Для чего нужен логарифм в жизни

Для чего нужны логарифмы?

Слово «логарифм» многие бывшие ученики общеобразовательных учреждений помнят со школьных уроков математики. Эта тема некоторым из них казалась сложной и непонятной. Не все из них действительно поняли, что такое логарифмы и для чего они нужны. Попробуем разобраться в этом вместе с вами.

Конечно, в математике есть определение этого слова, но оно не всем может показаться понятным. Логарифмирование – это действие, которое обратно возведению в степень. Неподготовленному человеку трудно понять, что означают эти слова, и какая от всего этого польза.

Что же это такое и как с этим можно работать?

Допустим, нужно найти х в уравнении 5 х = 12. В этом случае х будет равен числу, в которое надо возвести 5, чтобы получилось 12. Используя логарифм, этот пример будет звучать так: х равен логарифму 12 по основанию 5. А выгладит уравнение так: х = log₅12. Если произвести вычисление на калькуляторе или компьютере, то получается иррациональное число. Чтобы было легче работать с такими числами, и создали такую математическую конструкцию, как логарифм.

Говоря простым языком, они нужны для упрощения трудных вычислений. Логарифмы обладают важными свойствами, благодаря которым умножение можно заменить простым сложением, а извлечение корня и его возведение в степень можно преобразовать в умножение и в деление.

Применение свойств логарифмов в жизнедеятельности человека

Если логарифмы имеют одинаковое основание, то их сумма равна логарифму произведения, а разность – частного. И получается, что при математических действиях со сложными иррациональными числами, результатом становятся привычные всем натуральные числа. Если основания логарифма разные, то их можно преобразовать по формулам перехода к новому основанию.

Для упрощения подобных вычислений были созданы логарифмические таблицы. С их помощью можно было легко умножать числа, складывая их логарифмы. Более 300 лет такие таблицы расширялись и уточнялись многими математиками. С появлением возможности электронных вычислений, пользоваться логарифмами стало ещё проще. Таблицы теперь используют только в узкоспециализированных сферах.

Свойства логарифмов на практике пригодятся многим людям, занятым на производстве и в научных сферах, в которых необходимы трудоёмкие вычисления. С их помощью можно сравнивать величины, значительно отличающиеся друг от друга. Если вы нарисуете обычный график, на котором отмечены значения 10, 100 и 100 000, то маленькие значения будут практически около ноля. Но логарифмическая линейка позволяет сделать изображение таких чисел более наглядным. С помощью подобных схем часто проводится анализ сравнения шумов, что бывает полезным во многих сферах.

Где можно получить больше информации о свойствах логарифмов?

Пропустили занятие в школе, готовитесь к ЕГЭ или просто интересуетесь математикой? Тогда вам может пригодиться видеоурок на тему «Свойства логарифмов. Логарифм степени», который можно найти, перейдя по ссылке http://interneturok.ru/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni.

В рамках занятия преподаватель не только расскажет о формуле логарифма степени, но и докажет её и напомнит некоторые важные свойства логарифмов. Также можно узнать, как использовать свойства логарифма при решении распространенных примеров. Видеоурок дополнен иллюстрированным текстовым конспектом, в котором также можно найти необходимую информацию.

Источник

Зачем мне логарифмы? Мелочь в магазине считать? Как математика объясняет вообще всё

В марте 2021 года были подведены итоги конкурса на лучшую популяризационную статью о математике, который «Мел» проводил совместно с матфаком ВШЭ. Мы продолжаем публиковать тексты, которые заняли первые места в каждой из четырех номинаций. Анастасия Тюрина, победитель в номинации «Мама, зачем мне знать математику» в своём тексте отвечает на этот самый вопрос — зачем?

Полноценно работать и вести классы в общеобразовательной школе я начала два года назад. Но именно в этом году мне приходится проходить через непростое для меня испытание — первый раз в жизни я работаю с пятым и шестым классом (это дети 10-13 лет). В силу своего юного возраста эта публика для меня, мягко скажем, непривычна.

Думаю, многие со мной согласятся в том, что сейчас у младших детей в общеобразовательных школах не так много мотивации и желания учиться (ведь ЕГЭ еще не маячит на горизонте). А если родители не ругают за оценки и никто не стоит над душой, — казалось бы, — вполне логично не напрягаться.

Что делать? Разве это не задача учителя — заинтересовать, повести детей вперед, к знаниям? А что делать, если они не ведутся? При каком проценте заинтересованных детей можно считать, что я преуспела как учитель? Как я могу помочь отдельно взятому ученику? И нужна ли ему моя помощь?

