Доказать что сфера замкнутое множество
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Помогите доказать замкнутость множества.
 |
Последний раз редактировалось egor.onuchin 05.06.2012, 22:22, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
 |
|
Последний раз редактировалось egor.onuchin 05.06.2012, 23:28, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
 |
|
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось Dave 06.06.2012, 00:13, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
 |
| Заморожен |
 |
Последний раз редактировалось Профессор Снэйп 08.06.2012, 16:07, всего редактировалось 1 раз.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
|
Последний раз редактировалось chem_victory 05.06.2013, 18:16, всего редактировалось 4 раз(а).
— непрерывна, как композиция непрерывных.
Непрерывность в точке гарантирует что точка либо изолирована, либо предельная. (По опр : 
).
т.е как доказать что каждая точка предельна?
| Заслуженный участник |
 |
|
Последний раз редактировалось chem_victory 05.06.2013, 18:38, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
|
|
Последний раз редактировалось chem_victory 05.06.2013, 19:09, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
|
Последний раз редактировалось chem_victory 05.06.2013, 19:15, всего редактировалось 1 раз.
не выходит, наведите..
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось ewert 05.06.2013, 19:19, всего редактировалось 1 раз.
Никак. Замкнутость сферы следует просто из её абстрактного определения и из неравенства треугольника, независимо от того, какими формулами задаётся расстояние.
| Заслуженный участник |
|
|
Никак. Замкнутость сферы следует просто из её абстрактного определения и из неравенства треугольника, независимо от того, какими формулами задаётся расстояние.
Цитата из того же Зорича:
из непрерывности 
следует замкнутость сферы.
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
|
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось Otta 05.06.2013, 19:55, всего редактировалось 2 раз(а).
мат-ламер в сообщении #733137 писал(а):
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
§ 10. Открытые и замкнутые множества
В этом параграфе мы рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно открытые и замкнутые множества.
Множество М, лежащее в некотором метрическом пространстве R, называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: [М] = М. Иначе говоря, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
В силу теоремы 1 § 9 замыкание любого множества М есть замкнутое множество. Из теоремы 2 § 9 вытекает, что [М] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М.
Примеры. 1. Любой сегмент [а, b] числовой прямой есть замкнутое множество.
2. Замкнутая сфера представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве 
множество функций f, удовлетворяющих условию 
замкнуто.
3. Множество функций, удовлетворяющих условию 
(открытая сфера), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию 
4. Каково бы ни было метрическое пространство R, пустое множество и все R суть замкнутые множества.
5. Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.
Основные свойства замкнутых множеств можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема 1. Пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых множеств суть замкнутые множества.
Доказательство. Пусть 
где 
— замкнутые множества.
Пусть, далее, х — предельная точка множества F. Это означает, что любая ее окрестность 
содержит бесконечно много точек из F. Но тогда тем более содержит бесконечно много точек из каждого и, следовательно, так как все замкнуты, точка х принадлежит каждому 
таким образом, 
т. е. замкнуто.
Пусть теперь F — сумма конечного числа замкнутых множеств: 
и пусть точка х не принадлежит F, Покажем, что х не может быть t=i
предельной для F. Действительно, х не принадлежит ни одному из замкнутых множеств 
следовательно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого i у точки х можно найти окрестность 
содержащую не более чем конечное число точек из 
Взяв из окрестностей 
наименьшую, мы получим окрестность точки х, содержащую не более чем конечное число точек из F.
Итак, если точка х не принадлежит F, то она не может быть предельной для F, т. е. F замкнуто. Теорема доказана.
Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в М.
Множество, все точки которого — внутренние, называется открытым множеством.
Примеры. 6. Интервал (а, b) числовой прямой D 1 есть открытое множество; действительно, если 
то 
где 
целиком содержится в интервале (а, b).
7. Открытая сфера S(a, r) в любом метрическом пространстве R есть открытое множество. Действительно, если 
то 
Положим 
Тогда 
8. Множество непрерывных функций, удовлетворяющих условию 
где К — некоторое число, представляет собой открытое подмножество пространства 
Теорема 2. Для того чтобы множество М было открыто, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение Р \ М до всего пространства R было замкнуто.
Доказательство. Если М открыто, то каждая точка 
имеет окрестность, целиком принадлежащую М, т. е. не имеющую ни одной общей точки с R \ М. Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащих R \ М, не может быть точкой прикосновения для R \ М, т. е. R\ M замкнуто. Обратно, если R\ М замкнуто, то любая точка из М имеет окрестность, целиком лежащую в М, т. е. М открыто.
Так как пустое множество и все R замкнуты и в то же время являются дополнениями друг для друга, то из доказанной теоремы вытекает
Следствие. Пустое множество и все R открыты.
Из теоремы 1 и из установленного в § 1 принципа двойственности (пересечение дополнений равно дополнению суммы, сумма дополнений равна дополнению пересечения) вытекает следующая важная теорема, двойственная теореме 1.
Теорема 1‘. Сумма любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.
Замкнутые и открытые множества
Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.
Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек
Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.
1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.
4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.
Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.
В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).
Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.
Канторово совершенное множество
Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.
Можно показать, что множество имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.
Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.
Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Замкнутость множества граничных точек
|
Задание: показать, что множество граничных точек любого множества Е (Е подмножество 
), является замкнутым множеством.
Доказательство:От противного. Предположим, что существут предельная точка Х(т.е.множество предельных точек незамкнуто), не принадлежащая множеству граничных точек. В ее окрестности сожержица хотя бы одна граничная точка, => в ее окрестности сожержатся как точки принадлежещие множеству граничных точек, так и нет => по опрелению граничной точки Х тоже будет граничной точкой и будет принадлежать множеству граничных точек => противоречие и множество замкнуто.
Если што неправильно, плз исправьте.
При перемещении в тематический раздел заголовок изменен на более информативный. Первоначальный: «Проверьте плз доказательство». / GAA
| Заслуженный участник |
 |
|
| Заслуженный участник |
|
Вообще-то смотря что изначально называть граничными точками. Мне кажется, наиболее разумно определять границу как разность между замыканием и внутренностью области. Тогда замкнутость границы почти тривиальна.
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
 |
Доказательство для произвольного топологического пространства 
. Чтобы была аналогия с обсуждавшимися доказательствами, я буду предполагать, что для каждой точки 
выбрана некоторая база топологии 
в точке 
, элементы которой называются окрестностями точки (в случае метрического пространствоа в качестве такой базы обычно берётся множество открытых шаров с центром в данной точке или часть этого множества, содержащая шары сколь угодно малого радиуса).
Пусть 
— некоторое множество, 
— его граница, 
— точка прикосновения множества . Берём любую окрестность 
точки 
. Так как — точка прикосновения множества , то найдётся точка 
. Так как 
— база топологии пространства в точке 
, найдётся окрестность 
, удовлетворяющая условию 
. Поскольку 
, выполняются условия 
и 
. Тем более 
и 
. Поэтому 
. Таким образом, множество содержит все свои точки прикосновения и, следовательно, замкнуто.
| Заморожен |
|
А начерта Вам база топологии? Почему бы с самим фильтром окрестностей не работать? То есть оставить то же самое, но называть «окрестностями» не элементы базы фильтра, а сами элементы фильтра окрестностей.
Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:
Упс, пардон, понял. Вам нужны открытые окрестности. То есть наличие в каждой точке базы фильтра окрестностей, состоящей из открытых множеств.
Кстати, я вот уже точно не помню, чем топология отличается от предтопологии. Случайно не этим самым (наличием у каждой точки базы фильтра окрестностей, состоящей из открытых множеств)?
| Заслуженный участник |
|
В топологии обычно окрестностью точки или множества называют любое открытое множество, содержащее данную точку или множество. Если я буду употреблять термин «окрестность» в таком смысле, то доказательство замкнутости границы сильно упростится и будет меньше похоже на то, что излагали предшественники. Для придания некоторого сходства я и ввёл эти базы.
Что касается использования окрестностей, не являющихся открытыми множествами, то оно вполне возможно, но, как правило, не практикуется, так как обычно усложняет рассуждения.
Этим самым (С.С.Кутателадзе. Основы функционального анализа. Глава 9).
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей