Для чего используется фрактальная графика
Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики.
Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.
Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.
В центре фрактальной фигуры находится её простейший элемент — равносторонний треугольник, который получил название «фрактальный». Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного фрактального треугольника. В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника.
Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Полученный объект носит название «фрактальной фигуры». Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом можно описать и такой графический элемент как прямая.
Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную композицию». Фрактальная графика, так же как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений ничего, кроме формулы, хранить не требуется.
Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.
Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник». Затем идет «Фрактальная фигура», «Фрактальный объект», «Фрактальная прямая», «Фрактальная композиция», «Объект-родитель» и «Объект наследник».
Следует обратить внимание на то, что фрактальная компьютерная графика как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.
Её возможности трудно переоценить. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Сегодня немногие компьютерщики в нашей стране и за рубежом знают фрактальную графику. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную композицию. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано для создания орнамента или декоративной композиции. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.
С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике, найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.
Создатель фракталов — это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов (и в частности — Painter) от прочих графических программ.
Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например, Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.
Для чего используется фрактальная графика
Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики.
Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.
Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.
Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию
С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе.
Фрактальная графика
Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Содержание
История
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Примеры
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть 
— сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: 
Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.
Фракталы в комплексной динамике
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
Пусть F(z) — многочлен, z0 — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:
.
Нас интересует поведение этой последовательности при 
. Эта последовательность может:
Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.
Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала.
Фрактальная компьютерная графика: применение в бизнесе. Часть 1: освобождаем время на этапе подготовки к продаже
По многочисленным просьбам моих читателей.
Мне поступает много разных вопросов о фракталах и компьютерной графике, и сегодня я остановлюсь на этой теме подробнее. Расскажу и покажу, где и для чего их применить. Поделюсь интересными художественными фишками создания ценности для покупателей. Одни найдут здесь источник вдохновения к созданию новых работ, другие — интересные решения, а кто-то из вас — надёжного партнёра для своего бизнеса. Основная мысль: компьютерные изображения, которые помогут вам значительно сократить затраты по времени на этапе разработки образа будущей модели товара. Как результат, сохранить баланс между количеством поступающих заказов и собственными возможностями. Помогут снизить затраты при подборке материалов, творчески применять их остатки. Подскажут гармоничные сочетания по цвету и форме.
Итак, вместо тысячи слов, лучше один раз увидеть.
Фракталы-цветы и фракталы-текстуры: практическое применение
1. Бижутерия, украшения (имитация материалов)
Рисунок фрактала легко имитирует самые различные материалы: перья, мех, бисер, бусины стекло, проволоку, шифон. Подскажет приятные глазу сочетания цвета и пропорции. Настоящая шпоргалка новичку и палочка-выручалочка мастеру для подсчёта материалов при сборке украшений.
Брошь-цветок из цветных перьев, тонкой проволоки (лески), стразы, крупные бусины. «Хризантема»
Брошь-цветок из шифона, перьев, бисера. (Рисунок фрактал)
Бижутерия в готовом виде. Рисунок-фрактал имитирует форму: колье, серьги, кулоны, кольца. Материалы. И даже блики на блестящих поверхностях!
Кулон (материалы: перья, мех, бусина, стразы, проволока)
Шикарный кулон из ромбовидной бусины лэмпворк и цветных перьев
2. Производство ювелирных изделий, дизайнерских украшений: фракталы-цветы и фракталы-текстуры
Фрактальный рисунок украшения. Брошь с жемчугом
Фрактальный рисунок украшения. Кольцо с цветочными мотивами, аметист
Фрактальный рисунок украшения. Цветок с драгоценным камнем
3. Роспись по ткани, шёлку. Батик
Рисунок — фрактальная текстура. Для романтичного женского шарфика с цветочками.
. или роскошного палантина.
Фракталы-цветы. по ним так легко создавать образы!
Например, забавный зонтик с нарисованными цветами, который подарит летнее настроение даже в самый серый осенний день:
Картина на шёлке «Лотос». Наполнит внутренним спокойствием и гармонией с миром
4. Роспись посуды: керамической, стеклянной, деревянной.
Стаканы, чайники, наборы посуды. Кружки, тарелки сувениры. Коллекционные, с цветами-фракталами.
Подсолнухи, забавные луковицы и градиентные заливки, потоки воды, цветок хризантемы или абстрактные элементы для сложной мозаики-панно. Многообразие фрактальных рисунков поражает своей многогранностью форм, цветовых оттенков и изяществом линий. Есть где разгуляться творческим порывам и мастеру керамисту!
5. Глазки для мягких игрушек (игровых, интерьерных): для зверюшек и кукол.
Рисунок радужки, фрагмент. Фрактальный рисунок, имитирующий натуральный цвет радужки — карий светлый
«Глазастая» бижутерия: эзотерические талисманы удачи или стильные украшения с хищными мотивами.
Фрактальная текстура «Глаз», фрагмент радужки
6. Рисунки для витражей (стеклянных подсвечников, светильников, стеклянной мозайки, предметов из стекла).
Рисунок-текстура для витража, стеклянной плитки ручной работы. Имитация узора «Арлекино».
Рисунок-текстура для запекаемого стеклянного панно, вазы, тарелки, конфетницы. «Весение ландыши»
Рисунок-текстура в виде перьев для запекаемого Панно из стекла, конфетницы, вазы
7. Художественная роспись мебели. Принты. Мебельные фасады: навесные кухонные шкафы, тумбы.
С летними мотивами цветов на фоне освежающей зелени.
. ультра-модные неоновые оттенки голубого и розового на глянцевом чёрном.
. стильные принты цветы-фракталы для кухонной мебели в ярких огненно-красных тонах!
. или фантастические сюжеты, например, с восходящей Луной. в кружевах
8. Ногтевой дизайн. Нейл Art. Рисунки с фракталами-цветами и фрактальные текстуры.
9. Художественная роспись керамической плитки, мозаики. Тротуарная плитка (узор укладки)
Фрактальные рисунки. Декоративный элемент кафельной плитки, мозаики.
Фрактал-текстура. Мозаика, эффект «Звёздное небо»
10. Художественная вышивка (картин, одежды, украшений). Фракталы-цветы, фрактальные рисунки-текстуры
Рисунок-текстура. Вышитый кулон (бисер, бусины, кружево, пайетки)
Фрактальный рисунок-текстура. Узор для браслета (вышивка бисером)
Пуговица лэмпворк. Вышивка по ткани бисером и пайетками (брошь, кулон, пуговицы, зажимы)
11. Принты. Производство упаковки. Фракталы-текстуры.
Упаковка и коробки ручной работы для подарков и товаров. Рисунок для полупрозрачной, непрозрачной п/э упаковочной плёнки, с голографическим эффектом.
Цветок-фрактал (раппорт, узор)
Фрактал-текстура с эффектом голографии
Подарочные сертификаты, дизайн для полиграфии (визитки, обложки, листовки, праздничное оформление)
В следующей части заметки я расскажу вам о других направлениях применения фрактальной компьютерной графики.
Работа с натуральной кожей, металлом и бронзой, мебель и интерьер, аэрография. Далеко не полный список тем. Будет много красивых, интересных и неожиданных фото примеров. Обе подборки, несомненно, окажутся полезным подспорьем предпринимателям — как мастерам своего дела, так и начинающим новичкам. Не пропустите!
На сегодня у меня всё.
С вами была Ирина Терещенко, бизнес-леди, эксперт фрактальной компьютерной графики. Желаю всем приятного дня.
Графика фрактальная: описание, примеры, форматы, достоинства и недостатки
Математика буквально пропитана гармонией, и фрактальная графика — прямое тому подтверждение. Наука присутствует в создании каждого из его элементов, поэтому оно отражает всю его красоту.
Создатель фрактальной геометрии профессор Мальдерброт писал в своих книгах, что рассматриваемые графики — это не просто повторяющиеся изображения. Это структура любого существа или объекта на планете, живого и неживого. Например, ДНК — это основа, интеграция. Но если код начинает повторяться, появляется человек.
Основы фрактальной графики
Что такое фрактальная графика? Это одна или несколько геометрических фигур, каждая из которых похожа на другую. То есть изображение состоит из одинаковых частей.
То же слово «фрактал» можно использовать, если фигура обладает одним или несколькими из следующих свойств:
Многие объекты естественного или искусственного происхождения наделены свойствами фракталов. К ним относятся кровеносные системы человека и животных, кроны и корни деревьев и так далее.
Фрактальная компьютерная графика становится популярной, потому что красота и реалистичность могут быть достигнуты за счет простого построения с использованием соответствующего оборудования. Вам просто нужно задать правильную математическую формулу и указать количество повторов.
Как создать элемент фрактальной графики?
Создание фрактальных графов будет отличаться в зависимости от его классификации: геометрический, алгебраический или стохастический. Несмотря на разницу, общая сумма всегда будет одинаковой. Поскольку фрактальная графика начинается с геометрии, вам следует подумать о ее создании на соответствующем примере:
Обычно нулевое условие представлено в виде треугольника.
Для построения образа нужно применить две процедуры. Во-первых, DrawTriangle. Строит треугольник из точек, указанных пользователем. Во-вторых, DrawGenerator. Указывает количество баллов. Каждую процедуру можно повторять несколько раз или бесконечно. Числовой аргумент n используется для определения этой метрики.
Другие действия с фрактальной графикой
После того, как элемент фрактальной графики создан, вы можете выполнять с ним различные дополнительные действия:
Следует помнить, что фрактальные графические изображения предсказать невозможно. Когда треугольник слишком увеличен, вид будет нереальным, пользователь увидит только черное окно. Когда желаемая текстура найдена, все изменения в ней необходимо проводить в минимальном порядке, постоянно поддерживая действующую версию.
Программы для генерации
Нет такого человека, которого бы не привлекала фрактальная графика. Программы, задействованные в его создании, представлены в большом количестве. Поэтому необходимо выбрать наиболее подходящие для новичков.
Art Dabbler — лучший вариант, если пользователь никогда раньше не имел дела с его аналогами. Здесь можно не только освоить графику, но и научиться рисовать на компьютере. Другие преимущества включают небольшой объем памяти и интуитивно понятный интерфейс.
Другая программа — Ultra Fractal. Он уже ориентирован на работу профессионалов, новичкам в нем разобраться будет сложно. Интерфейс здесь довольно сложный, но производители реализовали его на примере обычного фотошопа. Если пользователь имел какое-либо отношение к этой программе, он быстро поймет кнопки. Особенность Ultra Fractal заключается в том, что здесь выполнена не только фрактальная графика в виде стандартного и обычного изображения, но и анимация. Формулы для черчения прилагаются, но при необходимости пользователь может использовать свои.
Существующие форматы
Фрактальные графические форматы определяют форму и способ хранения файловых данных. Некоторые из них содержат много информации. Следовательно, их нужно сжать. Кроме того, это следует делать не архивированием, а непосредственно в файле. Если вы выберете его правильно, сжатие произойдет автоматически. Есть несколько алгоритмов этой процедуры.
Если у пользователя есть приложение, большая часть которого хранится в одном цвете, разумно использовать форматы BMP и PCX. Здесь заменяется последовательность повторяющихся значений.
имеет смысл разместить графику, которая встречается очень редко, но все еще используется во фрактальной графике, в форматах TIFF или GIF.
Некоторые форматы универсальны. То есть их можно просмотреть в большинстве редакторов. Но если пользователю важна качественная обработка изображений, то следует использовать оригинальную программу.
Фрактальные форматы не поддерживаются браузерами. Поэтому проводится их преобразование, если необходимо загрузить на тот или иной сайт.
Сферы применения
Использование фрактальной графики можно назвать практически вездесущим. Более того, это направление постоянно расширяется. На данный момент можно отметить следующие направления:
В настоящее время практика использования фракталов при изготовлении различного оборудования. Например, уже запущен конвейер по созданию антенн, которые отлично принимают сигналы.
Примеры
Примеры фрактальной графики варьируются от примитивных до очень сложных повторяющихся элементов. Уникальной особенностью этого типа является то, что изображение может состоять исключительно из восклицательных или вопросительных знаков.
Стандартными, но относительно сложными примерами компьютерной фрактальной графики являются облака, горы, пляжи и так далее. Их часто используют для создания игр.
Самый простой пример — кривая Коха. Во-первых, он не имеет определенной длины и называется бесконечностью. Во-вторых, здесь полностью отсутствует плавность. Следовательно, построить касательную невозможно.
Плюсы и минусы
В последнее время получила распространение фрактальная графика. Его достоинства и недостатки слишком расплывчаты, поскольку нет нормальной теоретической базы. Терминология и принципы ее использования до конца не поняты, несмотря на то, что они эффективны и функциональны.
Преимущества фрактальной графики заключаются в нескольких факторах:
Минусы фрактальной графики тоже присутствуют. Во-первых, здесь без компьютера не обойтись. Кроме того, чем больше количество повторений, тем больше загружается процессор. В результате только качественная компьютерная техника способна справиться с построением сложных изображений.
Во-вторых, исходные математические цифры имеют ограничения. Некоторые изображения невозможно создать с помощью фракталов.
Сходства и различия между фракталом и вектором
Векторная и фрактальная графика сильно отличаются друг от друга:
Несмотря на множество отличительных особенностей, эти два типа графики имеют одинаковое качество изображения. Он остается неизменным независимо от уровня масштабирования.
Трехмерная, векторная, растровая и фрактальная графика похожи в одном — все они широко используются для решения различных компьютерных задач. Чтобы получить действительно качественное изображение, нужно использовать каждую из них.
Уникальные особенности фракталов
Фрактальная графика не имеет аналогов. Она по-своему уникальна. Во-первых, небольшая его часть может мгновенно рассказать о всем рисунке или изображении. Доступна информация обо всем фрактале, так как он похож на самого себя.
Равносторонний треугольник находится в центре любого изображения, относящегося к этому типу графики. Все остальные детали рисунка являются его частями или уменьшенными / увеличенными копиями. То есть в композиции изображения участвует определенный элемент.
Чтобы использовать фрактальную графику, вам не нужны какие-либо объекты, хранящиеся в памяти вашего компьютера. Вы можете начать творить, имея под рукой всего одну математическую формулу.
Заключение
Фрактальная графика очень реалистична. Это происходит потому, что его детали и элементы постоянно встречаются в окружающей человека среде: горы, облака, берега моря, различные природные явления. Некоторые из них постоянно остаются в одном и том же состоянии, например, деревья, каменистые участки. Остальное постоянно меняется, как мерцающее горящее пламя или кровь, движущаяся по сосудам.
Развитие фрактальных технологий сегодня — одно из прогрессивных направлений науки. Он используется не только в компьютерной графике. Возможно, если ученым удастся разобраться в своей сути, человек начнет гораздо лучше понимать этот мир.