Из (1, 2) и (1′,2′) следует: x + x = x и x * x = x. (5)

Из (1, 3) и (2′,3′) следует: x + 0 = x и 0 * x = 0. (6)

Из (2, 3) и (1′,3′) следует: 1 + x = 1 и x * 1 = x. (7)

Из (3) и (3′) следует: x +

И, наконец, из (1,1′), (2,2′), (3,3′) и (4,4′) следует:

Последние выражения (10) называют принципом двойственности или теоремой Де Моргана (инверсия логической суммы равна логическому произведению инверсий и наоборот). Соотношения двойственности для n переменных, часто записывают в виде:

1.2 ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

ЗАПОМНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция «И» равна единице, если равны единице ВСЕ ее аргументы. Функция «ИЛИ» равна единице, если равен единице ХОТЯ БЫ один аргумент. Функция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» (XOR) равна единице, если равен единице ТОЛЬКО один ее аргумент.

1.3 УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА СХЕМАХ

Можно использовать и восьмивходовую схему И, подав на незадействованные входы «1», либо некоторые из переменных, в соответствии с выражениями (5) или (7).

1.4 СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Целью проектирования цифрового устройства является получение его логической функции (ЛФ) и соответствующей ей схемной реализации. ЛФ могут иметь различные формы представления: 1) словесное, 2) графическое, 3) табличное, 4) алгебраическое, 5) на алгоритмическом языке (например VHDL) и 6) схемное. В качестве примера, рассмотрим функцию Y от двух переменных x1 и x0, заданную словесным описанием: Y=1, если переменные НЕ РАВНЫ и Y=0, если x1=x0. Такую ЛФ удобно назвать функцией НЕРАВНОЗНАЧНОСТИ. Переходим к табличному представлению Y (таблица 2).

Табличное представление значений ЛФ для всех наборов входных переменных называется таблицей истинности. В общем виде переход от табличного представления к алгебраическому может осуществляться по формуле (12), одной из основных в алгебре логики.

xi*f(x(n-1). 0. x0) + xi*f(x(n-1). 1. x0). Это выражение для xi=0 равно

0*f(x(n-1). 0. x0) + 0*f(x(n-1). 1. x0) = f(x(n-1). 0. x0). При xi=1 оно будет равно

1*f(x(n-1). 1. x0) + 1*f(x(n-1). 1. x0) = f(x(n-1). 1. x0), т.е. при любых значениях xi теорема разложения справедлива. Теорему разложения можно применить n раз и тогда ЛФ будет разложена по всем своим переменным.

В виде примера рассмотрим функцию F=f(x1,x0) от двух переменных. Разложение этой функции по переменной x1 даст: F=

Выражение (12.1) позволяет записать все переключательные функции от двух переменных, используя только три основных логических операции.

Рассмотрим разложение функций F7-«ИЛИ» и F1-«И», для чего необходимо обратиться к соответствующим строчкам таблицы 1. Функция И на двоичных наборах входных переменных x1 и x0 (00,01,10,11) принимает значения 0,0,0,1. Записывая выражение (12.1) для этих значений получим: F1(x1,x0 ) =

x0*0 + x1*x0*1 = x1*x0, что соогласуется с ее определением. Таким же образом, находим алгебраическое выражение функции F7-«ИЛИ», которая, соответственно, на тех же входных наборах принимает значения: 0,1,1,1. Тогда, в соответствии с (12.1), F7(x1,x0) =

x0*1 + x1*x0*1. Вынося за скобки в двух последних слагаемых x1, получим F7 =

x0*1 + x0*1). На основании аксиомы (8), выражение в скобке равно «1» и F7 =

x1*x0*1 + x1. Применяя распределительный закон, найдем (

Возвращаясь к таблице 2, получим Y = 0*

x0 = x1 (+) x0 = F6 (функцияия неравнозначности).

С помощью формулы (12) любую, сколь угодно сложную, логическую функцию можно представить в виде трех основных ЛФ: «И», «ИЛИ», «НЕ», представляющих собой логический базис.

1.5 ЛОГИЧЕСКИЙ БАЗИС

1.6 СХЕМНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Приведенные выше логические элементы (ЛЭ) И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ и другие могут иметь некоторые схемотехнические особенности.

1.6.1 БАЗОВЫЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ

На рисунке приведена упрощенная схема И-НЕ и его условное обозначение.

Напряжения на базах транзисторов VT1 и VT2 находятся в противофазе и, если x0*x1=1, то нижний транзистор открыт, а верхний закрыт, так как

1.7 ЭЛЕМЕНТ С ОТКРЫТЫМ КОЛЛЕКТОРОМ

Логический элемент И-НЕ с открытым коллектором (ОК) (см.рис.2. слева) обозначается в поле элемента ромбом с чертой внизу.

(x0*x1 + x2*x3) (рис.2). Логический элемент И с открытым эмиттером, обозначается ромбом, но с чертой сверху.

Такие схемы объединяют несколько элементов И, подключенных выходами к элементу ИЛИ-НЕ (рис.3). Если количества переменных a,b. e недостаточно, используются элементы-расширители, подключаемые к входам расширения C и E (входы для открытых коллектора и эмиттера). Символ &1 обозначает функцию И, объединяемую по ИЛИ (рис.4). Здесь и далее символом * обозначаются вспомогательные входы у логических элементов.

