Для чего нужна амплитудная модуляция
Теория радиоволн: аналоговая модуляция
Амплитудная модуляция
При амплитудной модуляции, огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпадающему с законом передаваемого сообщения. Частота и фаза несущего колебания при этом не меняется.
Одним из основных параметров АМ, является коэфициент модуляции(M).
Коэффициент модуляции — это отношение разности между максимальным и минимальным значениями амплитуд модулированного сигнала к сумме этих значений(%).
Проще говоря, этот коэффициент показывает, насколько сильно значение амплитуда несущего колебания в данный момент отклоняется от среднего значения.
При коэффициенте модуляции больше 1, возникает эффект перемодуляции, в результате чего происходит искажение сигнала.
Данный спектр свойственен для модулирующего колебания постоянной частоты.
На графике, по оси Х представлена частота, по оси У — амплитуда.
Для АМ, кроме амплитуды основной частоты, находящейся в центре, представлены также значения амплитуд справа и слева от частоты несущей. Это так называемые левая и правая боковые полосы. Они отнесены от частоты несущей на расстояние равное частоте модуляции.
Расстояние от левой до правой боковой полосы называют ширина спектра.
В нормальном случае, при коэффициенте модуляции
Амплитудная модуляция на пальцах
В недавней статье «Амплитудная модуляция произвольного сигнала» её автор довольно сумбурно попытался представить своё понимание формирования спектра при амплитудной модуляции. Но отсутствие иллюстраций и избыток математики с привлечением интегральных преобразований помешало сообществу понять мысли автора и оценить статью по достоинству; в то время как тема это достаточно простая — и рассмотреть которую мы попробуем ещё раз, на этот раз с картинками и привлечением Wolfram Mathematica.
Итак, идея амплитудной модуляции состоит в том, чтобы передавать низкочастотный сигнал — голос или музыку — модулируя высокочастотный (несущий) сигнал, многократно превышающий слышимый диапазон и занимающий узкую полосу частот в радиоэфире. Сама модуляция осуществляется простым умножением сигнала на несущий:
Здесь у нас в качестве несущей выступает синусоида с частотой 5:
А сам сигнал — с частотой 1:
Можно заметить, что сигнал смещён вверх и имеет только положительные значения. Это не случайно и является обязательным условием для возможности последующего его корректного восстановления. Как же его восстановить? Очень просто! Нужно сдвинуть фазу промодулированного сигнала на 90 градусов (операция, известная как преобразование Гильберта), и посчитать корень из суммы квадратов модулированного и преобразованного сигналов:
В более простом (но грубом) варианте преобразование Гильберта можно заменить задержкой сигнала на четверть периода несущий частоты, а итоговый сигнал дополнительно отфильтровать фильтром низких частот. В ещё более простом варианте можно вообще не считать корней и квадратов, а отфильтровать сигнал по абсолютному значению (что и применяется обычно в радиоприёмниках).
Теперь посмотрим, что у нас происходит со спектрами. Посчитаем преобразование Фурье от несущей:
Так как дельта-функция Дирака не является функцией в классическом смысле, её график нельзя построить стандартным способом; поэтому сделаем это вручную, используя общепринятое начертание:
Ожидаемо получили ту же частоту, что и в начальной формуле. Наличие ещё одной такой же частоты, но со знаком минус, не случайно — это явление называется Hermitian symmetry и является следствием того, что рассматриваемая функция сугубо действительная и в комплексном представлении имеет нулевую мнимую компоненту. Отсутствие мнимых компонент в спектре после преобразования обусловлено тем, что изначально наши функции ещё и чётные (симметричные относительно нуля).
Теперь сделаем преобразование Фурье для самого сигнала:
Здесь мы дополнительно получили дельта-функцию Дирака в центре координат — вследствие наличия в сигнале постоянной составляющей, которая не имеет колебаний по определению — что позволяет её рассматривать как нулевую частоту.
Что же будет со спектром, если их перемножить? Посмотрим:
Из теории мы знаем, что умножение во временном домене равносильно свертке в частотном (и наоборот, что широко используется при FIR-фильтрации). А поскольку один из подвергаемых свёртке сигналов состоял только из одной (положительной и отрицательной) частоты, то в результате свёртки мы получили просто линейный перенос сигнала вверх по частоте (в обе стороны). И так как симметрия осталась, сигнал у нас по-прежнему не имеет мнимой компоненты.
