Доказать что система многочленов образует базис в пространстве р3
Убедиться, что многочлены составляют базис базис пространства Р2 многочленов, степени которых не превосходят 2
Образует ли система многочленов базис в линейном ространстве многочленов степени не выше 3
Образует ли система 1, t, t^2-t, t^3-t^2+t многочленов базис в линейном ространстве многочленов.
Доказать что векторы а1,а2,а3,а4 образуют базис четырехмерного пространства
Помогите пожалуйста! Доказать что векторы а1,а2,а3,а4 образуют базис четырехмерного.
Многочлены есть функции непрерывные; в пространстве непрерывных функций нулевым элементом является функция, тождественно равная нулю. Подставив вместо их выражения, получим
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства:
К предыдущему ответу хотел бы добавить следующее.
Впрочем, алгебра многочленов над бесконечным полем (и даже бесконечным целостным кольцом) изоморфна алгебре полиномиальный функций.
И тут уважаемого Igor можно понять, он вывел задачу из алгебры в ее объемлющий анализ (причем, как вы заметили, изоморфно) доказал нечто уже на этом уровне, а потом спустился обратно по пологому спуску изоморфизма. Примерно таким же образом устроен принцип производящих рядов.
Неа. Как вы засунете в матанализ многочлены над конечными полями? Или, например, непонятно, как с точки зрения матанализа смотреть на изоморфизм (многочлен с рациональными коэффициентами однозначно восстанавливается по своему значению при x = π).
Конечно, операция подстановки вместо х разных вещей очень важна. Это «гомоморфизм вычисления». Однако именно благодаря универсальности понятия многочлена, благодаря тому, что никто не «заставляет» ничего подставлять, фактически можно подставлять самые разные вещи, а не только элементы кольца. Этим обусловлена применимость многочленов в разных теориях (например, многочлены от операторов или символы дифференциальных операторов в УЧПах).
Я ещё не очень уяснил, насколько тут суровая модерация, поэтому на всякий случай квалифицирую как офтоп. Забанят ведь. :jokingly:
При такой постановке вопроса, это означает, что не всякая непрерывная функция является многочленом. Это очевидно. Скорее всего, имелось в виду нечто другое.
@falcao, видимо, базис Шаудера имеется ввиду, иначе вопрос бессмысленен. Хотя и в таком случае утверждение почти очевидно.
А что могло под этим подразумеваться еще? Перечитав эту задачу несколько раз мне приходит такая же мысль, что нужно показать что непрерывная функция не всегда есть многочлен бесконечной степени.
Многочленов бесконечной степени не бывает. Вы знаете про разные виды базисов? Гамеля и Шаудера. В бесконечномерном случае писать просто «базис» нельзя, надо конкретизировать.
@KappaGolden: здесь из контекста никак не видно, какой предмет изучается. По названиям, можно подумать на линейную алгебру. Только по причине того, что в этом предположении ответ на вопрос тривиален, возникает мысль о том, что подразумевается нечто другое. Но в этом случае нужно в формулировке говорить о базисе Шаудера, а в пространстве C[a,b] указывать топологию (или норму).
1 ответ
отвечен 11 Мар 17:36
@caterpillar: можно ли здесь вместо общего рассуждения взять функцию типа |x-(a+b)/2|, и про неё доказать, что она в степенной ряд не раскладывается? Или это будет не проще?
@falcao, я в своей последней фразе именно такую функцию и подразумевал. По-моему, тут лучше общее рассуждение, тем более, что оно практически также проводится с другими системами функций, типа экспонент.
Базис пространства четных многочленов
Базис линейного пространства чётных многочленов f(x) степени не выше 4
Содержит 4 вектора таких, что f(0)=0
(нуль-вектор не считается, тк не входит в базис)
Найти базис линейной оболочки векторов, и выразить через этот базис остальные векторы системы
Найти базис линейной оболочки векторов, и выразить через этот базис остальные векторы системы.
Образует ли система многочленов базис в линейном ространстве многочленов степени не выше 3
Образует ли система 1, t, t^2-t, t^3-t^2+t многочленов базис в линейном ространстве многочленов.
Буквально вопрос записан так:
Сколько векторов в базисе линейного пространства чётных многочленов f(x) степени не выше 4 таких, что f(0)=0?
Добавлено через 2 минуты
Базис в пространстве многочленов
Доказать, что каждая из двух систем функций t-t2, t3, 1+5t+t3, (1+t)3 и (1+t)3, (1-t)3.
Базис в линейном пространстве многочленов
Образует ли следующая система многочленов 1,x,
Проверить, образует ли следующая система многочленов базис
Образует ли следующая система многочленов 1-x^4, x-x^4, x^2-x^4, x^3-x^4, x^4 базис в линейном.
Базис сопряжённого пространства
Объясните, пожалуйста, на пальцах как получить базис сопряжённого пространства.
Базис векторного пространства
Подскажите пожалуйста,как найти базис пространства. с=1
Размерность и базис линейного пространства
Определения размерности и базиса
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ( базисных векторов ).
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства можно дополнить до базиса пространства.
2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.
3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.
5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.
Примеры базисов линейных пространств
Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.
5. В пространстве матриц размеров можно выбрать 6 матриц:
которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация
6. Для любого натурального в пространстве многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены линейно независимы, так как их линейная комбинация
Во-первых, покажем, что система линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов и приравняем ее нулевой функции
т.е. функция представлена в виде линейной комбинации функций (числа — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов является базисом сопряженного пространства и (для конечномерного пространства ).
Доказать что система многочленов образует базис в пространстве р3
в задании3
Берете матрицу А
х1 х2
х3 х4
Умножаете на Ваш столбец, приравниваете
Решаете систему, там будет главных неизвестных и два свободных
Потом записываете матрицу А с учетом получившегося
Вообще матричное пространство матриц размера 2х2 (с действ. элементами) имеет размерность 4
Базис
10
00
==
01
00
==
00
10
==
00
01
==
Так вот решения данного матричного уравнения будут образовывать подпространство уже меньшей размерности. Базис уже будет не такой. Надо будет написать базис с учетом общего вида решений.
—————
В общем, вы начните и выкладывайте на проверку и конкретные вопросы задавайте
Полных решений я давать не могу, а разговаривать надо уже на конкретном материале
В номере:
каким образом мы складываем эти коэффиценты? почему мы берем, к примеру, 1-x^2 и 1-х?
wart №3
Ранг равен 2
присмотритесь внимательнее
в матрице 2 строчки и 5 столбцов
И потом я думаю, что в задаче требуется найти размерность матричного подпространства (то есть стоит после правильного решения еще потом вернуться к матрицам)
===
Если вы сказали да, то я так понимаю: у каждого многочлена сумма коэффициентов равна 0
Например многочлен
f1=1-x^2=1+0*x-1*x^2
коэффициенты равны 1,0,-1
их сумма равна 0
Спасибо большое, со второй задачей разобрался, а вот с третьей никак.
x1 x2. 2. (2*x1+x2)
x3 x4 умножить на 1 = (2*x3+x4)
Потом приравниваем к нулевой матрице, получаем:
(2*x1+x2) | 0
(2*x3+x4) | 0
Получилась матрица 2х1
потому что неизвестных у нас 4
2*x1+x2+0*х3+0*х4=0
0*х1+0*х2+2*x3+x4=0
х1 х2 х3 х4 |св.чл.
2. 1. 0..0.. |0
0. 0..2. 1. |0