Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом докажите что сумма оснований равна произведению

18.04.202219.04.2022 admin 0 Comments

Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом докажите что сумма оснований равна произведению

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

трапеция АВСД, ВС – 6, АД – 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.

Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!

Виталий, чего-то не хватает в условии. Дайте точную формулировку.

Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.

Пусть – меньшее и большее основания соответственно.
, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием . Аналогично
Далее замечаем, что треугольник – равнобедренный, тогда
Опускаем из и высоты к . Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту по теореме Пифагора:
Наконец,

Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.

прошу подсказать решение:
Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
Найти Высоту ВН

Перенесите диагональ параллельно самой себе в точку . У полученного прямоугольного треугольника ( – точка на ) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это ( или ).
Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника , проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!

спасибо большое, оказывается все очень просто!

Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Виктория,спасибо!
Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.

Источник

Трапеция

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

2) Докажем, что точки $N, O, M$ лежат на одной прямой.

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ по двум углам ( $\angle OBN=\angle ODM$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и $BD$ секущей; $\angle BON=\angle DOM$ как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Источник

Формулы и свойства трапеции

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 5

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ город – курорт АНАПА

рекомендовано к использованию

на заседании МО от _______________

Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ.

«Формулы и свойства трапеции»

Снегуровой Амины Мугиновны

Частные случаи трапеции 5

Свойства произвольной трапеции 6-7

Свойства равнобедренной трапеции 8-10

Свойства биссектрисы угла трапеции 10-12

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции 12-13

Формулы нахождения диагоналей трапеции 13-14

Трапеция и окружность 14-17

Дополнительные построения в трапеции 17-23

Для тех, кому интересно. Теоремы. 23-27

Задачи с решениями.27-35

В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний «непрограммных» свойств трапеции. (Программными считаются свойство средней линии трапеции, свойства диагоналей и углов
равнобедренной трапеции.) Свойства, необходимые для решения задач, отсутствуют в учебниках или перенесены в задачи и не воспринимаются как теоретические положения.

Какими же замечательными свойствами обладает трапеция? Как решать геометрические задачи, требующие глубоких знаний? Трапеция обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если овладеть ими и рассмотреть дополнительные построения в трапеции, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

В планиметрии существует целый класс таких задач, к которым традиционные методы (метод цепочек равных треугольников, метод геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не применимы, либо дают сложные и громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий – так называемое дополнительное построение. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют от решающего достаточно большого опыта, изобретательности, геометрической интуиции.

Так, чертеж данной в задаче фигуры можно достраивать до фигуры другого типа, можно с многоугольной фигурой связывать окружность, а можно целью дополнительного построения ставить выделение на чертеже равных, равновеликих или подобных фигур.

Знание метода дополнительных построений в большинстве случаев позволяет решать, казалось бы, сложные геометрические задачи просто, понятно и красиво.

В этой разработке собраны формулы, свойства и подсказки для решения задач связанных с трапецией. Надеюсь, что ты здесь найдешь для себя много полезной информации.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

Высотой трапеции называется расстояние между основаниями.

В формулах используются следующие обозначения:

2.Частные случаи трапеции.

Прямоугольной трапецией называется трапециия, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне.

Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной

3.Свойства произвольной трапеции.

2. Во всякой трапеции с редняя линия параллельна ее основаниям, равна полусумме этих оснований и делит диагонали трапеции пополам.

M К =

3. Четыре замечательные точки трапеции :

Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

5. Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Отрезок, соединяющий основания всякой трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции.

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношение составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции:

6.Свойства отрезка, параллельного основаниям всякой трапеции.

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

*Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам, то есть КО=ОМ

7.Во всякой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.

8. Во всякой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади ( равновеликие ).

Свойства равнобедренной трапеции.

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда

*углы, прилежащие к одному основанию, равны

*сумма противолежащих углов 180 0 ;

*вокруг этой трапеции можно описать окружность.

* высота, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

1)квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

2)высота трапеции равна полусумме оснований.

3)ее высота равна средней линии.

4) площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты.

( или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии ).

*если в равнобокой трапеции высота равна средней линии, то диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

*высота, проведённая через точку пересечения диагоналей, в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

*в равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.

*отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

MNKE – ромб, то есть

*в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d 2 = c 2 + a b

*площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

Свойства биссектрисы угла трапеции.

*биссектриса угла отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

*точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

*если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.