Приведём его теперь к комплексному (аналитическому) виду, обнулив отрицательную область частот:
и сделаем обратное преобразование Фурье:
Так как функция теперь комплексная, для построения её графика необходимо отдельно извлечь действительную и мнимую компоненты:
Теперь у нашего сигнала появилась мнимая компонента, представляющая собой сдвинутый на 90 градусов исходный сигнал. Это будет более очевидным, если представить полученную функцию в тригонометрическом виде:
Пока не очень очевидно. Попробуем упростить:
Теперь больше похоже на правду — и как видим, функция нашего исходного сигнала тоже упростилась. Попробуем её вернуть к оригинальному виду:
Множитель 1/2 появился не случайно — ведь обнулив половину спектра, мы соответственно и уменьшили мощность сигнала. Ну а теперь, имея модулированный комплексный сигнал, мы можем взять и этот модуль посчитать:
Модуль комплексного числа как раз и считается через корень суммы квадратов мнимого и действительных компонентов. И отсюда понятно, почему кодируемый сигнал должен состоять только из положительных значений — если он будет включать отрицательные значения, то после восстановления они также станут положительными, что и называется перемодуляцией:
Восстановление сигнала также возможно и при помощи квадратурного гетеродина — когда модулированный сигнал снова умножается на несущую частоту, но на этот раз — комплексную:
За счёт того, что комплексная частота в частотной области имеет только один импульс без дублирования его в отрицательной области частот — то в результате свёртки мы получим линейный перенос спектра, при которой отрицательная часть спектра встанет обратно в центр, а положительная — сдвинется ещё дальше, и её останется только отфильтровать фильтром нижних частот.
Заключение
Как видим, в рассмотрении амплитудной модуляции через преобразовании Фурье нет ничего сложного; если же рассматривать её исключительно на школьном уровне, то достаточно вспомнить, что произведение (несущей) суммы (представление сигнала в виде тригонометрического ряда) равнозначно сумме произведений (каждого члена ряда по отдельности на несущую частоту) — и, соответственно, каждое такое произведение раскладывается на сумму двух синусоид по уже озвученной автором исходной статьи формуле.
Внимательный читатель также мог заметить, что раз в результате модуляции мы получили симметричный относительно несущей частоты спектр — значит, имеет место быть избыточность данных и можно оставить только одну боковую полосу, сократив тем самым занимаемую полосу частот в радиоэфире. Такая технология действительно имеется, но это — уже совсем другая история.
Амплитудная модуляция: теория, временная и частотная области
Узнайте о самом простом способе кодирования информации в форме сигнала несущей частоты.
Мы видели, что радиочастотная модуляция представляет собой просто преднамеренную модификацию амплитуды, частоты или фазы синусоидального сигнала несущей частоты. Эта модификация выполняется в соответствии с конкретной схемой, которая реализуется передатчиком и понимается приемником. Амплитудная модуляция, которая, конечно, является источником термина «АМ радио», изменяет амплитуду несущей в соответствии с мгновенной величиной низкочастотного сигнала.
Математика
Временна́я область
Мы рассмотрели формы амплитудно-модулированных сигналов во временно́й области в предыдущей статье. Последней была следующая диаграмма (низкочастотный сигнал – красный, амплитудно-модулированная несущая – синий):
Несущая, умноженная на смещенный низкочастотный сигнал
Несущая, умноженная на смещенный низкочастотный сигнал
Теперь включим индекс модуляции. На следующем графике m = 3.
Несущая, умноженная на смещенный низкочастотный сигнал
Амплитуда несущей теперь «более чувствительна» к изменению величины низкочастотного сигнала. Смещенный низкочастотный сигнал не заходит на отрицательную часть оси y, потому что я выбрал смещение по постоянному напряжению в соответствии с индексом модуляции.
Возможно, вам интересно, как выбрать правильное смещение по постоянному напряжению, не зная точных амплитудных характеристик низкочастотного сигнала? Другими словами, как мы можем гарантировать, что отрицательная волна низкочастотного сигнала доходит точно до нуля? Ответ: вам это не нужно. Предыдущие два графика являются одинаково допустимыми формами амплитудно-модулированного сигнала; низкочастотный сигнал корректно передается в обоих случаях. Любое смещение по постоянному напряжению, которое остается после демодуляции, легко удаляется с помощью последовательно включенного конденсатора (следующая глава будет посвящена демодуляции).
Частотная область
Как обсуждалось во второй статье данного миниучебника, радиочастотное проектирование широко использует анализ в частотной области. Мы может проверять и оценивать реальный модулированный сигнал, измеряя его с помощью анализатора спектра, но это означает, что нам нужно знать, как должен выглядеть спектр.
Начнем с представления сигнала несущей частоты в частотной области:
Это именно то, что мы ожидаем от немодулированной несущей: один всплеск на частоте 10 МГц. Теперь давайте посмотрим на спектр сигнала, создаваемого амплитудной модуляцией сигнала несущей частоты с помощью синусоиды с постоянной частотой 1 МГц.
Спектр амплитудно-модулированного сигнала
Здесь вы видите стандартные характеристики амплитудно-модулированного сигнала: низкочастотный сигнал сдвинут в соответствии с частотой несущей. Вы могли бы также подумать об этом как о «добавлении» частот низкочастотного сигнала к сигналу несущей, что мы и делаем, когда используем амплитудную модуляцию – несущая остается, как вы можете видеть на сигналах во временной области, но амплитудные изменения образовывают новые частотные составляющие, которые соответствуют спектральным характеристикам низкочастотного сигнала.
Если мы посмотрим более внимательно на спектр модулированного сигнала, то увидим, что два новых пика составляют 1 МГц (т.е. частота низкочастотного сигнала) выше и 1 МГц ниже несущей частоты:
Спектр амплитудно-модулированного сигнала
(В случае, если вам интересно, асимметрия является артефактом процесса вычисления, эти графики были созданы с использованием реальных данных и с ограниченным разрешением. Идеализированный спектр был бы симметричным.)
Отрицательные частоты
Резюмируя, амплитудная модуляция переносит спектр низкочастотного сигнала в полосу частот с центром на несущей частоте. Однако есть кое-что, что нам нужно объяснить: почему получилось два пика – один на несущей частоте плюс частота низкочастотного сигнала, а другой на несущей частоте минус частота низкочастотного сигнала? Ответ становится ясным, если мы просто вспомним, что спектр Фурье симметричен относительно оси y; хотя мы часто показывает только положительные частоты, отрицательная часть оси x содержит соответствующие отрицательные частоты. Эти отрицательные частоты легко игнорируются, когда мы имеем дело с исходным спектром, но при смещении спектра важно их учесть.
Следующая диаграмма должна прояснить эту ситуацию:
Отрицательные частоты
Ширина полосы АМ сигнала
Амплитудная модуляция: определение, графики, схемы, формулы
«Амплитудной модуляцией» называется изменение амплитуды несущего сигнала в соответствии с модулированным колебанием. Например, имеем высокочастотное несущее колебание (Формула) и первичный сигнал (Формула), где U0 — постоянная составляющая. Результирующий амплитудно-модулированный сигнал получим на основе перемножения несущего колебания и первичного сигнала:
Пусть x(t) является гармоническим колебанием с частотой Ω, т.е. х(t) = XcosΩt. Тогда (Формула). Здесь x(t) — медленно меняющаяся во времени функция по сравнению с высокочастотным колебанием ω0, т. е. Ω
— максимальное приращение амплитуды огибающей.
— максимальное приращение амплитуды огибающей.ВременнЫе диаграммы, иллюстрирующие процесс амплитудной модуляции тональным колебанием, показаны на рис. 4.1.
Рис. 4.1. ВременнЫе диаграммы, иллюстрирующие амплитудную модуляцию:
а — первичный сигнал; б — высокочастотное несущее колебание; в — модулированный сигнал
Коэффициентом модуляции называется отношение амплитуды (Формула) огибающей к амплитуде (Формула) несущего колебания, т. е. (Формула). Обычно 0
Раскроем данное выражение, что позволит определить спектр АМ-сигнала:
Из этого выражения видно, что АМ-колебание, спектр которого при модуляции одним гармоническим сигналом изображен на рис. 4.2, содержит три составляющие.
Из сказанного можно сделать следующие выводы.
На практике однотональные АМ-сигналы используются крайне редко. Более реален случай, когда низкочастотный модулированный сигнал имеет сложный спектральный состав:
Здесь частоты (Формула) образуют упорядоченную возрастающую последовательность (Формула), а амплитуды Хk и фазы φk — произвольные.
В этом случае для АМ-сигнала можно записать следующее аналитическое соотношение:
где (Формула) — парциальные коэффициенты модуляции, представляющие собой коэффициенты модуляции соответствующих компонентов первичного сигнала.
Рис. 4.2. Спектр колебаний при амплитудной модуляции одним низкочастотным гармоническим сигналом
Спектральное разложение производится так же, как и для однотонального АМ-сигнала:
Из этого разложения видно, что в спектре кроме несущего колебания содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. При этом спектр верхних боковых колебаний является копией спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот на значение ω0, а спектр нижних боковых колебаний располагается зеркально относительно ω0.
Спектры исходного полосового сигнала и амплитудно-модулированного сигнала показаны на рис. 4.3.
Амплитудная модуляция
Непрерывная волна идет непрерывно без каких-либо интервалов, и это сигнал сообщения основной полосы частот, который содержит информацию. Эта волна должна быть модулирована.
Согласно стандартному определению, «амплитуда несущего сигнала изменяется в соответствии с мгновенной амплитудой модулирующего сигнала». Это означает, что амплитуда несущего сигнала, который не содержит никакой информации, изменяется в соответствии с амплитудой сигнала на каждом мгновенный, который содержит информацию. Это можно хорошо объяснить следующими рисунками.
Модулирующая волна, которая показана первой, является сигналом сообщения. Следующей является несущая волна, которая является высокочастотным сигналом и не содержит никакой информации. В то время как последний является результирующей модулированной волной.
Математическое выражение
Ниже приведены математические выражения для этих волн.
Представление волн во временной области
Пусть модулирующий сигнал будет —
m ( t ) = A m c o s ( 2 p i f m t )
Пусть сигнал несущей будет —
c ( t ) = A c c o s ( 2 p i f c t )
Где A m = максимальная амплитуда модулирующего сигнала
A c = максимальная амплитуда несущего сигнала
Стандартная форма амплитудно-модулированной волны определяется как —
S ( t ) = A c [ 1 + K a m ( t ) ] c o s ( 2 p i f c t )
S ( t ) = A c [ 1 + m u c o s ( 2 p i f m t ) ] c o s ( 2 p i f c t )