Для чего нужна бутылка клейна

Бутылка Кляйна

Те, кто, узнав на нашем сайте о листе Мебиуса, задастся вопросом: «Что получится, если лист Мебиуса станет трехмерным», будут весьма удивлены, т.к. ответом будет — бутылка. Однако не простая, а «волшебная» бутылка Клейна, автором которой в 1882 году стал немецкий математик Феликс Клейн.

Кстати, бытует мнение, что бутылка — на самом деле не «бутылка» (нем. Flasche), а созвучное ей слово «поверхность» (Fläche).

В чем особенность бутылки Клейна и отличие ее от обычной бутылки? «Нормальная» бутылка имеет традиционное устройство: две поверхности (внутреннюю и наружную) и край (горлышко). Бутылка Клейна лишена и первого, и второго, и третьего: ее наружная поверхность «незаметно» (непрерывно) превращается во внутреннюю, подобно тому, как одна поверхность листа Мебиуса неожиданно для нас становится другой.

Несмотря на то, что трехмерное пространство не допускает существования бутылки Клейна (в этом случае непременно бутылка должна будет пересекаться с собой), всегда есть возможность получить ее в своем воображении. Для этого представим себе трубку, в одном конце которой предусмотрено отверстие. В него, предварительно слегка оттянув и загнув вверх, вставим противоположный край. После этого необходимо склеить концы и любоваться удивительным явлением — бутылкой Клейна, возможной без самопересечения только в четырехмерном пространстве.

Писатель-фантаст Стифен Барр, не смирившийся с невозможностью увидеть наяву настоящую бутылку Клейна, придумал «складывать» ее из обычного листа бумаги. Конечно, эта конструкция также не будет являться бутылкой Клейна в полном смысле слова (ну никуда нам не деться из трехмерного пространства!), однако, в отличие от попыток на стекле — некоторые высококлассные стеклодувы создают стеклянные псевдо-бутылки, делая дополнительное отверстие в стенке — бумага скроет обязательное отверстие — место самопересечения бутылки. Для того чтобы получить бумажную бутылку Клейна, сначала следует склеить края листа бумаги, предварительно перегнутого пополам, чтобы получилась трубка. Одну из половинок листа необходимо прорезать перпендикулярно склеенным сторонам таким образом, чтобы расстояние между прорезью и верхним краем трубки соответствовало приблизительно ¼ листа. Затем, согнув «конструкцию» пополам, нужно провести ее нижний край в прорезь, после чего склеить верхнее и нижнее основания.

Источник

Эксперименты с бутылкой Клейна

Дата публикации: 25.11.2014 2014-11-25

Статья просмотрена: 3663 раза

Библиографическое описание:

Первушкина, Е. А. Эксперименты с бутылкой Клейна / Е. А. Первушкина, Т. Д. Марушина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2014. — № 21.1 (80.1). — С. 244-246. — URL: https://moluch.ru/archive/80/13829/ (дата обращения: 24.12.2021).

В данной статье представлены опыты с бутылкой Клейна. Поставлена проблема и решена экспериментально, прогнозирования экспериментов с разрезанием модели бутылки Клейна. Были выявлены ее свойства.

Ключевые слова: бутылка Клейна, лист Мебиуса, трехмерное пространство, топологическая поверхность.

Abstract. The article presents a series of experiments with the Klein bottle. Solves the problem of forecasting the result of the experiment with cutting the Klein bottle. We have also identified its properties.

Keywords: The Klein bottle, the Möbius strip, a three-dimensional space, topological surface.

Бутылка Клейна была описана немецким ученым Ф. Клейном в 1882 году.

С бутылкой Клейна знакомятся в высших учебных заведениях в курсе геометрии. Эта модель интересна тем, что ее свойства нельзя увидеть без проведения опытов, так как она не может существовать в нашем трехмерном пространстве. Модели, которые мы видим в магазинах, как сувенир имеют отдаленное представление о бутылки Клейна. Интересна возможность выявления свойств бутылки Клейна с помощью экспериментов.

Рис.1. Бутылка Клейна

Бутылка Клейна – это неориентируемая определённая поверхность [1, с. 352]. Она частично связана с лентой Мёбиуса (прямоугольная лента, полученная склеиванием противоположных сторон с поворотом на 180 градусов [3]) и проективной плоскостью.

Изготовление бутылки Клейна

А

Рис. 2. Изготовление бутылки Клейна

Сложите квадрат пополам и соедините его стороны, обозначенные пунктиром на рис.1 а). Сделайте прорезь на обращенной к вам половине квадрата, перпендикулярно склеенным сторонам рис.1 б). Между верхним краем и прорезью трубки должно быть расстояние равное четверти стороны квадрата. Перегнув модель пополам вдоль прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь, верхнее и нижнее основания трубки склейте друг с другом в соответствии со стрелками рис.1 в).

Видим, что склеить бутылку Клейна довольно сложно. Из прозрачного материала эта модель будет более наглядной. Далее проведем ряд экспериментов с бутылкой Клейна, описанных в таблице 1.

Вначале будут сделаны предположения, какой будет результат, затем проводится проверка высказанных нами предположений.

Разрезание бутылки Клейна

Высказанное предположение подтвердилось.

Высказанное предположение подтвердилось.

В результате мы получили два листа Мебиуса и цилиндр.

1. Склеили Бутылку Клейна и выполнили разрез посередине. Перед этим было высказано предположение, что результатом будет два листа Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

2. Склеили бутылку Клейна, выполнили разрез по краю. Перед этим было высказано предположение, что получиться лист Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

3. Склеили модель, выполнили два разреза по краям. Перед этим было высказано предположение, что результатом станет три листа Мебиуса. Высказанное предположение не подтвердилось. В результате были получены 2 листа Мебиуса и цилиндр.

Из проведенных нами опытов можно выделить следующие свойства бутылки Клейна:

2. Число Бетти – это число разрезов, которые можно провести так, чтобы поверхность не распалась на два отдельных куска [2, с. 507]. Так как бутылка Клейна не имеет краев (то есть поверхность замкнутая), то каждый разрез должен иметь форму какой-нибудь простой замкнутой кривой, поэтому число Бетти для нашей модели равно 2.

3. Хроматическое число (минимальное число цветов, в которые можно раскрасить модель так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета) [5, с. 74]. Хроматическое число бутылки Клейна равно шести. Это означает, что на данной поверхности можно так расположить 6 областей разных цветов, чтобы 5 областей имели общие границы с шестой областью.

4. Бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием [6, с. 208]. Она, в отличие от листа Мёбиуса, является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

5. Она не может быть вложена в трёхмерное евклидово пространство Е₃ (только погружена), но вкладывается в Е₄.

6. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием по краю двух лент Мёбиуса. Но в обычном трехмерном евклидовом пространстве Е₃ сделать это невозможно, не создав самопересечения.

Выполняя опыты, мы наблюдали затем, что происходит с бутылкой Клейна и делали правильные предположения. В то время как изначально наши предположения могли быть неверными. Значит, именно проведенные нами опыты делают свойства построенной поверхности более доступными для понимания.

В результате проведенных опытов, мы убедились, что действительно бутылка Клейна не может существовать в трехмерном пространстве, а лишь в четырехмерном. В наше время её можно встретить в магазинах, в рекламе, а также в шоу фокусников (иллюзионист, забравшись в бутылку, остается на половину погруженным в нее) [4, с. 28]. Изготовить бутылку Клейна из стекла достаточно сложно, поэтому она имеет высокую стоимость и применяется крайне редко.

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. инс-ов. Ч-2. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 507 с.

3. Марушина Т.Д. Разрезание лент // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/07/7567 (дата обращения: 09.08.2014).

4. Пономарева Е.И., Первушкина Е.А. Развитие креативности школьников при обучение математике в 5-6 классах с использованием интерактивных геометрических средств // Перспективы науки. – 2011. – № 16. – С. 27-34.

6. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: МИРОС.КПЦ «Марта», 1992. – 208 с.

Источник

Эксперименты с бутылкой Клейна

Дата публикации: 25.11.2014 2014-11-25

Статья просмотрена: 3663 раза

Библиографическое описание:

Первушкина, Е. А. Эксперименты с бутылкой Клейна / Е. А. Первушкина, Т. Д. Марушина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2014. — № 21.1 (80.1). — С. 244-246. — URL: https://moluch.ru/archive/80/13829/ (дата обращения: 24.12.2021).

В данной статье представлены опыты с бутылкой Клейна. Поставлена проблема и решена экспериментально, прогнозирования экспериментов с разрезанием модели бутылки Клейна. Были выявлены ее свойства.

Ключевые слова: бутылка Клейна, лист Мебиуса, трехмерное пространство, топологическая поверхность.

Abstract. The article presents a series of experiments with the Klein bottle. Solves the problem of forecasting the result of the experiment with cutting the Klein bottle. We have also identified its properties.

Keywords: The Klein bottle, the Möbius strip, a three-dimensional space, topological surface.

Бутылка Клейна была описана немецким ученым Ф. Клейном в 1882 году.

С бутылкой Клейна знакомятся в высших учебных заведениях в курсе геометрии. Эта модель интересна тем, что ее свойства нельзя увидеть без проведения опытов, так как она не может существовать в нашем трехмерном пространстве. Модели, которые мы видим в магазинах, как сувенир имеют отдаленное представление о бутылки Клейна. Интересна возможность выявления свойств бутылки Клейна с помощью экспериментов.

