( x=2\) значение первого выражения \( 16,\) а второго \( 40.\) Числа \( 16\) и \( 40\) — соответственные значения выражений: \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>.\) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

Легко заметить, что не при всех значениях переменной \( x\) значения выражений \( 2x+3x^<2>\) и \( 5x^<3>\) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Что такое тождество?

Выражения \( x+5\) и \( 5+x\) тождественно равны, поэтому равенство \( x+5=5+x\) верно при любых значениях \( x.\) Такое равенство называют тождеством.

Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.

Примеры тождеств

Верное числовое равенство также называют тождеством.

Тождественные преобразования выражений

Рассмотрим выражения \( x(y+7)\) и \( xy+7x.\) Вычислим их значения при \( x=9\) и \( y=-2\)

Мы видим что при \( x=9\) и \( y=-2\) соответственные значения выражений \( x(y+7)\) и \( xy+7x\) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.

При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме \(5x+2x-3x.\)

Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример 2. Раскроем скобки выражения \(2a+(b-3c).\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении \(a-(4b-c).\)

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Доказательство тождеств

Если в выражении \(\textcolor<#ed5fa6><5(b-c)-3c>\) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение \(\textcolor<#ed5fa6><5b-8c.>\)

верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.

Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:

Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

\[\small\begin <2>7(2+b)-(14-b)= \\ 14+7b-14+b= \\ 8b \end\] В результате тождественных преобразований мы получили правую часть равенства \((1).\) Значит, это равенство есть тождество.

Левая и правая части равенства \((2)\) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство \((2)\) — тождество.

Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство \(x+2=2x\) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях \(x.\) Однако, например, при \(x=1\) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.

Задачи для самостоятельного решения

№1. Являются ли выражения тождественно равными:

Первые два выражения тождественно равны. Т.е. равны при любых значениях переменной \(\footnotesize c. \)

Тождество, т.к. \(\footnotesize (x-x)a=0\cdot a=0 \)

Пятая пара выражений не будет являться тождеством. Предположим обратное:

Видно что равенство верно при \(\footnotesize x=y,\) но если \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) отличны друг от друга, то равенства достигаться не будет.

Тождество. Рассмотрим первое выражение

Видно, что первое выражение в точности является вторым.

№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:

Источник

Конспект урока «Доказательство тождеств».

Конспект урока «Доказательство тождеств».

Тема урока: Доказательство тождеств.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

научить использовать способы преобразования многочленов для доказательства тождеств. Рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств. Проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного

Планируемые результаты обучения:

— смыслообразования (осознание личностного смысла учебной деятельности, формирование внутренней мотивации к учению в связи с интересами и жизненными планами ученика)

— положительное отношение к учению, к познавательной деятельности,

— рефлексия собственной деятельности,

Знать: определение тождества; способы доказательства тождеств;

Понимать: в чем отличие тождества от других равенств;

Уметь: доказывать тождества различными способами: способом преобразования одной части к виду другой, способом одновременного преобразования обеих частей к тождественно равным выражениям, с помощью доказательства равенства нулю разности частей тождества.

-постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно,

-выбор, принятие и сохранение учебной цели и задачи,

— осуществление самоконтроля и самооценки, осознание качества и уровня усвоения,

— умение определить способы действий, алгоритм решения задачи в рамках предложенных условий и требований,

— умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения,

— умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, алгоритмы и схемы для решения учебных и познавательных задач,

— самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска,

— умение структурировать знания; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений,

— проводить анализ объектов с целью выделения признаков.

-умение формулировать собственное мнение и позицию,

— осознанное построение речевых высказываний,

-восприятие выступлений учащихся,

— участие в обсуждении содержания материала,

-планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками,

-умение работать индивидуально и в группе, находить общее решение,

-умение формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Добрый день уважаемые ученики, как ваше настроение? Готовы ли вы сегодня получить новые и интересные знания? Так давайте же приступим…

Прежде чем открыть для себя что то новое на уроке, я предлагаю вам сыграть в игру которая называется лото. (На столе карточки-лото). Я произношу пример, а вы должны вычеркнуть правильный ответ. (В конце разминки должно остаться два числа 81 и 74). Начнем.

9+12=21; 8+14=22; 13-7=6; 19-4=15; 7х9=63; 3х8=24; 21:7=3; 50:2=25; 59+17=76; 31-18=13;

15х3=45; 4х12=48; 99:11=9; 42:7=6

1 этап: Актуализация знаний.

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа) выход к доске.

На решение примера дается 3 минуты, учащиеся решают после чего им задается вопрос. Можно ли назвать данное выражение уравнением? (да). А можно ли применить к этому выражению другое определение? (тождество)

Одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение.

Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это — уравнение.

Любое тождество должно быть………. (доказано).

Поэтому тема сегодняшнего урока ….(док-во тождеств), а целью будет научиться использовать способы доказательства тождеств.

2 этап. Изучение нового материала.

Скажите какие действия вы совершили при выполнении задания? А что такое тождественное преобразование выражений? (вопрос для дальнейшего изучения темы)

Задание по группам: Докажите тождество

На ваших столах карточки с примером, вы должны решить их самостоятельно и сформулировать способы решения данных выражений. На карточках есть подсказки чтобы правильно сформулировать эти способы. 5 минут на выполнение.

Карточки с заданием

Выпишите выражение в левой части указанного равенства, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением правой части, сделайте вывод.

5х – 7 = 28х – 3 – х – 4 – 22х

Выпишите выражение правой части указанного равенства, приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением левой части и сделайте вывод.

(х – 5)(х + 2) = (х + 4)(х – 7) + 18

Выпишите сначала выражение левой части, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, затем выпишите выражение правой части, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Сравните полученные выражения, сделайте вывод.

Группы высказывают свое мнение.

Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране появляются равенства. Найдите равенство которое не будет являться тождеством, и встаньте если равенство является тождеством, если же нет то оставайтесь на месте.

— Что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся:

Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
или

Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
или

Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

— А если не будет выполняться то, о чем мы только что сказали? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.

Оцените свою деятельность:

На ваших столах лежат листочки с графиком.

Вам нужно построить график того как вы поняли тему урока. На оси ординат расположены баллы от 1 до 9, а на оси абсцисс этапы нашего урока. Соотнесите каждый этап урока с баллами.

Источник