Доказать что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Середины сторон прямоугольника — вершины ромба

Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Дано : ABCD — прямоугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать : MKNF — ромб.

1) Проведём диагонали AC и BD.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как F и M — середины AB и BC, FM- средняя линия треугольника ABC.

3) Аналогично, в треугольнике ADC

в треугольнике ABD

в треугольнике BCD

Значит, FM=MN=KN=FK. Следовательно, MNKF — ромб (по признаку).

По доказанному, сторона ромба равна половине диагонали прямоугольника. Следовательно, периметр ромба равен удвоенной длине диагоналям прямоугольника:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Диагонали ромба MNKF равны сторонам прямоугольника ABCD, следовательно, площадь ромба равна половине произведения сторон прямоугольника:

Доказать, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

M, N, K, F — середины его сторон

Доказать : MNKF — прямоугольник.

1) По теореме Вариньона, MNKF- ромб.

2) Проведём диагонали AC и BD.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

По условию, M и N — середины сторон AB и BC.

Значит, MN — средняя линия треугольника ABC (по определению).

4) Аналогично, в треугольнике BCD

Две прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, также перпендикулярны:

6) Имеем: в параллелограмме MNKF ∠MNK=90º.

Значит, MNKF- прямоугольник (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Периметр прямоугольника MNKP равен сумме диагоналей ромба ABCD

Площадь прямоугольника MNKP равна половине площади ромба ABCD