Рис.1. Бутылка Клейна

Бутылка Клейна – это неориентируемая определённая поверхность [1, с. 352]. Она частично связана с лентой Мёбиуса (прямоугольная лента, полученная склеиванием противоположных сторон с поворотом на 180 градусов [3]) и проективной плоскостью.

Изготовление бутылки Клейна

А

Рис. 2. Изготовление бутылки Клейна

Сложите квадрат пополам и соедините его стороны, обозначенные пунктиром на рис.1 а). Сделайте прорезь на обращенной к вам половине квадрата, перпендикулярно склеенным сторонам рис.1 б). Между верхним краем и прорезью трубки должно быть расстояние равное четверти стороны квадрата. Перегнув модель пополам вдоль прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь, верхнее и нижнее основания трубки склейте друг с другом в соответствии со стрелками рис.1 в).

Видим, что склеить бутылку Клейна довольно сложно. Из прозрачного материала эта модель будет более наглядной. Далее проведем ряд экспериментов с бутылкой Клейна, описанных в таблице 1.

Вначале будут сделаны предположения, какой будет результат, затем проводится проверка высказанных нами предположений.

Разрезание бутылки Клейна

Высказанное предположение подтвердилось.

Высказанное предположение подтвердилось.

В результате мы получили два листа Мебиуса и цилиндр.

1. Склеили Бутылку Клейна и выполнили разрез посередине. Перед этим было высказано предположение, что результатом будет два листа Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

2. Склеили бутылку Клейна, выполнили разрез по краю. Перед этим было высказано предположение, что получиться лист Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

3. Склеили модель, выполнили два разреза по краям. Перед этим было высказано предположение, что результатом станет три листа Мебиуса. Высказанное предположение не подтвердилось. В результате были получены 2 листа Мебиуса и цилиндр.

Из проведенных нами опытов можно выделить следующие свойства бутылки Клейна:

2. Число Бетти – это число разрезов, которые можно провести так, чтобы поверхность не распалась на два отдельных куска [2, с. 507]. Так как бутылка Клейна не имеет краев (то есть поверхность замкнутая), то каждый разрез должен иметь форму какой-нибудь простой замкнутой кривой, поэтому число Бетти для нашей модели равно 2.

3. Хроматическое число (минимальное число цветов, в которые можно раскрасить модель так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета) [5, с. 74]. Хроматическое число бутылки Клейна равно шести. Это означает, что на данной поверхности можно так расположить 6 областей разных цветов, чтобы 5 областей имели общие границы с шестой областью.

4. Бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием [6, с. 208]. Она, в отличие от листа Мёбиуса, является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

5. Она не может быть вложена в трёхмерное евклидово пространство Е₃ (только погружена), но вкладывается в Е₄.

6. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием по краю двух лент Мёбиуса. Но в обычном трехмерном евклидовом пространстве Е₃ сделать это невозможно, не создав самопересечения.

Выполняя опыты, мы наблюдали затем, что происходит с бутылкой Клейна и делали правильные предположения. В то время как изначально наши предположения могли быть неверными. Значит, именно проведенные нами опыты делают свойства построенной поверхности более доступными для понимания.

В результате проведенных опытов, мы убедились, что действительно бутылка Клейна не может существовать в трехмерном пространстве, а лишь в четырехмерном. В наше время её можно встретить в магазинах, в рекламе, а также в шоу фокусников (иллюзионист, забравшись в бутылку, остается на половину погруженным в нее) [4, с. 28]. Изготовить бутылку Клейна из стекла достаточно сложно, поэтому она имеет высокую стоимость и применяется крайне редко.

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. инс-ов. Ч-2. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 507 с.

3. Марушина Т.Д. Разрезание лент // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/07/7567 (дата обращения: 09.08.2014).

4. Пономарева Е.И., Первушкина Е.А. Развитие креативности школьников при обучение математике в 5-6 классах с использованием интерактивных геометрических средств // Перспективы науки. – 2011. – № 16. – С. 27-34.

6. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: МИРОС.КПЦ «Марта», 1992. – 208 с.

Источник

Эксперименты с бутылкой Клейна

Дата публикации: 25.11.2014 2014-11-25

Статья просмотрена: 3663 раза

Библиографическое описание:

Первушкина, Е. А. Эксперименты с бутылкой Клейна / Е. А. Первушкина, Т. Д. Марушина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2014. — № 21.1 (80.1). — С. 244-246. — URL: https://moluch.ru/archive/80/13829/ (дата обращения: 24.12.2021).

В данной статье представлены опыты с бутылкой Клейна. Поставлена проблема и решена экспериментально, прогнозирования экспериментов с разрезанием модели бутылки Клейна. Были выявлены ее свойства.

Ключевые слова: бутылка Клейна, лист Мебиуса, трехмерное пространство, топологическая поверхность.

Abstract. The article presents a series of experiments with the Klein bottle. Solves the problem of forecasting the result of the experiment with cutting the Klein bottle. We have also identified its properties.

Keywords: The Klein bottle, the Möbius strip, a three-dimensional space, topological surface.

Бутылка Клейна была описана немецким ученым Ф. Клейном в 1882 году.

С бутылкой Клейна знакомятся в высших учебных заведениях в курсе геометрии. Эта модель интересна тем, что ее свойства нельзя увидеть без проведения опытов, так как она не может существовать в нашем трехмерном пространстве. Модели, которые мы видим в магазинах, как сувенир имеют отдаленное представление о бутылки Клейна. Интересна возможность выявления свойств бутылки Клейна с помощью экспериментов.

Рис.1. Бутылка Клейна

Бутылка Клейна – это неориентируемая определённая поверхность [1, с. 352]. Она частично связана с лентой Мёбиуса (прямоугольная лента, полученная склеиванием противоположных сторон с поворотом на 180 градусов [3]) и проективной плоскостью.

Изготовление бутылки Клейна

А

Рис. 2. Изготовление бутылки Клейна

Сложите квадрат пополам и соедините его стороны, обозначенные пунктиром на рис.1 а). Сделайте прорезь на обращенной к вам половине квадрата, перпендикулярно склеенным сторонам рис.1 б). Между верхним краем и прорезью трубки должно быть расстояние равное четверти стороны квадрата. Перегнув модель пополам вдоль прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь, верхнее и нижнее основания трубки склейте друг с другом в соответствии со стрелками рис.1 в).

Видим, что склеить бутылку Клейна довольно сложно. Из прозрачного материала эта модель будет более наглядной. Далее проведем ряд экспериментов с бутылкой Клейна, описанных в таблице 1.

Вначале будут сделаны предположения, какой будет результат, затем проводится проверка высказанных нами предположений.

Разрезание бутылки Клейна

Высказанное предположение подтвердилось.

Высказанное предположение подтвердилось.

В результате мы получили два листа Мебиуса и цилиндр.

1. Склеили Бутылку Клейна и выполнили разрез посередине. Перед этим было высказано предположение, что результатом будет два листа Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

2. Склеили бутылку Клейна, выполнили разрез по краю. Перед этим было высказано предположение, что получиться лист Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

3. Склеили модель, выполнили два разреза по краям. Перед этим было высказано предположение, что результатом станет три листа Мебиуса. Высказанное предположение не подтвердилось. В результате были получены 2 листа Мебиуса и цилиндр.

Из проведенных нами опытов можно выделить следующие свойства бутылки Клейна:

2. Число Бетти – это число разрезов, которые можно провести так, чтобы поверхность не распалась на два отдельных куска [2, с. 507]. Так как бутылка Клейна не имеет краев (то есть поверхность замкнутая), то каждый разрез должен иметь форму какой-нибудь простой замкнутой кривой, поэтому число Бетти для нашей модели равно 2.

3. Хроматическое число (минимальное число цветов, в которые можно раскрасить модель так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета) [5, с. 74]. Хроматическое число бутылки Клейна равно шести. Это означает, что на данной поверхности можно так расположить 6 областей разных цветов, чтобы 5 областей имели общие границы с шестой областью.

4. Бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием [6, с. 208]. Она, в отличие от листа Мёбиуса, является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

5. Она не может быть вложена в трёхмерное евклидово пространство Е₃ (только погружена), но вкладывается в Е₄.

6. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием по краю двух лент Мёбиуса. Но в обычном трехмерном евклидовом пространстве Е₃ сделать это невозможно, не создав самопересечения.

Выполняя опыты, мы наблюдали затем, что происходит с бутылкой Клейна и делали правильные предположения. В то время как изначально наши предположения могли быть неверными. Значит, именно проведенные нами опыты делают свойства построенной поверхности более доступными для понимания.

В результате проведенных опытов, мы убедились, что действительно бутылка Клейна не может существовать в трехмерном пространстве, а лишь в четырехмерном. В наше время её можно встретить в магазинах, в рекламе, а также в шоу фокусников (иллюзионист, забравшись в бутылку, остается на половину погруженным в нее) [4, с. 28]. Изготовить бутылку Клейна из стекла достаточно сложно, поэтому она имеет высокую стоимость и применяется крайне редко.

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. инс-ов. Ч-2. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 507 с.

3. Марушина Т.Д. Разрезание лент // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/07/7567 (дата обращения: 09.08.2014).

4. Пономарева Е.И., Первушкина Е.А. Развитие креативности школьников при обучение математике в 5-6 классах с использованием интерактивных геометрических средств // Перспективы науки. – 2011. – № 16. – С. 27-34.

6. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: МИРОС.КПЦ «Марта», 1992. – 208 с.

Источник