Для чего нужна передаточная функция

Передаточная функция

Вы будете перенаправлены на Автор24

Свойства передаточных функций

Передаточная функция – это способ математического описания динамической системы.

Передаточная функция в основном используется в цифровой обработке сигналов, а также в теории управления. Она представляет собой дифференциальный оператор, который выражает связь между выходом и входом линейной стационарной системы. Если известны передаточная функция и входной сигнал системы, то можно восстановить выходной сигнал. В теории управления передаточная функция непрерывной системы является отношением преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое связывает между собой функцию комплексного переменного с функцией вещественного переменного.

Передаточная функция какой-либо системы определяет все ее динамические свойства, таким образом первоочередная задача расчета системы управления сводится к определению ее передаточной функции. К основным свойствам передаточных функций относятся:

Передаточная функция электрической цепи. Пример решения задач

Передаточная функция линейной электрической цепи представляет собой отношение электрической выходной величины к входному воздействию, которые выражены в операторной форме и рассматриваются при нулевых начальных условиях, таким образом выражение передаточной функции выглядит следующим образом:

Готовые работы на аналогичную тему

Различают следующие основные виды передаточных функций для электрических цепей:

Общий вид передаточной функции по напряжению, которая очень часто используется для анализа электрических цепей частотными методами, следующий:

Рассмотрим схему электрической цепи, которая представлена на рисунке ниже:

Рисунок 1. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В комплексном виде передаточная функция для нее будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В вышеприведенном выражении модуль:

Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже

Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Необходимо определить коэффициент передачи по напряжению, а также амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики для вышеприведенной цепи. Для нее формула для расчета коэффициента передачи по напряжению будет иметь следующий вид:

Выражение комплексной функции U2(jw) будет иметь следующий вид:

$U2 = I(jw)*(1/jwC)=U1(jw) / (R+(1/jwC)) * 1/jwC = U1(jw) / (1+(jwRC)$

Если мы подставим формулу для U2 в выражение для Hu(jw), то получим комплексную передаточную функцию следующего вида:

Таким образом амплитудно-частотную характеристику рассматриваемой цепи можно выразить:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле:

Если изменять частоту (w) от 0 до определенного значения, можно изобразить графики фазо-частотной и амплитудно-частотной характеристик.

Рисунок 5. Графики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики могут быть представлены единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. В данном случае конец вектора передаточной функции будет описывать кривую, называемую годографом комплексной передаточной функции.

Рисунок 6. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В некоторых случаях оперируют таким понятием, как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 10 2021

Источник

Передаточная функция

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(р) к изображению входного X(р) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из формулы (2.6) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции.При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных обьектов управления. В частности, использование моделей инерционных звеньев первого или второго порядка с запаздыванием для расчета настроек регуляторов обеспечивает в большинстве случаев качественную работу реальной системы управления. В зависимости от вида переходной характеристики (кривой разгона) задаются чаще всего одним из трех видов передаточной функции обьекта управления:

Источник

Зачем нужна передаточная функция

она описывает свойства системы управления или её отдельного элемента

ФЧХ важна чуть меньше, но. Если сигнал с выхода подмешивается ко входу со знаком минус (обратная связь), и фаза вдруг стала 180 градусов, то вместо отрицательной связи получается положительная. И если по амплитуде сигнал не сильно ослабился, то привет. Получишь автоколебания, да еще и с увеличивающимся размахом, т.е. схема уже не работает.

Или же просто разные частоты будут по-разному задерживаться, из-за этого первый трансатлантический кабель не робил: говорим одно, а звуки разных частот приходят совсем не в то время. Когда добавили схему, которая работает прямо как кабель, только в обратную сторону (т.е. выпрямляет фазу), то сразу же все наладилось.

Это верно и для механических (гидравлических/акустических/. ) систем, и в ТАУ часто дают примеры на вымышленную авиатехнику. Которая легкая и мощная, значит, колебания давятся плохо. И, если из-за такого фазоразворота получился резонанс, то здрассьте, самолету каюк. В реальности такое кучу раз происходило, например, в виде флаттера или шиммии.

Ну и для звукарей АЧХ объект поклонения. Чем ровнее, тем лучше.

Сверни ее с входным сигналом — получишь выходной.

На мой взгляд, ТАУ лучше всего понимается на прикладном примере ПИД-контроллера. Передаточная функция просто один из показателей.

Пример задачи, может, сумбурный, но суть именно в ПИД-контроллере. Я совсем не в курсе матчасти ТАУ, просто одно время пришлось немного с этим столкнуться, и понять, что университетский курс совсем не отложился в голове.

а как-то видел на ютубе, где показывали стойкость стойкость системы на приборе который похож на маятник, но мне больше всего непонятно как взять передат. ф-цию из системы (мат. часть), в институте были уже готовый ф-ции, для который мы делали анализ в matlab simulink

Проще всего зайти со стороны электричества. Почти всегда сигнал — напряжение, так что, зная напряжение на выходе, ты можешь поделить на напругу на входе, и получить передаточную функцию. Как считать?

Есть три главных элемента — резистор, конденсатор и катушка (индуктивности).

Если подключить резистор к напряжению (для простоты — переменному), то через него потечет ток, i = U/R. Если конденсатор, то i= U * (j * w * C), т.е. «сопротивление» конденсатора 1/(jwC). Если это катушка, то i = U / (jwL), и ее сопротивление — jwL.

Обычные схемы резисторов считать доводилось? Там последовательное соединение дает R = R1 + R2, параллельное — R1 * R2 / (R1+R2). Потом можно переходить к следующему звену, и еще одному, и так далее. Точно по тем же правилам считаются конденсаторы-катушки, только вместо R1 R2 добавляй эти jwL (1/[jwC]). Можно еще по правилам Кирхоффа считать токи-напряжения.

Если хочется это на практике проверить — возьми делитель напряжения, и посчитай его. Потом замени один резистор конденсатором, будет тебе передаточная функция.

В итоге получается, что ты можешь найти напряжение в выходной точке, выраженное через входную напругу и параметры резисторов-конденсаторов, а это и есть передаточная функция.

Другой вопрос: тебе про обратную связь втирают, и усилители, где они? Правильно, в электросхему можно добавить операционный усилитель. Как их считать — отдельная тема, но в общих чертах тоже несложно, можешь глянуть расчеты инвертирующего и неинвертирующего усилителей, и заменить там резистор-другой на конденсатор.

Откуда взять такую схему для самолета? А оказывается, что по, большому счету, конденсатор интегрирует сигнал (т.е. накапливает, например, бочка — интегратор воды), а катушка — дифференцирует (здесь сложнее с примером, но тоже можно подогнать, если нужно), а резистор — рассеивает (дырка в шланге, или узкий проход с потерями на трение).

И много чего можно свести к этим трем звеньям. Если добавить усиление (оно же тоже бывает «живым», тот же усилитель руля), то почти все. Эта штуковина называется «динамическими аналогиями», когда схема сводится к электрической.

Как считать именно самолет? Не знаю :), разбираться надо, да не так уж и важно — все равно все уже давно посчитано и в CAD-ы зафигачено.

Ну вот смотри. есть у тебя исполнительный механизм. Ну, например, рычаг.

Передаточная функция позволяет по по этому воздействию определить как будет двигаться другой конец рычага (выход).

В случае с рычагом все в общем-то очевидно, а если у тебя система имеет пару сотен входов-выходов, то все веселее.

В классическом подходе система разбивается на простейшие звенья с хорошо известными передаточными функциями (усиливающее, интегрирующее, дифференцирующее и т.д. звенья). Как уж это делается вобще отдельная задача. Для элементов автоматики (двигатели, редукторы, усилители) передаточные функции известны. Для каких-то простейших объектов воздействия, например, тележка с перевёрнутым маятником, передаточная функиця определяется по законам механики, лианеризируя уравненяи вблизи интересующей точки. Для сложных объектов может быть применён метод «чёрного ящика», когда смотрят на рекцию выхода под воздействием входа, выбирают более-менее подходящее звено (звенья) и подгоняют их параметры.

Источник

Передаточная функция

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Содержание

Линейные стационарные системы

Пусть — входной сигнал линейной стационарной системы, а — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

, .

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть — входной дискретный сигнал такой системы, а — её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и — z-преобразования для сигналов и соответственно:

, .

Связь с другими динамическими характеристиками

Свойства передаточной функции

1. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной ():

.

2. Знаменатель передаточной функции — это характеристический полином системы. Полюсы передаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома.

3. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции не может превышать порядка её знаменателя .

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы до вектора выхода — это матрица , элемент -й строки -го столбца представляет собой передаточную функцию системы от -й координаты вектора входа системы до -й координаты вектора выхода.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Передаточная функция» в других словарях:

передаточная функция — передаточная функция: Отношение ускорений, измеренных на ладони и в контрольной точке на поверхности перчатки. Примечание Значение передаточной функции свыше единицы говорит об усилении вибрации перчатками. Если это значение меньше единицы,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

передаточная функция — Отношение выходной величины электрической цепи к входной величине, выраженных в комплексной или операторной форме. [ГОСТ Р 52002 2003] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы передаточная функция электрической цепи … Справочник технического переводчика

Передаточная функция — линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования) отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными. П. ф. системы определяется только её статическими и… … Энциклопедия техники

передаточная функция — Рис. передаточная функция линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования) — отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными. Наиболее часто… … Энциклопедия «Авиация»

передаточная функция — Рис. передаточная функция линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования) — отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными. Наиболее часто… … Энциклопедия «Авиация»

передаточная функция — perdavimo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. transfer function vok. Übertragungsfunktion, f rus. передаточная функция, f pranc. fonction de transfert, f … Automatikos terminų žodynas

передаточная функция — perdavimo funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transfer function vok. Übertragungsfunktion, f rus. передаточная функция, f pranc. fonction de transfert, f … Fizikos terminų žodynas

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ — линейной стационарной системы управления (системы автоматич. регулирования) Лапласа преобразование отклика системы на воздействие единичной импульсной функции (дельта функции) 6 (г) при нулевых условиях в момент t=0 (сам этот отклик наз. функцией … Математическая энциклопедия

передаточная функция — Отношение преобразований по Лапласу аналитической зависимости от времени выходной координаты линейного объекта к также преобразованной по времени входной координате, полученное при нулевом начальном состоянии … Политехнический терминологический толковый словарь

передаточная функция электроакустического преобразователя — передаточная функция преобразователя Отношение сигнала на выходе электроакустического преобразователя, нагруженного на определенную нагрузку, к сигналу на его входе. Примечание Сигналы взяты в форме преобразований Лапласа и Фурье. [ГОСТ 23829 85] … Справочник технического переводчика

Источник

Лекция 4. Передаточные функции

Определение передаточной функции

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Например, операторное уравнение

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

.

Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

(4.1)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

,

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (4.1) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

Примеры типовых звеньев

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями.

В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 4.1).

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безинерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

; W(s) =

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (см. рисунок 4.2):

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

W(s) = .

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 4.2):

Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

; W(s) = K*s

Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид

W(s) = .

Переходная характеристика: .

Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.

Источник