Вопросов много, и мнений по каждому отдельному может и должно быть много. И способов их решить тоже много, но есть ли один идеальный, который можно просто взять и применить на практике? Здравый смысл да и опыт подсказывают, что, скорее всего, нет. Но если ребенок задает вопрос «Зачем мне это знать?» и «Как это поможет мне в жизни?» — скорее всего, лед его незаинтересованности уже треснул и, возможно, даже тронулся.

Идеальный угол наклона метлы и не только

Так зачем учить математику? Считать мелочь в магазине? Рассчитывать идеальный угол наклона метлы, когда подметаешь? Посчитать процент по ипотеке? А логарифмы зачем? А модули (наболевший сейчас у моих шестиклассников вопрос)? Когда я прихожу первый раз в незнакомый мне класс (неважно в какой — пятый или десятый), я задаю вопрос — а что такое математика как наука? И мне каждый раз, без иронии, интересно, что скажут дети.

Дальше я описываю, какой диалог примерно происходит в младших классах.

— Ну вот химия, примерно понятно — реакции какие-то идут, мензурки, колбочки. География — тоже просто: глобус, карты, страны. История — ход событий. А чем занимаются ученые-математики, как вы думаете?

— Наверное, много-много считают.

Логично! Еще наводящий вопрос:

— Наука же, наверное, с какими-то объектами конкретными работает?

— Считают — ага, значит числа.

— Что можно делать с числами?

— Умножать, складывать, делить и вычитать (почему-то я часто слышу перечисление этих действий именно в таком порядке, что любопытно).

— А это интереснее, значит, есть не только объекты, но и операции, которые можно с ними делать?

— Возводить в степень еще можно!

— Ага, а что еще из мира математики вы знаете?

— Класс! Но это же не числа? Значит, другие объекты. А с ними можно какие-нибудь операции производить?

Робкий голос из класса:

—Ну можно площадь посчитать и периметр, это считается?

— Давайте смотреть — операция сложения, например, что делает: берет два числа и магическим образом получает для них некоторое третье — результат операции. А степень так вообще одно число берет и получает другое. Одно берет и одно выдает взамен. А вычисление периметра — взяли одну фигуру и получили одно число. Чем не операция? Так как же, получается, можно описать математику как науку?

— Науку как о числах и фигурах!

— Нет, науку о разных объектах! С разными операциями еще.

— А я еще про дроби слышала, только не знаю, как их умножать.

— Ага, вот и новый объект!

— Так объектов, наверное, можно много напридумывать, сиди и придумывай!

— Можно, конечно, но обычно они все появлялись из-за некоторой в них надобности. Вот скот рогатый надо было посчитать, берем камушки — ровно столько, сколько коров в стаде. Или пальцы загибаем, если их десять, к примеру.

6 лучших приложений для развития пространственного мышления

Остается три минуты до конца урока, терять уже нечего. Так что, если я скажу, что математика — это наука о разных объектах (которые мы, допустим, уже точно определили) и операциях над ними, вы мне поверите?

— Тогда и про операции можно сказать, что это объекты!

— Тогда можно я скажу, что о разных объектах и взаимодействиях между ними?

— Нет, оставьте, как было, сейчас совсем непонятно стало.

И у самых прилежных учеников останется в тетрадях пара рисуночков и запись: математика — это наука о разных объектах и об операциях над ними.

Зачем популярному тиктокеру математика?

Если у вас создалось впечатление, что дети слушают меня, затаив дыхание, позвольте вернуть вас на землю. Это не так. Слушают меня процентов шестьдесят — и то по самым смелым подсчетам. Кого-то слово «объект» напугало настолько, что как ни старайся, дальше ничего услышано не будет, зато появится пара красивых рисунков на последней странице тетради. А если не сделать упор на практику в работе с этими «объектами и операциями» (натуральными числами и делением/умножением), велик риск того, что слишком многое пойдет не так.

В том, что математика имеет приложения практически во всех областях нашей жизни, сомнений нет. Мы пользуемся ее объектами буквально везде. Рассуждать о том, будешь ли ты успешнее от знания большего количества этих объектов, можно очень долго, и не факт, что вывод будет однозначным.

— Зачем популярному тиктокеру математика?

Ну, если задуматься, он все-таки пользуется какими-то объектами — например, ему как минимум надо знать, сколько у него подписчиков. Но это все довольно очевидные вещи. Давайте попробуем копнуть глубже. Почти все мы пишем списки или рассказываем истории. Чтобы написать список, надо разобраться, какие операции мы хотим с ним совершить.

Объект «приготовить яичницу» включает в себя «купить яйца», «купить масло», «налить масло на сковородку» и так далее

А чтобы рассказать историю друзьям, надо использовать так называемую причинно-следственную связь. Например: если мы хотим упомянуть какого-то персонажа, нужно в начале объяснить, кто это. Иначе может быть непонятно, почему он поступает таким образом или почему вообще в этой истории фигурирует. Видите? Структурированное мышление присутствует и в повседневной жизни.

Довольно часто умными считают людей, которые знают и помнят больше других. Однако важно ли это теперь, когда за пару секунд мы можем загуглить любую нужную информацию? И тут появляется другой вопрос: мы нашли информацию и, проверив, убедились, что она верна. Что мы будем с ней делать?

Ведь кроме поиска фактов нужно уметь правильно согласовать их между собой и применить на практике. Сделать выводы, увидеть пример и провести аналогичные манипуляции с нашими исходными данными. Похоже на математические операции? Мне кажется, что да.

То есть избежать хотя бы шапочного знакомства с математикой, скорее всего, не получится. Чаще всего мы даже не замечаем ее присутствие в нашей жизни. Но насколько глубоким будет это знакомство — личный выбор каждого из нас.

Источник

Для чего нужен логарифм в жизни

d10 = 2 * math.pi * a**2

print(‘площадь поверхности рассматриваемой планеты равна ‘, d11).

Правдивость данной расчетной программы была проверена на примере планеты Венеры путем ввода в программу ее данных. Программа показала высокую точность и верность вычислений (см. приложение 2 )

Формулы помогают нам найти нужные значения, но для полного понимания сути существования логарифмов следует найти и изучить более наглядный материал. Навигация для этого самый лучший вариант.

Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы. Другими словами это кривая, в каждой точке имеющая путевой угол

С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии. Простой пример: самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает, и если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.

По определению локсодромии можно понять, что она представляет собой логарифмическую спираль на сфере, которая асимптотически приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.

Итогом была проведена практическая работа по построению логарифмической спирали различными способами. В приложении 3 показана спираль, построенная путем заложения в основу программы GeoGebra уравнения логарифмической спирали в полярных координатах ( ). В приложении 4 представлена логарифмическая спираль, построенная с помощью прямоугольников, стороны которых имеют определенное отношение. Длины их сторон представлены числовым рядом Фибоначчи. Такая же работа была проведена вручную.

Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.

Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.

Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.

Из этого следует, что логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и так далее.

То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Здесь будет рассмотрена только одна формула – формула Циолковского.

5. Незамысловатый фокус

Представьте, что в ваш город приехал фокусник, утверждающий, что может с легкостью вычислить корень высокой степени из многозначного числа. Перед представлением вы заготовили 31-ю степень какого-нибудь многозначного числа и в итоге получили пятизначное. Уверенные в том, что фокусник не сможет извлечь из него корень вы начинаете говорить «31-ая степень этого числа : пятизначное число …» и тут произошло чудо, этот волшебник уже написал вам ответ на доске, даже не услышав само число. Как так вышло?

На самом деле здесь нет ничего сложного. Есть только одно число, которое в 31-й степени дает пятизначное число. Однако даже если так, то откуда тот фокусник знал это и смог так быстро отыскать нужное число?

Для этого он заучил двузначные логарифмы для первых 15-20 чисел. Тем более эта задача сильно упрощается знанием того факта, что зная логарифмы 2,3 и 7, можно в уме легко найти логарифмы чисел первого десятка ( ).

Теперь уже перед вами стоит задача извлечь корень 64 степени из 20-значного числа. Получим: То есть значение лежит в интервале между или по-другому между 0,29 и 0,31. Такое значение только одно 0,3 – логарифм числа 2.

Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Бесспорно, будет нерационально использовать это при умножении 6 на 3, но при действиях с по-настоящему большими числами данное преимущество значительно упростит задачу.

Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.

В ходе работы поставленные задачи были выполнены, гипотеза подтверждена, проработана практическая часть и цель достигнута.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – Москва: Издательство: АСТ: 2017

3.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика – Фрязино: Век 2: 2015

4 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – СПб.: СЗКЭО, 2017

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов – Москва: государственное издательство физико-математической литературы, 1963

6. Энциклопедия для детей: Т.8. Астрономия. – 2-е изд., глав.ред. М.Д.Аксенова – М.: Аванта+, 1999

7. https://ru.wikipedia.org – Википедия, Свободная Энциклопедия

Приложение 1. Звездные величины. Расчет.

