Для чего были введены комплексные числа

Откуда есть пошло комплексное число

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

Источник

Комплексные числа и их роль в науке и технике

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа № 10 городского округа Чапаевск Самарской области

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В ГОРОДОСКОМ

ОКРУГЕ ЧАПАЕВСК САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

2018/2019 УЧЕБНЫЙ ГОД

Тема: Комплексные числа и их роль в науке и технике

Ф.И.О. авторов: Шуршилин Егор Алексеевич,

Родионова Алина Заировна,

Ф.И.О. Жихарева Анастасия Александровна,

учитель первой квалификационной категории

Работа допущена к защите: « » _________ 2019 г.

Количество баллов: ____

1.1. История возникновения комплексных чисел 5-6

1.2. Понятие комплексного числа и комплексной плоскости 6-8

1.3. Формы представления комплексного числа 8-11

1.4. Действия над комплексными числами 11-12

Выводы по I главе 13

2.1. Решение уравнений в комплексных числах 14-15

2.2. Комплексные числа в экономике 15-16

2.3. Комплексные числа в физических задачах 16-21

2.4. Перспективы применения комплексных чисел 22-23

Выводы по II главе 24

Значительный шаг на пути развития математики осуществился с появлением нового вида чисел- комплексных. Алгебра комплексных чисел применяется при математическом моделировании многих процессов современной науки и техники.

Совершая поиск информации для научной работы, можно встретить многие современные процессы, описание которых происходит на базе комплексного анализа. Значит, комплексные числа будут являться необходимыми во многих отраслях науки и техники. Тема данной работы актуальна в связи с тем, что описания комплексных чисел нет в школьном курсе математики, а многим современным новаторским индустриям в перспективе окажутся необходимы знания комплексных чисел.

Цель работы состоит в ознакомлении с комплексными числами и указании их роли и перспективы применения в различных отраслях человеческой деятельности

Изучить историю возникновения комплексных чисел;

Охарактеризовать понятие комплексного числа и комплексной плоскости;

Рассмотреть формы представления комплексного числа;

Проанализировать действия над комплексными числами;

Привести примеры решения уравнений в комплексных числах;

Дать краткую характеристику применения комплексных чисел в экономике;

Рассмотреть и привести примеры применения комплексных чисел в физических задачах;

Проанализировать перспективы применения комплексных чисел.

Объект исследования: разнообразные формы комплексного числа и действия над ними.

Предмет исследования : комплексные числа.

Гипотеза : изучение раздела о комплексных числах позволит увеличить уровень математической грамотности и в перспективе внедрить свои знания в область

Методы исследования следующие:

Теоретический (изучение литературы, интернет- источников);

Практический (решение уравнений, приведение примеров из электротехники).

По окончании работы планируется выделить сходства и различия между комплексными и числами, которые мы знали ранее. А так же охарактеризовать какие-то отличительные особенности комплексных чисел, которые встретятся в ходе научно- исследовательской работы.

Глава I . Теоретическая часть

История возникновения комплексных чисел

Впервые мнимые величины были упомянуты в труде итальянского математика Джероламо Кардано «Великое искусство, или «об алгебраических правилах» в 1545 году. В процессе решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение , корни которого .

Возможность использования мнимых величин для решения кубических уравнений впервые описал итальянский учёный Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Он же дал правила сложения, вычитания и деления комплексных чисел. Бомбелли рассмотрел кубическое уравнение . Оно имеет вещественный корень , но, по формулам Кардано для решения кубических уравнений, также получил . Бомбелли обнаружил, что , так что сумма полученных величин даёт нужный вещественный корень 4. Он отметил, что во всех подобных случаях комплексные корни всегда сопряжены, поэтому в сумме получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало применению комплексных чисел.

Выражения вида появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений стали называть «мнимыми» с подачи Рене Декарта в XVI – XVII веках. Другие крупные учёные ставили под большие сомнения право на существование и использование мнимых величин, однако, несмотря на это, математики уверенно применяли к ним привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали конкретные результаты.

Называть мнимой единицей и обозначать его символом впервые предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius – «мнимый». В 1751 году Эйлер высказал мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет мнимый корень, тем самым истолковав основную теорему алгебры, которая впервые будет доказана Иоганном Гауссом в 1799 году. Именно Гаусс и ввёл в широкое употребление понятие «комплексное число».

Геометрическое представление комплексных чисел было предложено в начале XIX века Гауссом, однако раньше него эту же идею высказали в своих работах Каспар Вессель и Жан Робер Арган, но их работы не привлекли внимания. Арифметическую модель комплексных чисел построил Уильям Гамильтон. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряженное число» ввёл Огюстен Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследования функции комплексного переменного.

Понятие комплексного числа и комплексной плоскости

Рисунок 1. Иерархия чисел

Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, представив их в виде

.

Главное свойство множества комплексных чисел – для них выполняется основная теорема алгебры:

«Любой многочлен n -й степени ( n ≥1), отличный от константы, с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел».

Это утверждение справедливо и для вещественных чисел, т.к. они являются частным случаем комплексных.

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в степени, извлечение корня и логарифмирования. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя сравнить два комплексных числа и сказать, кто из них больше, а кто меньше.

Рисунок 2. Комплексная плоскость

Формы представления комплексного числа

Всего существует четыре формы представления комплексного числа:

Геометрическая форма комплексного числа – это его представление на комплексной плоскости в виде точки , где <x ; y > – координаты этой точки на действительной и мнимой оси комплексной плоскости соответственно. Из геометрической формы следует понятия модуля или абсолютной величины комплексного числа, сопряженных комплексных чисел и аргумента комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора, соответствующий точке комплексной плоскости. Таким образом, если , то

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором комплексного числа r и положительной вещественной полуосью комплексной плоскости и обозначается . Из этого определения выводятся следующие соотношения (см. рис. 3):

Также справедливы следующие свойства аргумента

Arg()=Arg(z ₁ )- Arg(z ₂ )

Для комплексного нуля значения аргумента не определено. Для любого ненулевого комплексного числа значение аргумента определено с точностью до , где k – любое целое число. Главным значением аргумента называют такое значение , что . Главное значение аргумента обозначается .

Комплексно-сопряженными числами называются два числа вида и (см. рис.4).

Такие числа симметричны относительно действительной оси комплексной плоскости. Для комплексно-сопряженных чисел справедливы следующие соотношения:

(сопряженное к сопряженному есть исходное).

Тригонометрическая форма комплексного числа связана с геометрической. Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент комплексного числа в виде , , то любое ненулевое комплексное число можно представить как . Тригонометрическая форма комплексного числа представлена на рисунке 5.

Показательная форма комплексного числа является следствием из формулы Эйлера, которая имеет фундаментальное значение в комплексном анализе. Формула Эйлера утверждает, что для любого комплексного числа выполнено следующее равенство:

,

где – число Эйлера , – мнимая единица ,

Соединив это равенство с тригонометрической формой комплексного числа, получим:

Действия над комплексными числами

Для комплексных чисел определены следующие математические операции:

Источник

Введение в комлексные числа

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

Умножение выполняется вот так:

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉

Источник