Дискриминант меньше нуля что значит
Дискриминант
Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^<2>-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.
Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Дискриминант и корни квадратного уравнения
Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если \(D\) равен нулю – только один корень;
— если \(D\) отрицателен – корней нет.
Если дискриминант положителен
В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_<1>\) и \(x_<2>\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Найдем корни уравнения
Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt
Если дискриминант равен нулю
А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.
То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Находим корни уравнения
Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.
Если дискриминант отрицателен
В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Находим корни уравнения
Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt<-11>\), значит, и сами не вычислимы
То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.
Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.
Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!
Что делать если дискриминант меньше нуля
Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.
Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.
Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».
По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:
По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».
В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.
I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)
| x1 = |
| −5 + 9 |
| 4 |
II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)
D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
III случай
D
(дискриминант меньше нуля)
D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D
Ответ: нет действительных корней
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен:
Пример 42.4. Решить уравнение: 
.
.
Тогда 
.
Ответ:
Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет решения на множестве комплексных чисел. В ответе получаются два сопряженных комплексных числа. Это очень важный результат: теперь мы знаем, что абсолютно любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел.
Подобное утверждение, известное под названием «основная теорема алгебры», было доказано Гауссом в конце XVIII века: любое алгебраическое уравнение п-й степени имеет п комплексных корней (при этом некоторые корни являются кратными). Эти результаты подчеркивают ту исключительную роль, которую играют комплексные числа в теории алгебраических уравнений.
Дата добавления: 2014-12-27 ; Просмотров: 12919 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  | b 2 – 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  | k 2 – ac |
| x 2 + px + q = 0 |  |  |
 | p 2 – 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  , где D = b 2 – 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  , где D = k 2 – ac |
| x 2 + px + q = 0 |  , где D = |
 , где D = p 2 – 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
так как она относится к формуле:
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
Определим, чему равны коэффициенты:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 – 4ac = (-6) 2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0, D = 0
Уравнение имеет всего один корень:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0
Квадратные неравенства
Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:
Квадратные неравенства имеют вид.
ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0
Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?
Как решать квадратные неравенства?
Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).
Пример:
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.
Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.
Пример:
Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.
А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.
Дискриминант
квадратного уравнения
Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.
Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.
Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».
По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:
По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».
В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.
I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
x1;2 =
| −5 ± √ 81 |
| 2 · 2 |
x1;2 =
| −5 ± 9 |
| 4 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 1 | x2 = −3
| ||||
| x1 = 1 | x2 = −3
|
Ответ: x1 = 1; x2 = −3
| 1 |
| 2 |
II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)
D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
x1;2 =
| − (−8) ± √ 0 |
| 32 |
x1;2 =
| 8 ± 0 |
| 32 |
x =
| 8 |
| 32 |
x =
| 1 |
| 4 |
Ответ: x =
| 1 |
| 4 |
III случай
D
(дискриминант меньше нуля)
D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D
x1;2 =
| −b ± √ D |
| 2a |
x1;2 =
| − (−6) ± √ −36 |
| 32 |
Ответ: нет действительных корней
Неравенства. Квадратные неравенства.
Квадратными неравенствами обозначают неравенства типа
В результате можем иметь нижеследующие варианты:
1) При D = 0 у квадратного уравнения один корень:
.
2) При D>0 у квадратного уравнения два корня. Парабола пересекает ось х в двух точках с абсциссами:
Если необходимо указать отрезок, на котором квадратный трехчлен положителен, то это отрезок расположен там, где парабола расположена над осью x. По аналогии если необходимо найти отрицательные значения, то берем отрезок, где парабола расположена под осью x
При решении неравенства ax 2 +bx +c > 0 не требуется тщательно строить параболу у= ax 2 +bx +c по точкам (к примеру, вовсе нет необходимости вычислять вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Допустимо упрощенно изобразить кривую. Точность необходима только при вычислении корней уравнения ax 2 +bx +c=0 (при D > 0).