цифровая электроника вычислительная техника встраиваемые системы
ТАУ. Оператор Лапласа и передаточные функции.
Любая часть системы управления, будь то регулятор, объект или датчик, имеет вход и выход. С помощью входов и выходов они взаимодействуют с другими элементами системы и с внешней средой. При воздействии входного сигнала на элемент системы, в этом элементе происходят какие-то внутренние изменения состояния, которые приводят к изменению выходного сигнала. То есть элемент системы представляет собой некоторую функцию зависимости y от x. Это можно изобразить на рисунке 1.
Определение функции F(x) и есть, по сути, основная задача, решаемая в рамках теории автоматического управления. Знание F(x) объекта поможет составить правильный алгоритм управления им, F(x) датчика определит характер обратной связи, а синтез F(x) сделает систему по-настоящему работоспособной. Саму F также иногда называют оператором, поскольку она оперирует входным сигналом.
Базовыми операциями в ТАУ являются интегрирование и дифференцирование. Допустим, сигнал нарастает в течение некоторого времени, что зачастую очень характерно для сигналов в системах управления, тогда для описания этого процесса его следует «собрать» интегралом во всем временном промежутке:
Дифференцирование также чрезвычайно полезно в теории автоматического управления. Оператор дифференцирования в противовес оператору интегрирования берет производную от входного сигнала, то есть:
Здесь зарождается очень важное понятие в ТАУ – оператор Лапласа p, который призван заменить запись d/dt, иначе говоря
Также в некоторых источниках этот оператор представляется произведением мнимой единицы на угловую частоту, то есть p=jω. Но мы пока не будем трогать частотный диапазон, ибо это обширная тема и просто запомним два простейших правила:
Как же выглядит интегрирование и дифференцирование сигнала? Интегрирование сигнала скачкообразной формы показано на рисунке 2а. Здесь все просто, сигнал будет инкрементироваться на каждом шаге интегрирования, пока не достигнет за время t1 изначально заданного значения. А что если продифференцировать такой сигнал? Ни в коем случае! Это угроза безопасности Вселенной, такой сигнал пробьет небесный свод и устремится в бесконечность к звездам (рисунок 2б)! Короче говоря, математика гласит, что производная мгновенно измененного сигнала равна бесконечности, а поскольку бесконечность является идеальной и недостижимой величиной, то в реальном мире такая операция не имеет смысла. Иначе говорят, что такая операция физически не реализуема. В общем, p в чистом виде не применяется, а используется только в составе более сложных выражений, где эта p будет каким-то образом компенсирована.
Теперь, когда мы знаем про соотношение выходного сигнала к входному и про оператор Лапласа, мы можем перейти к такому понятию как передаточная функция. По сути, передаточная функция, записываемая как W(p), представляет собой отношение выход/вход. Система, записанная через передаточные функции, более наглядна, и в отношении нее можно применять более-менее простые методы анализа и синтеза. Но о них позже, а сейчас рассмотрим на несложном примере, как же получаются такие функции.
Предположим у нас имеется звено, процессы происходящие в котором описываются следующим уравнением:
Слева выходная величина (и ее производная), справа входная (в сложных выражениях там тоже могут быть производные). T – какая-то постоянная времени, K – какой-то коэффициент. Теперь производим замену на оператор Лапласа:
Как было выше отмечено, передаточная функция равна отношению выход/вход:
Вот так мы получили передаточную функцию инерционного звена первого порядка. В ТАУ имеется несколько типовых звеньев (включая это), из которых можно составить любую систему, любое звено какой угодно сложности. Сейчас только отметим, что передаточные функции в зависимости от порядков числителя и знаменателя могут быть правильными и неправильными. Вышеприведенная функция является правильной, также говорят строго правильной, потому что порядок знаменателя больше порядка числителя. И это хорошо, она реализуема. Ниже приведена еще пара функций.
Функция типа 1 также правильная, но не строго. Степень числителя равна степени знаменателя, но ничего страшного, она тоже реализуема. А вот функция вроде 2 не реализуема в силу наличия квадрата в числителе и отсутствия квадрата или более высокой степени в знаменателе, то есть в данном случае будет какая-то некомпенсированная производная. Таким образом, за порядком в передаточных функциях надо строго следить!
В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
.
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение , определяется через функцию ошибок:
.
.
Содержание
Свойства
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
[1]
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Применение
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение
При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
Родственные функции
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(x)
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
Реализация
В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.
См. также
Литература
Внешние ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Функция Лапласа» в других словарях:
Функция ошибок — График функции ошибок В математике функция ошибок (функция Лапласа) это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных ур … Википедия
Функция тока — скалярная функция (ψ) пространственных координат и времени t, сохраняющая неизменным своё значение на линии тока, то есть удовлетворяющая условию Vgrad(ψ) = 0, где V вектор скорости. В аэро и гидродинамике существование Ф. т. является следствием… … Энциклопедия техники
Лапласа преобразование — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — трансформация Лапласа, в широком смысле интеграл Лапласа вида где интегрирование производится по нек рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z). определенной на L, аналитич. функцию… … Математическая энциклопедия
Лапласа уравнение — Уравнение Лапласа уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном… … Википедия
ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида где функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С 2 в нек рой области Dевклидова пространства т … Математическая энциклопедия
Оператор Лапласа также является производным оператором, который используется для поиска ребер в изображении. Основное различие между лапласианом и другими операторами, такими как Prewitt, Sobel, Robinson и Kirsch, заключается в том, что все они являются производными масками первого порядка, а Laplacian — производными масками второго порядка. В этой маске у нас есть еще две классификации: одна — положительный оператор Лапласа, а другая — отрицательный оператор Лапласа.
Другое различие между лапласианом и другими операторами состоит в том, что в отличие от других операторов лапласиан не вынимает ребра в каком-либо конкретном направлении, но вынимает ребра в следующей классификации.
Давайте посмотрим, как работает оператор Лапласа.
Положительный лапласианский оператор
В положительном лапласиане у нас есть стандартная маска, в которой центральный элемент маски должен быть отрицательным, а угловые элементы маски должны быть равны нулю.
0
1
0
1
-4
1
0
1
0
Положительный оператор Лапласа используется для удаления внешних краев на изображении.
Отрицательный оператор Лапласа
Отрицательный оператор Лапласа используется для удаления внутренних краев в изображении
Как это устроено
Лапласиан является производным оператором; он использует выделение неоднородностей уровня серого в изображении и пытается выделить области с медленно меняющимися уровнями серого. В результате этой операции создаются такие изображения, которые имеют сероватые края и другие неоднородности на темном фоне. Это создает внутренние и внешние края изображения
Важно то, как применить эти фильтры к изображению. Помните, что мы не можем применять как положительный, так и отрицательный оператор Лапласа к одному и тому же изображению. мы должны применить только одно, но следует помнить, что если мы применим положительный оператор Лапласа к изображению, то мы вычтем результирующее изображение из исходного изображения, чтобы получить заостренное изображение. Аналогично, если мы применяем отрицательный оператор Лапласа, то мы должны добавить результирующее изображение к исходному изображению, чтобы получить заостренное изображение.
Давайте применим эти фильтры к изображению и посмотрим, как он получит нас от внутренних и внешних краев изображения. Предположим, у нас есть следующий пример изображения.
Образец изображения
После применения положительного оператора Лапласа
После применения положительного оператора Лапласа мы получим следующее изображение.
После применения отрицательного оператора Лапласа
После применения отрицательного оператора Лапласа мы получим следующее изображение.
Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии .
В координатах где оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть — матрица метрического тензора риманова многообразия, — обратная матрица и , тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид
Примеры
Литература
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Оператор Лапласа» в других словарях:
оператор Лапласа — Laplace o operatorius statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. delta operator; Laplacian operator vok. Delta Operator, m; Laplace Operator, m; Laplacescher Operator, m rus. дельта оператор, m; оператор Лапласа, m pranc. opérateur laplacien … Automatikos terminų žodynas
оператор Лапласа — Laplaso operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. delta operator; Laplacian operator vok. Delta Operator, m; Laplace Operator, m rus. дельта оператор, m; оператор Лапласа, m pranc. opérateur laplacien, m … Fizikos terminų žodynas
Оператор Лапласа-Бельтрами — (называется иногда оператором Бельтрами Лапласа или просто оператором Бельтрами) дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии M. В координатах где n = dimM,… … Википедия
Дискретный оператор Лапласа — О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z преобразование. В математике дискретный оператор Лапласа аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа… … Википедия
Оператор Д’Аламбера — (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) дифференциальный оператор второго порядка где оператор Лапласа, постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком. Имеет в декартовых координатах вид … Википедия
Оператор Даламбера — Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) дифференциальный оператор второго порядка где Δ оператор Лапласа, c постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком. Имеет в декартовых координатах вид:… … Википедия
Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия
ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — лапласиан, дифференциальный оператор определяемый формулой (здесь координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2 го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе,… … Математическая энциклопедия
Оператор набла в различных системах координат — Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в некоторых системах координат. Таблица операторов Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z и радиус вектором… … Википедия
Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии .
В координатах где оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть — матрица метрического тензора риманова многообразия, — обратная матрица и , тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид
Примеры
Литература
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Оператор Лапласа» в других словарях:
оператор Лапласа — Laplace o operatorius statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. delta operator; Laplacian operator vok. Delta Operator, m; Laplace Operator, m; Laplacescher Operator, m rus. дельта оператор, m; оператор Лапласа, m pranc. opérateur laplacien … Automatikos terminų žodynas
оператор Лапласа — Laplaso operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. delta operator; Laplacian operator vok. Delta Operator, m; Laplace Operator, m rus. дельта оператор, m; оператор Лапласа, m pranc. opérateur laplacien, m … Fizikos terminų žodynas
Оператор Лапласа-Бельтрами — (называется иногда оператором Бельтрами Лапласа или просто оператором Бельтрами) дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии M. В координатах где n = dimM,… … Википедия
Дискретный оператор Лапласа — О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z преобразование. В математике дискретный оператор Лапласа аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа… … Википедия
Оператор Д’Аламбера — (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) дифференциальный оператор второго порядка где оператор Лапласа, постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком. Имеет в декартовых координатах вид … Википедия
Оператор Даламбера — Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) дифференциальный оператор второго порядка где Δ оператор Лапласа, c постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком. Имеет в декартовых координатах вид:… … Википедия
Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия
ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — лапласиан, дифференциальный оператор определяемый формулой (здесь координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2 го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе,… … Математическая энциклопедия
Оператор набла в различных системах координат — Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в некоторых системах координат. Таблица операторов Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z и радиус вектором… … Википедия
.
(иногда применяется обозначение 
, определяется через функцию ошибок:
.
.
[1]
.
где 
оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть 
— матрица метрического тензора риманова многообразия, 
— обратная матрица и 
, тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид
