Доказать что след ab равен следу ba

Доказать что след ab равен следу ba

Прикладная математика
основные математические формулы

8. Определитель и след линейного оператора. Положим

Tr f = Tr A_f = , где A_f = (a_ik)

Инвариантность определителя относительно сопряжения очевидна:

Tr AB = , Tr AB = .

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Пример

Характеристики

Основные свойства

Матрица и ее транспонирование имеют одинаковый след:

Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

След продукта

Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.

Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:

Циклическое свойство

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

След матричного произведения

След продукта Кронекера

След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:

Полная характеристика следа

Следующие три свойства:

Инвариантность подобия

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы

Отношение к собственным значениям

След единичной матрицы

След идемпотентной матрицы

След нильпотентной матрицы

Трассировка равна сумме собственных значений

В более общем смысле, если

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора

Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

След эрмитовой матрицы

След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.

След матрицы перестановок

След матрицы проекции

Матрица P _X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.

Экспоненциальный след

След линейного оператора

Отношения собственных значений

В более общем смысле,

Производные

который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.

Приложения

Алгебра Ли

Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как: грамм л п знак равно s л п ⊕ K <\ displaystyle <\ mathfrak > _ = <\ mathfrak > _ \ oplus K>

0 → s л п → грамм л п → tr K → 0 <\ displaystyle 0 \ to <\ mathfrak > _ \ to <\ mathfrak > _ <\ overset <\ operatorname> <\ to>> K \ to 0>

Билинейные формы

След определяет билинейную форму:

Форма является симметричной, невырожденной и ассоциативной в том смысле, что:

Для сложной простой алгебры Ли (такой как _n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства. s л <\ displaystyle <\ mathfrak >>

Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если

Внутренний продукт

Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем

Обобщения

Если K является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением ( φ п ) п <\ Displaystyle (\ varphi _ <п>) _ <п>>

и конечна и не зависит от ортонормированного базиса.

Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.

Безкоординатное определение

К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением

Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :

можно интерпретировать композиционную карту

( V ⊗ V * ) × ( V ⊗ V * ) → ( V ⊗ V * ) <\ displaystyle (V \ otimes V ^ <*>) \ times (V \ otimes V ^ <*>) \ to (V \ otimes V ^ <*>)>

происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних терминах, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

что то же самое, в то время как

Если t определено, как указано выше,

Двойной

Далее, можно дуализировать эту карту, получив карту

Затем можно составить их,

F,>

Обобщения

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Пример

Характеристики

Основные свойства

Матрица и ее транспонирование имеют одинаковый след:

Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

След продукта

Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.

Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:

Циклическое свойство

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

След матричного произведения

След продукта Кронекера

След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:

Полная характеристика следа

Следующие три свойства:

Инвариантность подобия

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы

Отношение к собственным значениям

След единичной матрицы

След идемпотентной матрицы

След нильпотентной матрицы

Трассировка равна сумме собственных значений

В более общем смысле, если

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора

Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

След эрмитовой матрицы

След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.

След матрицы перестановок

След матрицы проекции

Матрица P _X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.

Экспоненциальный след

След линейного оператора

Отношения собственных значений

В более общем смысле,

Производные

который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.

Приложения

Алгебра Ли

Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как: грамм л п знак равно s л п ⊕ K <\ displaystyle <\ mathfrak > _ = <\ mathfrak > _ \ oplus K>

0 → s л п → грамм л п → tr K → 0 <\ displaystyle 0 \ to <\ mathfrak > _ \ to <\ mathfrak > _ <\ overset <\ operatorname> <\ to>> K \ to 0>

Билинейные формы

След определяет билинейную форму:

Форма является симметричной, невырожденной и ассоциативной в том смысле, что:

Для сложной простой алгебры Ли (такой как _n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства. s л <\ displaystyle <\ mathfrak >>

Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если

Внутренний продукт

Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем

Обобщения

Если K является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением ( φ п ) п <\ Displaystyle (\ varphi _ <п>) _ <п>>

и конечна и не зависит от ортонормированного базиса.

Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.

Безкоординатное определение

К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением

Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :

можно интерпретировать композиционную карту

( V ⊗ V * ) × ( V ⊗ V * ) → ( V ⊗ V * ) <\ displaystyle (V \ otimes V ^ <*>) \ times (V \ otimes V ^ <*>) \ to (V \ otimes V ^ <*>)>

происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних терминах, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

что то же самое, в то время как

Если t определено, как указано выше,

Двойной

Далее, можно дуализировать эту карту, получив карту

Затем можно составить их,

F,>

Обобщения

Источник

След (линейная алгебра)

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

Пример [ править ]

Свойства [ править ]

Основные свойства [ править ]

tr ⁡ ( A + B ) = tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) tr ⁡ ( c A ) = c tr ⁡ ( A ) <\displaystyle <\begin\operatorname

(\mathbf +\mathbf )&=\operatorname

(\mathbf )+\operatorname

(\mathbf )\\\operatorname

(c\mathbf )&=c\operatorname

(\mathbf )\end>>

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: [2] [3] [4] : 34

Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

След продукта [ править ]

Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.

Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:

Циклическое свойство [ править ]

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

След матричного продукта [ править ]

След продукта Кронекера [ править ]

След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:

Полная характеристика следа [ править ]

Следующие три свойства:

Инвариантность подобия [ править ]

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы [ править ]

Связь с собственными значениями [ править ]

След единичной матрицы [ править ]

След идемпотентной матрицы [ править ]

След нильпотентной матрицы [ править ]

Трассировка равна сумме собственных значений [ править ]

В более общем смысле, если

f ( x ) = ∏ i = 1 k ( x − λ i ) d i <\displaystyle f(x)=\prod _^\left(x-\lambda _\right)^>>

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора [ править ]

Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. [примечание 3] Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

След эрмитовой матрицы [ править ]

След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.

След матрицы перестановок [ править ]

След матрицы проекции [ править ]

Матрица P _X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.

Экспоненциальный след [ править ]

След линейного оператора [ править ]

Отношения собственных значений [ править ]

В более общем смысле,

Производные [ править ]

который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.

Приложения [ править ]

Алгебра Ли [ править ]

Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как: g l n = s l n ⊕ K <\displaystyle <\mathfrak >_=<\mathfrak >_\oplus K>

0 → s l n → g l n → tr K → 0 <\displaystyle 0\to <\mathfrak >_\to <\mathfrak >_ <\overset <\operatorname><\to >>K\to 0>

Билинейные формы [ править ]

След определяет билинейную форму:

Форма является симметричной, невырожденной [примечание 4] и ассоциативной в том смысле, что:

Для сложной простой алгебры Ли (такой как _n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства. s l <\displaystyle <\mathfrak >>

Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если

Внутренний продукт [ править ]

Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем

Обобщения [ править ]

Если K является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением ( φ n ) n <\displaystyle (\varphi _)_>

и конечна и не зависит от ортонормированного базиса. [6]

Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.

Определение без координат [ править ]

К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением

Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :

можно интерпретировать композиционную карту

( V ⊗ V ∗ ) × ( V ⊗ V ∗ ) → ( V ⊗ V ∗ ) <\displaystyle (V\otimes V^<*>)\times (V\otimes V^<*>)\to (V\otimes V^<*>)>

происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних терминах, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

что то же самое, в то время как

Если t определено, как указано выше,

Двойной [ править ]

Далее можно дуализировать эту карту, получив карту

Затем можно составить их,

F,>

Обобщения [ править ]

Источник

След (линейная алгебра)

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

След из п × п квадратной матрицы А определяется как [2] [3] [4] : 34

Пример [ править ]

Свойства [ править ]

Основные свойства [ править ]

tr ⁡ ( A + B ) = tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) tr ⁡ ( c A ) = c tr ⁡ ( A ) <\displaystyle <\begin\operatorname

(\mathbf +\mathbf )&=\operatorname

(\mathbf )+\operatorname

(\mathbf )\\\operatorname

(c\mathbf )&=c\operatorname

(\mathbf )\end>>

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: [2] [3] [4] : 34

Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.

След продукта [ править ]

Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.

Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:

Циклическое свойство [ править ]

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.

След матричного продукта [ править ]

След продукта Кронекера [ править ]

След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:

Полная характеристика следа [ править ]

Следующие три свойства:

Инвариантность подобия [ править ]

След произведения симметричной и кососимметричной матрицы [ править ]

Связь с собственными значениями [ править ]

След единичной матрицы [ править ]

След идемпотентной матрицы [ править ]

След нильпотентной матрицы [ править ]

След нильпотентной матрицы равен нулю.

Трассировка равна сумме собственных значений [ править ]

В более общем смысле, если

f ( x ) = ∏ i = 1 k ( x − λ i ) d i <\displaystyle f(x)=\prod _^\left(x-\lambda _\right)^>>

то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.

След коммутатора [ править ]

Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. [примечание 3] Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

След эрмитовой матрицы [ править ]

След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.

След матрицы перестановок [ править ]

След матрицы проекции [ править ]

Матрица P _X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.

Экспоненциальный след [ править ]

След линейного оператора [ править ]

Отношения собственных значений [ править ]

В более общем смысле,

Производные [ править ]

который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.

Приложения [ править ]

Алгебра Ли [ править ]

Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как: g l n = s l n ⊕ K <\displaystyle <\mathfrak >_=<\mathfrak >_\oplus K>

0 → s l n → g l n → tr K → 0 <\displaystyle 0\to <\mathfrak >_\to <\mathfrak >_ <\overset <\operatorname><\to >>K\to 0>

Билинейные формы [ править ]

След определяет билинейную форму:

Форма является симметричной, невырожденной [примечание 4] и ассоциативной в том смысле, что:

Для сложной простой алгебры Ли (такой как _n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства. s l <\displaystyle <\mathfrak >>

Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если

Внутренний продукт [ править ]

Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем

Обобщения [ править ]

Если K является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением ( φ n ) n <\displaystyle (\varphi _)_>

и конечна и не зависит от ортонормированного базиса. [6]

Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.

Определение без координат [ править ]

К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением

Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :

можно интерпретировать композиционную карту

( V ⊗ V ∗ ) × ( V ⊗ V ∗ ) → ( V ⊗ V ∗ ) <\displaystyle (V\otimes V^<*>)\times (V\otimes V^<*>)\to (V\otimes V^<*>)>

происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних терминах, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.

В координатах это соответствует индексам: умножение дается на

что то же самое, в то время как

Если t определено, как указано выше,

Двойной [ править ]

Далее можно дуализировать эту карту, получив карту

Затем можно составить их,

F,>

Обобщения [ править ]

Источник