Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 5
1.Теорема Пифагора
Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство.
1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.
2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )
4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)
Рис.1 Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник
В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.
Рис.2 Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:
Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.
Отсюда можно сделать следующие выводы:
AB = BC sin α AC = BC cos α AB = AC tg α AC = AB ctg α
Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества
Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)
Рис.4 Основные тригонометрические тождества.
5.Пример 1
У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)
Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.
Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м.
Пример 2
Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)
Решение:
По теореме Пифагора:
Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.
Пример 3
Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)
Доказательство:
Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:
АС = АВ сos α + ВС cos β
Тогда отрезок DE будет равен:
DE = DB сos α + ВE cos β
Так как DB Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками.
Пример 4
Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)
Доказательство:
Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как
h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)
Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.
Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.
Пример 5
Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)
Доказательство:
Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС
Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.
Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что
Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится.
По координатам вершин узнать, является ли треугольник прямоугольным
Помогите, не пойму, что не так Работает, словно проверяет, существует ли треугольник вообще, а не проверяет на прямоугольный угол
Написать определение функции, возвращающей 1, если треугольник является прямоугольным и 0 в противоположном случае.
По трем сторонам определить, является ли треугольник прямоугольным Надо ввести три целых числа a,b,c, стороны треугольника. Является ли данный треугольник.
Даны ребра треугольника, является ли треугольник прямоугольным? даны ребра треугольника x,y,z является ли треугольник прямоугольником,если является,то какая из.
Проверить истинность высказывания: «Треугольник со сторонами a, b, c является прямоугольным» даны целые числа a b c являющиеся сторонами некоторого треугольника. Проверить истинность.
Функция для определения полярных координат точки по ее прямоугольным декартовым координатам Написать и протестировать функцию для определения полярных координат точки по ее прямоугольным.
По введенным координатам вершин треугольника определите является ли данный треугольник прямоугольным Сейчас нужно. По введенным координатам вершин треугольника определите является ли данный.
Процедура позволяет рисовать треугольник по координатам вершин трёх точек. Нарисовать прямоугольный треугольник, и равнобедренный помогите пожалуйста решить, срочно нужно на экзамен. жду вашей помощи) 1)Процедура позволяет.
Является ли треугольник прямоугольным Определить, является ли треугольник с заданными сторонами прямоугольным.
По введенным координатам вершин треугольника определите является ли данный треугольник прямоугольным