Доказать что сумма кубов трех
Почему сумма трёх кубов – это такая сложная математическая задача
Тяжело искать ответы в бесконечном пространстве. Математика уровня старших классов может помочь вам сузить область поисков.
Учитывая, что люди изучают свойства чисел тысячи лет, можно было бы решить, что нам известно всё о числе 3. Однако недавно математики обнаружили нечто новое касательно числа 3: третий способ выразить это число в виде суммы трёх кубов. Задача записи числа через сумму трёх кубов целых чисел оказывается неожиданно интересной. Легко показать, что большую часть чисел нельзя записать в виде одного куба или суммы из двух кубов, но существует гипотеза, что большую часть чисел можно записать в виде суммы из трёх кубов. Однако найти эти кубы оказывается иногда чрезвычайно сложно.
Если вам захочется проверить этот результат, не пытайтесь использовать калькулятор. Большинство из них не справится с таким количеством цифр. Но с этим справится WolframAlpha.
В поисках новых вариантов решений для числа 3, математики используют техники, придуманные в этом году Буккером, первым нашедшим сумму трёх кубов для числа 33. Но почему на подобные прорывы требуется столько времени? В поисках правильных кубов приходится покрывать очень большую территорию, а нужное направление нам может указать лишь небольшое число подсказок. Поэтому фокус состоит в том, чтобы найти более хитрые методы поиска. Чтобы представить себе саму задачу и её решение, начнём с более простого вопроса: как мы можем записать 33 в виде суммы трёх целых чисел?
Мы можем записать 33 = 19 + 6 + 8, или 33 = 11 + 11 + 11, или 33 = 31 + 1 + 1. Мы можем использовать и отрицательные числа: 33 = 35 + (−1) + (−1). Существует бесконечное множество способов сделать это, поскольку всегда можно увеличить одно или два числа и уменьшить третье для компенсации этого – например, 33 = 36 + (−1) + (−2), 33 = 100 + 41 + (−108), и так далее.
При суммировании квадратов у нас нет той же гибкости, что при суммировании любых целых чисел. У нас меньше выбор, и, что ещё важнее, сложение лишь увеличивает нашу сумму. Ведь квадраты целых чисел не бывают отрицательными – возведение в квадрат и положительного и отрицательного числа всегда даёт положительное.
Имея шесть вариантов для каждого их трёх квадратов, мы получаем не более 6 × 6 × 6 = 216 способов записать 33 как их сумму. Достаточно небольшой список для того, чтобы проверить все возможности и убедиться, что мы ничего не пропустили.
Неограниченность пространства поиска означает, что мы можем искать ответы очень долго. И люди искали их десятилетиями. Понадобился суперкомпьютер и хитрая математика, чтобы найти, наконец, правильную комбинацию кубов. Давайте посмотрим, как это удалось сделать.
Допустим, вам нужно найти решение уравнения:
Простой подход – разметить некий регион чисел и подставлять каждый из них, пока что-нибудь не подойдёт. Если вы ничего не найдёте, можно определить новое пространство поиска и начать сначала. Это похоже на поиск новых планет при помощи методичного изучения неба в телескоп.
(−100) 3 + (−100) 3 + (−100) 3
Не вышло. Тогда вы пробуете:
(−99) 3 + (−100) 3 + (−100) 3
Тоже не работает. Вы продолжаете, пока не дойдёте до (100, −100, −100), потом переключаетесь на (−100, −99, −100), и вновь продолжаете свою охоту. В итоге вы проверите порядка 200 × 200 × 200 = 8 000 000 вариантов, не найдя ничего подходящего. Придётся обозначить новое пространство поиска и начать заново.
Более интересный подход – переписать уравнение в следующем виде:
33 – (x 3 + y 3 ) = z 3
Ещё более удобный подход — переписать уравнение в следующем виде:
Теперь мы перебираем z, а для каждого вычисленного z мы используем хитрый фокус из курса математики. Выражение x 3 + y 3 всегда можно разложить так:
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 )
Это формула для суммы кубов. Чтобы проверить её, просто перемножим правую часть, пользуясь правилом дистрибутивности:
(x + y)(x 2 – xy + y 2 ) = x 3 – x 2 y + xy 2 + yx 2 – xy 2 + y 3 = x 3 + y 3
Такой метод позволяет вместо 200 3 = 8 000 000 троек или даже 200 2 = 40 000 пар исследовать 200 возможных вариантов z. Дополнительную работу составляют разложение на множители и проверка, но в целом поисковая эффективность серьёзно растёт. И всё равно пространство поисков, изученное в поисках суммы кубов, дающих такое число, как 33, настолько огромно, что даже такие улучшения не могут помочь суперкомпьютерам близко подступиться к этой задаче.
Тут на сцену и вышел Эндрю Букер. Он разработал некоторые дополнительные техники, используя алгебру и теорию чисел, для ещё более сильного улучшения поисковой эффективности. Напустив суперкомпьютер своего университета на эту задачу, через три недели он получил впервые найденное представление числа 33 как суммы трёх кубов:
33 = 8 866 128 975 287 528 3 + (−8 778 405 442 862 239) 3 + (−2 736 111 468 807 040) 3
Решив эту задачу, перед тем, как перейти к числу 3, Букер и Сазерленд решили такую же задачу для числа 42:
42 = (−80 538 738 812 075 974) 3 + 80 435 758 145 817 515 3 + 12 602 123 297 335 631 3
Вас может удивить, что спустя тысячи лет, мы ещё можем узнать что-то новое о таких числах, как 3, 33 и 42. Возможно ещё более удивительным будет то, что этому могут помочь такие абстрактные вещи из школьной математики, как формула для суммы кубов. Однако так работает математика, и поэтому мы продолжаем наши изыскания. Так что следите за числом 114 – самым маленьким из чисел на сегодня, для которого пока ещё не найдена сумма из трёх кубов. У меня есть ощущение, что для Эндрю Букера и других математиков поиск уже начался.