*биссектриса угла трапеции, пересекающая основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

*биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

* точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

*если биссектриса тупого угла трапеции является диагональю, то боковая сторона равна большему основанию трапеции.

*если меньшее основание трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне острого угла.

Если в условии задачи сказано, что основание трапеции равно ее боковой стороне, то отсюда следует, что диагональ трапеции является биссектрисой ее угла.

*если большее основание трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне тупого угла.

*если большее основание прямоугольной трапеции равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла, прилежащего к меньшему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла, прилежащего к большему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции равно ее большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне острого угла.

* если большее основание прямоугольной трапеции равно ее большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к этой боковой стороне тупого угла.

*если меньшее основание равнобедренной трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой острого угла трапеции.

* если большее основание равнобедренной трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции.

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом.

*Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

*В подобных треугольниках длины всех линейных элементов пропорциональны, а именно:

отношения периметров, радиусы вписанных окружностей, радиусы описанных окружностей, соответствующих высот, биссектрис, медиан (проведенных из равных углов) подобных треугольников равны отношению соответствующих сторон (лежащих против равных углов) или равны коэффициенту подобия.

*Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон или равно квадрату коэффициента подобия.

Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Эта группа формул отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

Используем теорему косинусов.

* Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

* Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

4.В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований

* Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции равна полусумме оснований.

BDCE и FAOD прямоугольники, а диагонали прямоугольника равны.

Трапеция и окружность.

1) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.

Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований

2) Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии. Площадь трапеции определяется произведением средней линии на высоту трапеции.

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

5.Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

1)Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

2) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции.

3) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

4)Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Из треугольника ABC

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

5)Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны:

6) Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

Дополнительные построения как прием при решении задач

Дополнительные построения являются эффективным методом решения геометрических задач. Наиболее часто используются при решении задач:

1. Опускание высот из концов одного основания на другое основание

2. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину

3. Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам

5. Продолжение боковых сторон до пересечения.

Рассмотрим каждое их них.

При решении задач на отыскание площади дополнительным построением считается построение ее высоты или высот. Если построение высоты не помогает решить задачу, то нужно построить прямую, параллельную одной из ее диагоналей. Потом найти площадь полученного треугольника, который будет равновеликим исходной трапеции.

1. Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей эту вершину.

При дополнительном построении, когда переносится диагональ, образуется треугольник, площадь которого равна площади трапеции.

Найдите площадь трапеции, дмагонали которой равны 8 и 15, а средняя линия равна 8,5.

ACF – прямоугольный. S _ACF = AC * CF = 8*15 = 60. S _ABCD = 60.

Если ACF разносторонний, то его площадь вычислим по формуле Герона.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

*Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными

*Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника.

*Если ABCD равнобедренная трапеция, то KL является биссектрисой, медианой и высотой одновременно.

3. Опускание высот из концов одного основания на другое основание.

Построение 1 Построение 2

Задача. Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4.

Найдем высоту трапеции: h = 2 S :5 = 2*6:5= 2,4.

S _ABCD = 6+2,4*8=25,2. Ответ:25,2.

4. Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам.

Дополнительное построение 4 делит трапецию на параллелограммы и треугольник. Боковые стороны соединяются в треугольник.

5. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину.

Задача. Основания трапеции равны 30см и 15см, а боковые стороны равны 9 см и 12 см. Найдите высоту трапеции.

Решение. Пусть АВСД трапеция, заданная в условии.

Проведем через вершину С прямую, которая параллельна АВ. Пусть эта прямая пересекает АД в точке М.

Тогда АВСМ – параллелограмм и СМ=9, АМ=ДМ=15.

Заметим, что высота трапеции и треугольника МСД, проведенная из вершины С, совпадают. Для определения искомой высоты применим метод площадей. Пусть искомая высота равна х. Тогда для определения х составим уравнение, дважды вычислив площадь треугольника МСД:

Решив это уравнение находим: х=7,2. Ответ: 7,2.

Задача. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 12 соответственно. Найдите градусную величину угла D, если одно из оснований трапеции на 9 больше другого.

Из вершины угла проведем прямую линию, параллельную стороне. Трапеция разделена данной прямой линией на параллелограмм и треугольник. Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, длина стороны треугольника равна разности длин оснований трапеции. Данный треугольник определен по трем сторонам. По теореме косинусов определим искомый угол. Вычисления показывают, что боковая сторона перпендикулярна к основанию, искомый угол прямой.

Ответ: