Доказать что тензор вырождается в скаляр
Магия тензорной алгебры: Часть 2 — Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
Введение
Несказанно рад, что читателям понравилась предыдущая статья. Сразу сделаю оговорку — просто рассказать о таком ёмком понятии как тензор не получится — велик объем информации. Могу обещать, что к концу цикла мозаика сложится.
А в прошлый раз мы остановились на том, что рассмотрев представление вектора в косоугольном базисе, и определив, что он представляется двумя разными (ковариантными и контравариантными) наборами координат, получили общие выражения для скалярного произведения, учитывающие изменение метрики пространства. Таким образом, мы весьма осторожно подошли к понятию тензора
Тензор — математический объект, не изменяющийся при изменении системы координат, представленный набором >своих компонент и правилом преобразования компонент при смене базиса.
Скалярное произведение — это хорошо. Но как же быть с остальными операциями? Как они связываются с геометрией пространства и представимы ли в тензорном виде? Разумеется представимы, ведь векторы — это… тензоры! И скаляры — это тоже тензоры. Привычные нам математические объекты лишь частные примеры более общего понятия, коим является тензор.
Вот об этом мы и поговорим под катом.
1. Геометрический смысл метрического тензора
Для наглядности, которая не слишком повлияет на общность рассуждений, ограничимся трехмерным пространством. Докажем следующее утверждение — определитель метрического тензора равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы базиса.
Рис. 1. Соотношения в трехгранном угле, образованном базисом
Рассмотрим произвольный базис
Вычислим объем параллелепипеда, натянутого на базис так, как это принято в стереометрии
где S — площадь основания параллелепипеда; h — высота, проведенная к данному основанию.
Площадь основания вычисляется тривиально — как модуль векторного произведения
С определением высоты придется повозится. Если бы мы знали угол , то легко нашли бы высоту
Угол связан с линейными и двугранными углами трехгранного угла
– первая теорема косинусов для трехгранного угла. Из нее выражаем косинус двугранного угла
Квадрат синуса необходимого нам угла выражаем через полученный косинус
Выполняем последовательные подстановки от (6) до (2), не забывая возвести в квадрат площадь S и высоту h. Выкладки достаточно громоздкие и для их выполнения можно воспользоваться СКА (Maple или Mathematica) и получить квадрат объема параллелепипеда
Теперь вычислим определитель метрического тензора. Им называется определитель матрицы, которая составлена из компонентов тензора. Входящие в нее скалярные произведения векторов базиса выпишем в явном виде
Вычислив его, получим тот же результат, что и для квадрата объема
Таким образом, утверждение (1) верно. Соответственно, объем параллелепипеда, натянутого на базис можно получить извлечением корня из определителя метрического тензора
где для краткости обозначим значение определителя.
Корень (7) часто встречается в литературе по ОТО и альтернативным теориям гравитации типа РТГ. Эта величина имеет фундаментальное значение и пригодится нам чуть позже.
2. Тензорное произведение векторов. Диада. Ранг тензора. Свертка
Обратим внимание на выражение скалятного произведения
Величину
называют тензорным произведением двух векторов или диадой. Тензорным это произведение названо потому что перемножаются тензоры и на выходе получается тензор, в данном случае второго ранга, . Ранг тензора — это количество его индексов. Вектор, внезапно, тоже является тензором, только первого ранга. Да это и понятно — ведь вектор, как геометрическая сущность, не зависит от системы координат, в которой его рассматривают. От выбора системы координат зависят лишь его компоненты.
Тензор второго ранга (8), разумеется, представлен матрицей своих компонент
Используя (8) можно переписать скалярное произведение в виде
это тоже тензорное произведение, называемое сверткой из-за того, что приводит к уменьшению ранга результирующего тензора. Все индексы в (10) «немые», по ним производится двойное суммирование компонент метрического тензора и диады и на выходе получатся число c.
Внимательный читатель скажет, что на выходе должен получится тензор. Так тензор и получается — скаляр, это тоже тензор. Нулевого ранга, так как не имеет индексов и не подлежит преобразованию при смене базиса. Скалярное произведение инвариантно относительно смены базиса, ибо ни длина участвующих в нем векторов ни угол между ними от смены базиса не меняются. Значит скаляр — это тензор нулевого ранга.
Но не любое число есть скаляр. Скаляр — это длина вектора, скалярное произведение векторов, масса материального тела, абсолютная температура и прочие величины, не зависящие от системы координат. Компонента вектора уже не является скаляром — она меняется при смене базиса.
О ранге тензоров и типе из компонент мы поговорим чуть позже, а пока перейдем к следующему животрепещущему вопросу.
3. Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты
Вернемся к нашим векторам и выполним их векторное умножение
За неимением других вариантов, аккуратно раскроем скобки, помня о некоммутативности операции
Разумеется мы хорошо учились в университете и знаем, что векторное произведение вектора самого на себя равно нулю. Но мы не будем сильно спешить с упрощением, ибо кроме этого, несомненно приятного факта, мы видим ещё одну вешь — компоненты диады (9). Но кроме упрощения связанного с нулевым произведением коллинеарных векторов мы больше ничего не наблюдаем. Мы работаем с произвольным базисом в чистом виде.
Применим хитрость — умножим вектор скалярно на первый вектор базиса учтя теперь, что произведения
Коэффициенты в квадратных скобках — смешанные произведения векторов. Если векторы компланарны (лежат в одной плоскости) то такое произведение равно нулю. То есть, если в смешанном произведении повторяется хотя бы один вектор, оно равно нулю. Значит у нас остается только два слагаемых из девяти, в которых не повторяются векторы при смешанном умножении
Так, а теперь вспоминаем, что — ковариантная компонента вектора . Ну и наконец переставим векторы в векторном произведении первого слагаемого, добавив минус как и положено по правилу векторного произведения
Аналогичным образом выделяем остальные компоненты
Выражения (11) — (13) очень напоминают формулы для расчета проекций векторного произведения из курса векторной алгебры, с точностью до множителя со смешанным произведением. Но мы-то работаем не в декартовом базисе, естественно ожидать некоторое отличие. Кстати, а что это за множитель? Ведь смешанное произведение векторов имеет геометрический смысл… Это же… объем параллелепипеда, натянутого на векторы в нем участвующие. А объем параллелепипеда, натянутого на базис это ведь корень из определителя метрического тензора! То есть
Вот она и всплыла на поверхность, метрика используемого пространства. Таким образом, можно построить некий тензор, свертка исходных векторов с которым дает ковариантный вектор, являющийся результатом векторного произведения. Более того, этот тензор связан с метрическим тензором. Таковой тензор третьего ранга носит имя итальянского математика Леви-Чивиты.
Не трудно увидеть, что компоненты тензора Леви-Чивиты определяются соотношением
Их будет 27, но большинство из них, а именно 21 равны нулю. Это те компоненты, индексы которых повторяются хотя бы один раз. Ненулевых компоненты только шесть, они соответствуют не повторяющимся индексам. По модулю они равны , но три из них положительны, другие три отрицательны. В формулах (11) — (13) мы переставили векторы местами и добавили минусы, чтобы сделать коэффициенты при диадах положительными а сами формулы похожими на привычные нам по курсу векторной алгебры. Теперь вернем всё на свои места
Знак смешанных произведений зависит от порядка индексов: в наборах (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) они положительны, в наборах (1,3,2), (2,1,3) и (3,2,1) — отрицательны. Известно, что если векторы заданы в правой системе координат, то их смешанное произведение будет положительно, если они образуют правую тройку векторов. В первых слагаемых (16) — (18) фигурируют правые тройки векторов базиса. Во вторых слагаемых, в смешанном произведении участвуют те же векторы, но взятые как левая тройка.
Как определить, какую тройку дают базисные векторы? Очень просто, ведь они упорядочены, им присвоены номера 1, 2, 3. Если мы соблюдаем порядок следования векторов, мы получаем тройку, соответствующую используемой системе координат, то есть (1,2,3) — правая тройка.
А если первым мы берем вектор 2? То за ним должен следовать вектор 3, по порядку. А какой следующий? А следующий вектор 1, начинаем всё сначала, но не нарушая порядка следования векторов, то есть и (2,3,1) — правая тройка, ну и (3,1,2) — тоже правая тройка. Говоря языком комбинаторики — базисные векторы в упорядоченной тройке образуют четную перестановку (то есть не нарушающую порядок следования элементов). Если порядок следовая векторов в тройке обратный принятому, то их перестановка будет нечетной. Таким образом перестановки (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) — нечетные, а тройки векторов — левые.
Используя всё вышесказанное, введем функцию
и, на основании (14) и (19) наконец выпишем тензор Леви-Чивиты
для правой системы координат
для левой системы координат.
После этого можно выписать выражение для векторного произведения в тензорном виде
Таким образом — векторное произведение, это свертка диады тензором Леви-Чивиты, дающая на выходе ковектор — то есть вектор, заданный ковариантными компонентами.
4. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов
Вооружившись полученными знаниями рассмотрим теперь такую операцию
Не оперируя векторами, попробуем сразу записать её в тензорном виде. Во-первых, скалярное произведение коммутативно, поэтому
А теперь вспомним, что скалярное произведение можно расписать как тензорное
произведение ковектора на вектор
Векторное произведение, исходя из (21)как раз и дает ковектор, а значит
То есть, окончательно, смешанное произведение в тензорной форме
где снова участвует тензор Леви-Чивиты.
Выражение (22) можно было получить оперируя векторами, выйдя опять на определение тензора Леви-Чивиты, но, как видно, рациональнее использовать тензорную запись.
5. Ранг тензора. Ковариантные и контравариантные компоненты
Итак, в процессе разбора векторных операций мы пришли к выводу, что тензоры — это математические объекты, обобщающие свойства и операции над многими, известными нам математическими объектами. Тензорами являются и скаляры и векторы. Различаются они рангом и количеством ковариантных и контравариантных компонент. Ранг равен общему числу индексов тензора, а обозначается он парой целых чисел в скобках (p, q), где p — число контравариантных индексов, q — число ковариантных индексов. Говорят что тензор — p-раз контравариантный и q-раз ковариантный, ранга p+q.
Преобразование компонент вектора производится путем применения к нему линейного оператора, по сути умножением матрицы преобразования на столбец, содержащий компоненты вектора, что в тензорной форме выглядит как
то вектор и ковектор — это два разных представления одного и того же геометрического объекта — вектора. В ортогональном базисе (векторы которого взаимно перпендикулярны) контравариантные и ковариантные координаты cовпадают. Переход от одного представления к другому производится сверткой с метрическим тензором
где контрвариантный метрический тензор, компоненты которого — матрица,
обратная матрице компонент тензора .
Для скалярного умножения ковектора на вектор не нужно использовать метрический тензор, оно производится прямой сверткой с вектором.
Преобразование компонент ковектора так же производится путем применения к нему линейного оператора, но в отличие от вектора, производится умножение строки, содержащей компоненты ковектора на матрицу преобразования координат
где — результат преобразования; — исходный вектор; — компоненты матрицы линейного оператора. Рассмотрим процесс преобразования линейного оператора. Пусть S матрица перехода от одно базиса к другому. Тогда, при смене базиса преобразуются оба вектора — и аргумент и результат
Подставляя (24) в (23) получаем
откуда, умножая слева на матрицу получаем
где — компоненты матрицы . С другой стороны, для векторов в новом базисе справедливо
сравнивая (25) и (26), получаем выражение преобразования линейного оператора
Все перечисленные объекты обладают общностью свойств: имеют набор компонент и правило преобразования при смене базиса.
Выводы
Подведем некоторые итоги.
Во-первых, мы выяснили, что векторные операции могут быть сведены к тензорным соотношениям, что избавляет нас от неудобства каждый раз выводить формулы для них при использовании экзотической системы координат или увеличении размерности пространства. Соотношения останутся прежними, изменится только внутренность тензоров, связанных с геометрией пространства и выбором положительного направления вращения в нем. Учитывая, что многие уравнения физики, математики и механики оперируют векторными величинами, использование тензоров позволяет записать уравнения лишь однажды. Кроме того, тензорная запись компактна — это упрощает проведение выкладок.
Во-вторых, мы понимаем, что многие математические объекты — скаляры, векторы, билинейные формы, линейные операторы — всё это частные случаи тензоров, а значит их свойства могут быть обобщены под могучим крылом своего более сложного собрата-тензора.
В дальнейшем мы увидим, как тензорная запись позволяет подходить к весьма прозаичным вопросам с общих позиций, облегчая жизнь исследователю.
Магия тензорной алгебры: Часть 5 — Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
Введение
Прежде чем продолжать рассказ о прикладных аспектах применения тензорного исчисления, совершенно необходимо затронуть ещё тему, обозначенную заголовком. Эти вопросы всплывали в неявной форме во всех предыдущих частях частях цикла. Однако, мной были допущены некоторые неточности, в частности тензорные формы записи скалярного и векторного произведения в статьях 1 и 2 были названы мною «сверткой», хотя на деле они являются комбинацией свертки и умножения тензоров. О сложении, умножение тензоров на число, о тензорном произведении упоминалось только вскользь. О симметричных, антисимметричных тензорах вообще речи не шло.
В этой заметке мы поговорим о тензорных операциях более подробно. Для дальнейших упражнений нам потребуется хорошо в них ориентироваться.
Кроме того, важным является представление о симметричных и антисимметричных тензорах. Мы узнаем о том, что любой тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части, а также познакомимся с тем фактом, что антисимметричной части тензора можно поставить в соответствие псевдовектор. Многие физические величины (к примеру угловая скорость) являются псевдовекторами. И именно тензорный подход к описанию физических явлений позволяет выявить истинную природу некоторых величин.
1. Четыре основных действия над тензорами
1.1. Умножение тензора на скаляр и сложение тензоров (линейная комбинация)
Под умножением на число понимают умножение на это число каждой компоненты исходного тензора. В результате получается тензор того же ранга, что и исходный.
Складывать же, можно только тензоры, имеющие одинаковый ранг. В бескомпонентной записи линейная комбинация тензоров выглядит так
где — скаляры. Если перейти к компонентной записи, то, например, для тензоров второго ранга данная операция выглядит следующим образом
1.2. Умножение тензоров
Умножение выполняется над тензорами любого ранга. Результатом является тензор суммарного ранга. Пусть, например — тензор ранга (0,1), а — тензор ранга (0,2). Тогда результатом их умножения будет тензор ранга (0,3)
или, в компонентной форме
С тензорным произведением мы уже сталкивались во второй статье, рассматривая диаду. Вернемся к этому ещё раз, перемножив два вектора
что в компонентной форме
дает матричное представление полученной диады
Из последних примеров, в частности видно, что в общем случае тензорное произведение не коммутативно
что очень легко проверить, выписав умножение в компонентной форме и выписав матричное представление диады
Очевидно, что , но так же очевидно и то, что
Это является следствием выполнения другого действия над тензорами
1.3. Перестановка индексов тензора
При этом из компонент исходного тензора образуется новая совокупность величин, с другим порядком индексов. Ранг тензора при этом не изменяется. Например, из тензора ранга (0,3) можно получить три других тензора , и , таких что
Для тензоров второго ранга возможно лишь одна перестановка, называемая транспонированием
Выше, когда мы рассмотрели не коммутативность тензорного произведения и переставили векторы, образующие диаду мы как раз и выполнили перестановку индексов, ведь перестановка множителей ведет к перестановке индексов результирующего тензора
1.4. Свертка
Сверткой называется суммирование компонент тензора по какой-либо паре индексов. Это действие выполняется над одним тензором и на выходе дает тензор с меньшим на два. Скажем, для тензора второго ранга, свертка дает скаляр, называемый, первым главным инвариантом или следом тензора
Свертка всегда производится по паре разновариантных индексов (один индекс должен быть верхним, а другой нижним).
Очень часто свертку комбинируют с произведением тензоров. Иногда такую комбинацию называют внутренним произведением тензоров. При этом тензоры сначала перемножают, а потом сворачивают получившийся тензор суммарного ранга. Примером может служить, использованная нами ранее запись скалярного произведения
что эквивалентно безиндексной записи
Точка, напоминающая скалярное произведение, в безиндексной записи как раз и означает совмещение умножения со сверткой. Свертка производится по соседей с точкой паре индексов. Покажем весь процесс развернуто. Из ковектора и вектора умножением образуем тензор ранга (1,1)
Свернем получившийся тензор по его единственной паре индексов
Однако не стоит считать эту точку скалярным произведением, поскольку, например вот такая операция
так же умножение совмещенное со сверткой
но по смыслу производимых действий оно эквивалентно произведению матриц, которыми представлены компоненты тензоров.
2. Симметричные и антисимметричные тензоры
Тензор называется симметричным по паре индексов, если он не изменяется при перестановке этих индексов
Если тензор не меняется при перестановке любых двух индексов, то он является абсолютно симметричным
Тензор называют антисимметричным по паре индексов, если при их перестановке тензор меняет знак
Если тензор меняет знак при перестановке любых двух индексов, то он является абсолютно антисимметричным
Любой тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную, по выбранной паре индексов, части. Доказать это очень легко, пусть дан тензор . Проведем над ним эквивалентные преобразования
где симметричная часть тензора
а его антисимметричная часть
Чтобы не оставалось сомнений, докажем, для полученных нами тензоров, симметричность
Если говорить о тензорах второго ранга, то если таковой тензор симметричен, то он же и абсолютно симметричен. Это же касается и антисимметричного тензора второго ранга. Эти свойства следуют непосредственно из данных нами определений — у тензора второго ранга всего одна пара индексов.
Антисимметричный тензор обладает любопытным свойством. Пусть тензор второго ранга — антисимметричный. Тогда его компоненты удовлетворяют условию
данное условие выполнимо только в том случае, если диагональные компоненты тензора — нули, так как при перестановке индексов (и транспонировании матрицы компонент) диагональные компоненты переходят сами в себя. А единственное число, противоположное самому себе это ноль. Компоненты симметричные относительно главной диагонали имеют противоположные знаки.
Таким образом, из девяти компонент антисимметричного тензора второго ранга только три являются независимыми (речь идет, разумеется, о трехмерном пространстве). Три независимые компоненты образуют вектор (или ковектор). Логично предположить, что может существовать некий вектор, который однозначно зависит от данного антисимметричного тензора. Попробуем найти такой вектор.
3. Сопутствующий вектор тензора второго ранга
Для того чтобы разобраться с этим вопросом я хорошенько, до перегрева клавиш на клавиатуре, «погуглил». Толкового и вместе с тем элегантного ответа на сформулированный параграфом вопрос я не нашел, поэтому предлагаю свой ответ, являющийся в некотором роде компиляцией и переработкой полученных мною сведений.
Вспомним о тензоре Леви-Чивиты, о котором я уже подробно писал тут, и построим такой тензор
Докажем, что тензор (1) — антисимметричный. Переставим в нем индексы
Минус в (2) вылез из-за того, что тензор Леви-Чивиты — абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга. Перестановка индексов в нем, ведет к перестановке векторов базиса, на смешанном произведении которых построен данный тензор. Таким образом тензор (1) действительно антисимметричный. Тогда мы можем легко найти вектор
Примечание: о том, откуда взялись в (3) две дельты Кронекера можно прочитать в восьмой статье цикла.
соответствующий антисимметричному тензору . Тензор третьего ранга в (3), это контравариантный тензор Леви-Чивиты, который повторяет свойства ковариантного собрата с той лишь разницей, что
– для правой системы координат (для левой надо изменить знак ненулевых компонент на противоположный). Компоненты вектора (3), с учетом свойств тензора (4) определяются однозначным образом
или, если представить матрицу компонент антисимметричного тензора , то перед нами предстанет такая запись
Заметим ещё один факт, не упомянуть который нельзя, но оставив строгое доказательство за рамками данной статьи (к этому мы вернемся несколько позже). Если тензор /> является истинным тензором, то соответствующий ему вектор (3) является псевдовектором или аксиальным вектором. Псевдовектор преобразуется как и вектор при повороте координатных осей, но при смене базиса с правого на левый (или с левого на правый) — меняет своё направление на противоположное (все его компоненты меняют знак).
Если же в (1) вектор — истинный вектор, то образованный из него антисимметричный тензор является псевдотензором — компоненты такого тензора преобразуются так же как и компоненты истинного тензора при повороте осей системы координат, но меняют знак на противоположный при смене ориентации базиса.
Таким образом, любому антисимметричному тензору можно поставить в соответствии псевдовектор, получаемый в соответствии с выражением (3).
Теперь покажем, что симметричный тензор не имеет соответствующего ему псевдовектора, вернее этот псевдовектор — нулевой. Допустим, нам дан симметричный тензор , то есть справедливо равенство
Предположим, что существует вектор
Переставим индексы в (6) учитывая симметричность (5)
Выражение (7) справедливо только в одном случае, если
То есть, если мы умножим симметричный тензор на тензор Леви-Чивиты с последующей сверткой по двум парам индексов, мы получим нулевой вектор. Если мы проделаем аналогичное с произвольным тензором второго ранга
на выходе получится псевдовектор, соответствующий его антисимметричной части.
Заключение
Получилось еще одно погружение в теорию тензорного исчисления. Но погружение несомненно нужное, ибо результаты, собранные в данной статье мы используем в дальнейших статьях цикла. Спасибо читателям за проявленное внимание!