Приложение 2. Площадь планеты. Расчет и проверка.

Приложение 3. Логарифмическая спираль

Приложение 4. Логарифмическая спираль

Приложение 5. Формула Циолковского. Расчет и проверка.

Источник

Для чего нужен логарифм в жизни

Изучение темы «Логарифмы» начинается с определения:

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Обычно, такая первая встреча с логарифмами не вызывает у учеников особой радости и энтузиазма, логарифм невольно ассоциируется с чем-то трудным. Многие ворчат: «Ну, кому понадобились эти логарифмы?».

Я тоже задумался над этим и решил узнать мнения людей, окончивших школу, по этому вопросу. Результаты меня озадачили: из 20 опрошенных 15 (75%) считают, что логарифмы не нужно изучать. Так может быть они действительно не нужны? Меня очень заинтересовала эта проблема.

Предмет исследования – частные вопросы создания и применения логарифмов.

Проблема: логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?

Гипотеза: логарифмы нужны современному человеку.

Существует связь между звездами, шумом, музыкой, природой и логарифмами.

Цель работы – доказать необходимость изучения логарифмов.

Для достижения своей цели, я выдвинул следующие задачи:

найти, собрать и проанализировать материал по истории возникновения логарифмов;

проанализировать, где в природе встречаются логарифмы;

проанализировать, в каких сферах жизнедеятельности человека применяются логарифмы;

сделать соответствующие выводы по исследовательской работе.

При проведении исследования были использованы следующие методы исследования:

анализ существующей литературы по рассматриваемой проблеме (метод научного анализа).

обобщение и синтез точек зрения, представленных в литературе (метод научного синтеза и обобщения).

моделирование на основе полученных данных авторского видения в раскрытии поставленной проблемы (метод моделирования).

2.1. История возникновения и развития логарифмов

Изобретение логарифмов, сократив

работу астронома, продлило ему жизнь.

Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.

Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.

Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую при b₁ = 2, q = 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (*)

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Но это еще не все. С помощью указанных двух строк (*) действие возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.

Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.

Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов.

Прежде всего, теоретическая подготовка учения о логарифмах тесно связана с развитием понятия степени. Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта (ок. 3 в.) из Александрии. Им, а возможно и его предшественниками, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степеней. С течением времени символика совершенствовалась, и эта идея получила дальнейшее развитие. Так, много позже, французский врач и математик Никола Шюке (ок. 1445 – 1500) в своем трактате «Наука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени. Ещё раньше, в 14 веке, епископ города Лизье в Нормандии Николай Орем (ок. 1323 – 1382), исходя из соображений о возможности вставлять в арифметическом ряду между натуральными числами дробные, высказал мысль о том, как надо выражать в рядах (*) соответствующие величины геометрического ряда. Таким образом, он пришел к степеням с дробным показателем.

Особое внимание сопоставлению арифметического и геометрического рядов уделял Михаэль Штифель (1487 – 1567). Подобно Шюке и Орему Штифель пришел к мысли о дробных показателях. Кроме того, сопоставляя ряд натуральных чисел, начинающихся единицей, он отмечал, что соответствующий единице показатель есть нуль, т.е. что a 0 = 1. Числам верхнего ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (exponent).

Но, кто же стал автором первых таблиц логарифмов, позволяющих свести более сложные действия к более простым?

В истории науки иногда наступают моменты, когда необходимость некоторого открытия осознается многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. Однако создатели первых логарифмических таблиц подходили к изобретению нового удобного средства для упрощения вычислений по-разному. Те соображения, которые мы выдвинули чуть раньше, пытаясь предугадать, каким путем пойдет создатель логарифмов, пожалуй, больше всего подходят к Бюрги.

Таблицы Иоста Бюрги были ещё очень несовершенны, правила работы с ними достаточно трудоемки, а многие результаты приходилось находить с помощью дополнительных приближенных приемов вычислений.

Бюрги очень медлил с опубликованием своих таблиц. Они вышли в свет лишь в 1620 году под названием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Но значительного распространения эти таблицы не получили, так как к моменту опубликования таблиц Бюрги ученому миру уже семь лет были известны другие таблицы, которые составил шотландский барон Джон Непер (1550 – 1617).

