Доказать что точки являются вершинами квадрата

Квадрат в синусе

Задача

При некоторых натуральных \(n\) на синусоиде \(y=n\sin x\) можно найти четверку точек, являющихся вершинами квадрата, центр которого совпадает с началом координат. Пример такой ситуации приведен на рис. 1.

1) Докажите, что при \(n=3\) на синусоиде нет таких квадратов.
2) Покажите, что при \(n=5\) существует два таких квадрата.
3) Сколько таких квадратов существует при \(n=10\)?

Подсказка

Постройте математическую модель задачи, составив соответствующее уравнение. На вид оно должно получиться довольно громоздким, но это не должно вас испугать: чтобы ответить на поставленные в задаче вопросы, решать его не потребуется. Нужно будет проанализировать это уравнение на предмет количества корней, а сделать это удобно при помощи графиков.

Решение

Громоздкость полученного уравнения наводит на мысль применения графического способа решения уравнений, ведь нам нужны не корни уравнения, а их количество. Чтобы легче было строить графики, запишем уравнение в виде \(n\sin x=-\mathrm\,(\frac xn)\). При таком подходе нам нужно построить в координатной плоскости графики функций \(y=n\sin x\) и \(y=-\mathrm\,(\frac xn)\).

Первый из них хорошо известен, он представляет собой синусоиду \(y=\sin x\), растянутую вдоль оси \(Oy\) в \(n\) раз.

Чтобы понять, что представляет собой второй график, вспомним общую теорию преобразования графиков. Конкретнее, нам нужно понимать, как располагаются графики следующих трех функций друг относительно друга: некой функции \(y=f(x)\), обратной ей функции \(y=f^<-1>(x)\) и функции \(y=-f^<-1>(x)\). Из школьного курса алгебры известно, что графики \(y=f(x)\) и \(y=f^<-1>(x)\) симметричны относительно прямой \(y=x\), а графики \(y=f^<-1>(x)\) и \(y=-f^<-1>(x)\) симметричны относительно оси \(Ox\) (рис. 2).

Далее нужно вспомнить, что композицией двух осевых симметрий с пересекающимися осями на плоскости является поворот с центром в точке пересечения этих осей (см. Теорема Шаля). При этом угол поворота равен удвоенному углу между осями. В нашем случае угол между осями симметрии равен 45°, поэтому график функции \(y=-f^<-1>(x)\) получается из графика функции \(y=f(x)\) поворотом на угол 90° по часовой стрелке вокруг начала координат.

Эти рассуждения проведены для графиков функций, они же остаются в силе и для графиков уравнений, с той лишь разницей, что обратная функция не всегда существует. Дело в том, что обратная функция существует только для монотонных функций, но все рассуждения о преобразовании графиков можно провести по-отдельности для промежутков монотонности функций, входящих в уравнения: для каждого из них будет получаться одинаковый вывод о том, на какой угол и относительно какой точки нужно повернуть соответствующий кусок графика уравнения. А значит, можно считать, что он поворачивается как единое целое.

Несложно убедиться, что функция \(y=-\mathrm\,(\frac xn)\) — это как раз \(-f^<-1>(x)\) для \(f(x)=n\sin x\). Значит, графиком уравнения \(y=-\mathrm\,(\frac xn)\) является синусоида \(y=n\sin x\), повернутая на 90° вокруг начала координат.

Теперь приступим к решению конкретных задач.

1) Построим синусоиду \(y=3\sin x\) и повернем ее на 90° вокруг начала координат по часовой стрелке. Полученные два графика имеют только одну общую точку — начало координат (рис. 3). Это так, поскольку \(3

Послесловие

Естественный вопрос: а сколько квадратов лежит на синусоиде \(y=n\sin x\) при других натуральных значениях \(n\)? Пользуясь методом, рассмотренным при решении основной задачи, можно найти число \(a(n)\) квадратов при не очень больших \(n\), то есть, фактически, определить начало последовательности \(a(n)\). Вот ее первые двадцать членов:

Решая задачу графически, мы отметили, что у каждого искомого квадрата по одной вершине лежит в каждой координатной четверти, поэтому можно построить фрагменты графиков \(y=n\sin x\) и \(y=-\mathrm\,(\frac xn)\), расположенные только в этой четверти, и посчитать точки пересечения — именно столько будет квадратов. На рис. 6 показан такой фрагмент пересечения графиков при \(n=18\), и отмечены точки пересечения. Но чтобы рассмотреть участок, помеченный знаком вопроса, нужно уметь увеличивать картинку. Это, да и вообще вручную пересчитывать точки, не очень удобно.

Тем не менее, кое-какие наблюдения можно сделать и в «ручном» режиме. Интересно, что во всех таких «спорных» ситуациях, когда синусоиды проходят очень близко, точек пересечения либо две, либо ноль. Ровно одна точка пересечения не обнаруживалась ни разу, то есть касание синусоид не получалось. Бывает ли касание синусоид при натуральных \(n\)? Этот вопрос пока остается открытым.

С увеличением \(n\) квадраты, если изобразить только их, выстраиваются в симпатичный узор. Так, на синусоиде \(y=20\sin x\) расположено 42 квадрата, а на синусоиде \(y=50\sin x\) — 252 квадрата. Соответствующие «паутины» изображены на рис. 7.

