Делимое и кратное в чем разница

Делители и кратные

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.

Что такое делитель?

Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.

Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:

Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:

Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:

10 : 4 = 2 (2 в остатке)

Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.

Попробуем перечислить эти числа:

Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:

12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1

Кратные числа

Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3

Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .

У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:

5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 10

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.

В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.

Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.

Признак делимости на 5 и на 2

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9

Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:

Чётные и нечётные числа

Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:

Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:

21 : 2 = 10 (1 в остатке)

Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.

А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.

Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:

Значит, число 5 является простым числом.

Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1

Значит, число 4 является составным числом.

Разложение составного числа на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.

Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.

Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4

Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6

Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.

Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10

Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:

Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:

Теперь собираем все простые множители вместе:

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.

Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.

При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.

Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.

Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180

Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.

180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.

90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.

45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.

15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.

15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:

Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.

5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.

5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.

5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:

Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:

На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.

Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:

Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.

Нахождение делителей числа

В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.

Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2

6 : 2 = 3

Ещё делителем числа 6 является число 3

6 : 3 = 2

Ещё делителем числа 6 является число 1

6 : 1 = 6

Наконец, делителем числа 6 является само это число

6 : 6 = 1

Перечислим все делители числа 6

1, 2, 3, 6

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти делители числа 12

Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1

Теперь раскладываем число 12 на простые множители:

Получили разложение 2 × 2 × 3.

В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:

Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.

Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4

Занесём число 4 в нашу таблицу делителей

Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:

Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:

Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

Чтобы найти делители числа, нужно:

Пример 2. Найти делители числа 6

Первым делителем числа 6 запишем единицу:

Теперь разложим число 6 на простые множители:

Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:

1, 2, 3

1, 2, 3, 6

Источник

Урок 1 Бесплатно Делители и кратные

Операция деления известна с давних времен.

Привычные нам сегодня обозначения операции деления появлялись постепенно, в более древние времена люди использовали другие знаки.

Первый из символов ( / ), в обиходе косая черта, впервые был применен в 1631 году в одной из работ англичанина Уильяма Отреда.

Со временем в математике стали использовать и знак ( : ). Его в своих работах использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)

При выполнении операции деления используют три математических составляющих:

Сегодня мы познакомимся с делителями и на связанном с ними понятии кратных.

Делители и кратные

Допустим, у вас есть 30 конфет и их надо разделить поровну шести друзьям.

В этом случае 6 друзей получат по 5 конфет, потому что 30 : 6 = 5

Если любое натуральное число делится без остатка на второе натуральное число, то первое называется кратным, а второе называют делителем.

Другими словами, 30 кратно 6, а 6 это делитель 30.

Могут быть и другие варианты решения задачи, которые зависят от данного нам условия.

Если друзей будет 7, тогда раздать всем равное количество конфет не получится, так как 30 без остатка на 7 не делится.

Значит, 30 не кратно 7, и 7 не является делителем 30

Натуральное число, на которое делится без остатка другое число, называется его делителем.

Само число 15 имеет четыре делителя: 1; 3; 5; 15, так как на каждое из этих чисел оно делится без остатка.

Натуральное число, которое делится на другое без остатка, называется его кратным.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Например, кратными 4 будут числа: 4; 8; 12; 16; 20 и т.д.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Существуют числа, равные сумме всех их делителей, не считая самого числа.

Его делители 1, 2, 3.

Само число 6 не учитываем.

Сложив их, получим в сумме 6

К числам с таким свойством можно отнести еще 28 или 496

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Использование понятий делителя и кратного при решении примеров и задач

Любые математические понятия используются при решении примеров и задач, ответах на вопросы из жизни.

Разберем некоторые из них подробнее.

Пример 1

На сколько равных кучек можно разделить 24 ореха?

Решение:

Нужно выяснить все делители числа 24

Такими будут числа: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Каждое из этих чисел будет являться ответом на поставленный вопрос, таким образом:

1 кучка из 24 орехов

2 кучки по 12 орехов

3 кучки по 8 орехов и т.д.

Пример 2

Напишите все двузначные числа, кратные 44

Решение:

Еще нам дано условие, что такие числа должны быть двузначными.

Значит, это два числа 44 и 88.

Оба они делятся на 44 без остатка, в чем можно легко убедиться: 44 : 44 = 1; 88 : 44 = 2

Пример 3

Какое число и кратно 15, и является делителем 15?

Решение:

Оно кратно самому себе и является для себя делителем.

Пример 4

В строю 300 солдат. Можно ли их разделить на 7 равных групп для проведения физической подготовки?

Решение:

Чтобы проверить, можно ли разделить 300 солдат на 7 равных групп, поделим число 300 на 7.

Имеем: 300 : 7 = 42 и в остатке 6. То есть 300 не делится нацело на 7.

Значит, разбить 300 солдат на 7 равных групп не получится.

Пример 5

Докажите, что число 70525 кратно числу 217.

Доказательство:

Выполним деление 70525 на 217 уголком.

Видим, что деление выполнено без остатка, значит, число 70525 кратно числу 217.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Делителем любого натурального числа является единица.

И правда, ведь на единицу делится любое натуральное число без остатка

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Раньше алгоритм деления в России выглядел совершенно иначе и не имел ничего общего с современным видом.

Например, деление могло получиться в виде полумесяца или по форме напоминать геометрическую фигуру- ромб.

Пусть требуется разделить 598432 на 678

Вот как выглядела запись деления:

1792

5603

5984/

5424

5424

1356

598432 верно разделено

Или разделить 9649378 на 5634:

59417

4015530

9649378

5634444

56333

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Делители и кратные

Цели: начать формирование представления о делимости натуральных чисел, делителе и кратном натурального числа; ввести понятия делитель, кратное; научить находить делители числа и кратные числа; содействовать формированию интереса к учению.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

Учитель говорит о действии деления.

Деление — это действие разложения величины на равные части. Например, 6 яблок разделить поровну на двоих детей. Конечно, и 5 яблок можно поделить между двумя детьми, но для этого придётся одно из яблок разрезать пополам. Возможно и деление с остатком.

Сегодня мы рассмотрим деление натуральных чисел, когда числа делятся без остатка.

Рассмотрим простой пример.

На день рождения Маша получила 8 воздушных шаров. Она решила поделиться со своей подругой Леной и пригласила её в гости.

«Нам двоим достанется по 4 шарика», — подумала Маша

Но праздник был бы не таким веселым, если бы в гости не заглянул друг Коля.

«Как же теперь делить воздушные шары?» — подумала Лена.

8 шариков не разделишь поровну на трёх друзей. Ведь воздушные шары не яблоки, их не разрежешь на части.

Но Коля пришёл не один, а вместе с братом Ваней.

«Ну, что ж, проблема решена, — подумала именинница, — теперь каждому из нас достанется по 2 шарика».

III. Изучение нового материала

а) Рассмотрим данный пример с математической точки зрения. 8 шаров делится на 2 и 4. Но 8 не делится нацело на 3.

Говорят, что числа 2 и 4 являются делителями числа 8, а число 3 не является делителем восьми.

Делителем b натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Число 8 имеет 4 делителя: 1,2,4 и 8.

Важно понимать различие понятия делится от понятия делить.

Можно делить 5 на 2 и получить 2,5. Но верно будет и то, что 5 не делится на 2. (имеется ввиду поровну)

Разберём ещё одно простое задание: найти все делители числа 12. Перебираем все натуральные числа до 12. Записываем только те, которые делятся на 12.

Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

б) Ёще одним важным понятием темы будет понятие «кратное».

Если натуральное числа а делится на натуральное число b, то число а называют кратным числа b.

Другими словами, число а кратно числу b — значит а делится на b.

В примере с шариками 8 делится на 2, можно сказать, 8 кратно двум.

Вот например, несколько чисел кратных семи:

7, 14, 21, 70… Все эти числа делятся на 7.

Запишем 5 чисел кратных 10:

10, 100, 1000, 10 000, 1 000 000.

в) Теперь поговорим о количестве делителей и кратных.

Для числа 6 делителей будет 4: 1,2,3 и 6.

Теперь запишем кратные 6: 6, 12, 18, 600, 6000… Все числа и не запишешь.

Запомним, любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

IV.Закрепление и практическое применение знаний

Решение заданий в учебнике: устно № 3, № 5.

Источник