Интересно, что наряду с вышеуказанными таблицами существовали ещё одни таблицы, которыми можно было пользоваться как средством для упрощения вычислений. Однако их автор не заметил этого, подразумевая совсем иное назначение своих таблиц. Речь идет о таблицах процентов шотландского ученого и инженера Симона Стевина (1548 – 1620).

Итак, можно заметить, что в один смысловой блок собираются такие понятия, как арифметическая и геометрическая прогрессии, степень, проценты, формула сложных процентов и логарифмы.

2.2. Применение логарифмов для познания окружающего мира

Если в 16 веке логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Вопрос правомерен. Ведь не изучают же в современной школе такие старые средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней и прочее. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.

Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Ряд явлений природы помогает описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. (см. Приложение 1.) Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

a ) Логарифмическая спираль в природе.

Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбирают именно логарифмическую спираль?

Немецкий биолог Румблер в 1910 году выдвинул теорию постоянного краевого угла при построении раковин улиток. Он исходил из того, что материал, из которого строятся раковины, вначале должен быть жидким, и в жидком состоянии попадает на край уже существующей части раковины где, естественно, всегда образуется постоянный краевой угол. Под этим углом жидкость затвердевает, и снова начинается та же игра. Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.

Но не только раковины многих моллюсков, улиток, а даже рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали (см. Приложение 3.)

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины, но и в подсолнухе семечки (см. Приложение 4) расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространённых пауков – эпейра, сплетает нити паутины вокруг центра по логарифмическим спиралям (см. Приложение 5).

b ) Звёзды, шум и логарифмы.

Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.

Рассмотрим несколько примеров. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бел, рычание льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в раз.

Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, и то, и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

c ) Логарифмическая спираль в технике.

Логарифмическая спираль знаменита не только тем, что её образы достаточно широко встречаются в природе, но и своими удивительными свойствами.

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали (см. Приложение 7).Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины (см. Приложение 7). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение и направление течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. И через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей (см. Приложение 7) с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

d) Логарифмы и музыка.

«Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?»

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Логарифмируя эту формулу, получаем

lg = lg n + m lg 2 + + p ( lg 2)/12,

lg = lg n + (m + p/12)lg2.

Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2. имеем

e ) Логарифмы в разных отраслях науки

Логарифмы – это математическое понятие, которое применяется во всех отраслях науки: химии, биологии, физике, механике, информатике, электротехнике, географии и многих других.

Статистика постоянно использует понятие среднего. Средняя численность населения, средний уровень инфляции, средняя заработная плата и т.д. Для нахождения средних величин существует коэффициент усреднения он равен ln=2.

Сведения, собранные мною в данной работе, — это далеко не всё, что можно рассказать о логарифмах. В заключении обратимся еще раз к основной идее. Мы, обучаясь в школе, не просто впитываем некоторый набор информации. Мы усваиваем научные данные об окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот период складывается картина мира, и чем полнее и объективнее она будет, тем лучше мы будем понимать и оценивать окружающую нас жизнь, тем более полноценными людьми будем себя ощущать. Поэтому стоит изучать вопросы, без которых картина мира будет неполноценной. С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления.

Результаты моего исследования следующие:

В ходе проведения исследовательской работы я нашел подтверждение словам Галилео Галилея «Великая книга природы написана математическими символами»;

Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;

Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами;

Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.

Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции.

Выяснил, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.

Материалы исследования имеют практическую значимость и могут быть использованы для дальнейшего изучения данной, столь увлекательной, на мой взгляд, темы.

Гипотеза моего исследования, что логарифмы нужны современному человеку, действительно подтвердилась.

Я постарался проследить, как в ходе истории возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась их значимость. Показал применение логарифмов в современном мире. Тем самым, я смог доказать, насколько важно изучать логарифмы для познания окружающего мира.

Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,2016.

Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004

Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ.- М.:Мнемозина,2017.

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,2016.

Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981.

Самсонов П.И. «Математика»:«Полный курс логарифмов. Естественнонаучный профиль». «Школьная пресса», М.2005

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.

Приложение 1. Логарифмическая спираль.

Приложение 2. Раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.

Приложение 3. Рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Приложение 4. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

Приложение 5. Паук – эпейр сплетает нити паутины вокруг центра по логарифмическим спиралям.

Приложение 6. По логарифмическим спиралям также закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Приложение 7. Лезвия вращающихся ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины.

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Источник