По таблице можно построить график начального участка последовательности \(a(n)\). Он представляет собой множество из 20 точек, абсциссы которых — это номера членов последовательности, ординаты — члены последовательности (рис. 8). Например, буквой \(A\) на рис. 8 отмечен 13-й член последовательности, равный 18.

Интересно, что график последовательности хорошо согласуется с параболой \(y=\frac<\pi^2>\): точки графика располагаются в непосредственной близости от параболы. Это означает, что члены последовательности можно приблизительно находить по формуле \(a(n)\approx\frac<\pi^2>\). Почему это так, станет понятно чуть ниже.

Как следует из того, что мы уже обсуждали, число \(a(n)\) связано с количеством решений \(K_n\) уравнения \(n\sin (n\sin x)=-x\) равенством \(a(n)=\frac<4>\). Эта формула очевидна, но толку от нее мало, потому что в общем случае непонятно, как решать это тригонометрическое уравнение.

Несмотря на то, что информации о последовательности было не очень много, я отправил ее в Энциклопедию целочисленных последовательностей (OEIS) Нила Слоуна. В течение месяца эксперты OIES ее изучали, но в конечном итоге она была одобрена и теперь находится в Энциклопедии под номером A345256. Мне особо приятно, что это сделал сам Нил Слоун. Теперь любители математики со всего мира могут пополнять информацию об этой последовательности. Так, сначала она была продолжена Цзиньюанем Ваном до 61-го члена, затем Димитаром Цветковым — до 237-го члена. Но настоящий прорыв совершил Мераб Левиашвили, который нашел и обосновал формулу \(n\)-го члена последовательности:

\[a(n)=\left\<\begin\left[\frac<\pi>\right]^2+2\left[\frac<2\pi>+\frac14\right],& \text <если >2\pi m\le n

Как мы уже обсуждали, пока непонятно, возможно ли касание синусоид (и, как следствие, нечетное число квадратов) при натуральных \(n\). Но что, если отказаться от требования \(n\in \mathbb\)?

Поскольку на синусоидах \(y=n\sin x\) при n = 1, 2 и 3 нет ни одного квадрата, а при n = 4 их уже два, то из соображений непрерывности ясно, что при каком-то значении \(n\) между 3 и 4 на синусоиде \(y=n\sin x\) должен оказаться только один квадрат. Это значение можно найти при помощи компьютера, оно равно 3,582214964954015. Лежащая в первой четверти вершина квадрата имеет абсциссу 1,485057422744014. Интуиция подсказывает, что это значение является иррациональным числом. На рис. 10 изображены соответствующие касающиеся синусоиды и единственный лежащий на них квадрат.

Источник

Докажите что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата?

Докажите что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

Е. треугольники ВОС и АОВ равнобедренные и равны между собой.

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Значит треугольники АОВ и ВОС имеют острые углы 90 / 2 = 45 градусов.

АВ перпендиклярна ВС, а значит и прямые OF и ОЕ взаимно перпендикулярны.

OF = ОЕ как высоты равных треугольников.

ВЕ = ЕС = AF = FB как медианы равных треугольников

Отсюда FB = ВЕ = ЕО = ОF.

Начерти квадрат с длиной 4 см?

Начерти квадрат с длиной 4 см.

Отметь точками середины его сторон.

Соедини эти точки последовательно отрезками.

Закрась получившийся четырёхугольник.

Докажи, что он является квадратом.

Отметьте в тетради три точки не принадлежащие одной прямой?

Отметьте в тетради три точки не принадлежащие одной прямой.

Начертите два треугольника так чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами а у другого принадлежали его сторонам но не являлись вершинами.

Периметр какого треугольника больше?

Плизззззз срочно надо.

ПОМОГИТЕ?

НЕ МОГУ ПОНЯТЬ КАК ЭТО ВЫПОЛНИТЬ?

Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой.

Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам.

Внутрь квадрата наудачу брошена точка?

Внутрь квадрата наудачу брошена точка.

Найти вероятность того, что точка окажется внутри треугольника, вершины которого являются серединами трех сторон квадрата.

Нарисовать всевозможные квадраты с вершинами, в 16 отмеченных точках?

Нарисовать всевозможные квадраты с вершинами, в 16 отмеченных точках.

Сколько квадратов содержит выделенную точку А на своей стороне но не так как вершину.

Найдите длину стороны правильного шестиугольника вписанного в окружеость x в квадрате + y в квадрате = Rв квадрате если точка A(3 ; 4) является одной из его вершин?

Найдите длину стороны правильного шестиугольника вписанного в окружеость x в квадрате + y в квадрате = Rв квадрате если точка A(3 ; 4) является одной из его вершин.

Отметьте в тетради три точки не принадлежащие одной прямой?

Отметьте в тетради три точки не принадлежащие одной прямой.

Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам.

Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой?

Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой.

Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам.

Сторона квадрата равна 4 сантиметра точка равноудалена от всех вершин квадрата находится на расстоянии 6 сантиметров от точки пересечения диагоналей Найдите расстояние от точки до вершины квадрата?

Сторона квадрата равна 4 сантиметра точка равноудалена от всех вершин квадрата находится на расстоянии 6 сантиметров от точки пересечения диагоналей Найдите расстояние от точки до вершины квадрата.

Начерти четыре прямых, точки пересечения которых являются вершинами квадрата?

Начерти четыре прямых, точки пересечения которых являются вершинами квадрата.

240 км проедет машина за 2 часа.

Биссектриса делит угол пополам. Ответ : биссектриса.

Источник