В этих схемах, как и вообще в элементах ИЛИ, неиспользуемый вход ИЛИ д.б. подключен к 0. Поэтому, если одна из секций И незадействована, на один из ее входов необходимо подать 0. В противном случае Y всегда будет равен 0. Это особенность схем, выполненных по ТТЛ(Ш) технологии, т.к. неподключенный логический вход этих схем эквивалентен логической 1 (правда при этом ухудшаются некоторые характеристики микросхемы).

1.9 ТРИСТАБИЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

OE=0 схема работает как обычный элемент И-НЕ. Картина существенно изменится при

OE=1. Транзистор VT3 откроется до насыщения и на базах транзисторов VT1 и VT2 потенциал опустится примерно до нуля, запирая их. Выход «y» окажется отключенным от внутренней логической схемы. На схемах тристабильные элементы обозначаются ромбом с поперечной чертой или буквой Z.

1.10 МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Полученные по формуле СДНФ (12) выражение может быть преобразовано (не всегда) к виду, имеющему меньшее число переменных и операций по сравнению с исходным. Такое преобразование называется минимизацией.

Рассмотрим пример. Имеется три двоичных датчика xi. Необходимо реализовать ЛФ Yмажор принимающую значение 1, когда равны 1 значения двух и более датчиков. Такая функция называется мажоритарной. Ее таблица истинности имеет вид:

По формуле (12): Yмажор =

Схема содержит 4 трехвходовых элемента «И» и 1 четырехвходовый элемент «ИЛИ». Нахождение минимальной формы ЛФ производится методом алгебраических преобразова- ний, с помощью таблиц Карно или машинными методами для больших проектов.

1.11 ТАБЛИЦА КАРНО

Таблица Карно (ТК) это видоизмененная запись таблицы истинности. Для функции мажоритарности из последнего примера (ТК) выглядит следующим образом:

Правила построения ТК с ледующие: 1)Количество клеток ТК равно количеству строк таблицы истинности. 2)Слева и сверху располагаются значения аргументов. Порядок размещения аргументов таков, что в двух соседних по горизонтали и вертикали клетках отличается значение только одного аргумента (поэтому соседними считаются и клетки, находящиеся на противоположных краях таблицы). 3)В клетки заносятся соответствующие значения ЛФ. 4)Единичные клетки объединяются в прямоугольники (импликанты) по 2^i клеток. 5)Для каждого прямоугольника записывается произведение тех аргументов, которые в соседних клетках не изменяют своего значения. 6)Переменные входят в произведение в прямом виде, если их значение в соседних клетках равно 1, в противном случае в инверсном. 7)Полученные произведения складываются по ИЛИ в искомую ЛФ.

Yмажор = Ya + Yb + Yc = x2*x0 + x1*x0 + x2*x1. (13)

Соответствующая схема (рис.7.) проще, чем на рис.6.

1.12 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛФ К БАЗИСУ «И-НЕ» И «И-ИЛИ-НЕ»

Применяя к выражению (13) аксиому двойного отрицания (9) получим:

( x2*x0 + x1*x0 + x2*x1)) (14)

Формуле (14) соответствует схема (рис.8,слева) в базисе И-ИЛИ-НЕ.

Применяя к выражению (14) соотношение двойственности (11) получим

1.13 ВРЕМЕННЫЕ ПАРАМЕРЫ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрим реакцию инвертора на изменение входного сигнала (рис.9). Инерционные свойства инвертора приводят к задержке сигнала при его прохождении от входа к выходу.

Величинами tзд.р.0,1 и tзд.р.1,0 обозначается время задержки распространения сигнала от входа до выхода при переходе из 0 в 1 и наоборот (рис.9). Минимальная длительность импульса на входе элемента tи.мин пропорциональна среднему значению tзд.р.ср. равному полусумме tзд.р.0,1 и tзд.р.1,0. Максимальная частота входных импульсов Fмакс обратно пропорциональна tзд.р.ср. Из сказанного следует, что быстродействие элемента тем выше, чем меньше tзд.р.ср.

Определения вышеуказанных величин с их отечественными и международными обозначениями приведены в разделе обозначения некоторых параметров микросхем.

1.14 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМАХ

Отличие времени задержки tзд.р. от нуля при прохождении сигнала через логическую схему может приводить к возникновению помех в выходном сигнале. Эти помехи имеют вид коротких импульсов, и в некоторых случаях приводят к серьезным сбоям в работе схем. Рассмотрим устройство на рис.11. Если элементы схемы не вносят задержки сигнала, а x0 и x1 находятся в противофазе, т.е. x0 =

x1) = 1. Если же каждый из пяти ЛЭ имеет задержку tзд.р., тогда x0′ запаздывает относительно x0 на 4tзд.р. и на выходе схемы возникает незапланированный «отрицательный» импульс (интервал 1..2), сдвинутый на tзд.р. элемента И-НЕ (интервал 0..1). Процесс прохождения входных сигналов до общего выхода называется состязаниями или «гонками».

Вредный эффект «гонок» может быть устранен несколькими способами, один из которых заключается в добавлении к ЛФ дополнительного слагаемого. Пусть некоторая ЛФ равна F = x1*x2 +

x1*x0, тогда при x2=x0=1 может появиться помеха, вызванная тем, что сигнал

x1 задержан относительно x1 на величину задержки инвертора (см. рис.12).

Добавление лишнего импликанта (в таблице обведен точками) устраняет проблему, т.к.при критической ситуации, когда x2=x0=1, дополнительная составляющая x0*x2=1 и функция F = x1*x2 +

x1*x0 + x0*x2 равна всегда 1 при x2=x0=1.

В устройствах индикации такие короткие помехи можно игнорировать, так как они будут незаметны для глаз.

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →