Для чего нужна призма
Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения призмы. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение призмы
Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.
На рисунке ниже представлен один из самых распространенных видов призмы – четырехугольная прямая (или параллелепипед). Другие разновидности фигуры рассмотрены в последнем разделе данной публикации.
Элементы призмы
Развёртка призмы – разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего, одного из оснований). В качестве примера – для прямоугольной прямой призмы:
Примечание: свойства призмы представлены в отдельной публикации.
Варианты сечения призмы
Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.
Виды призм
Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.
Оптические призмы
Оптические призмы являются одним из основных элементов при создании оптических систем и оптических приборов. Призмы широко используются в оптических приборах различного назначения, таких как наблюдательные оптические приборы (телескопы, бинокли, микроскопы и другие), оптические приборы для регистрации изображений на электронных приёмниках, сложные многофункциональные оптические приборы. Причём, чем сложнее оптический прибор, тем большее количество и номенклатура оптических призм может в нём использоваться. Например, большое число сложных оптических призм используется в таких оптических приборах как спектральные оптические приборы, интерферометры, поляриметры и другие.
Оптические призмы в зависимости от их оптической конструкции функционально позволяют:
Следует отметить, что действие оптической призмы подобно зеркалу. однако в ряде случаев использовать оптические призмы удобнее, чем зеркала. Отметим некоторые преимущества призм перед зеркалами:
Вместе с тем, встречаются оптические системы и оптические приборы, в которых замена оптических призм на зеркала целесообразна. Важнейшими факторами являются вес прибора (зеркала значительно легче призм), а также стоимость. Кроме того призмы в ряде случаев являются источниками хроматических и некоторых других аберраций.
Сечение призмы плоскостью, в которой проходит осевой луч пучка, называется главным сечением призмы; у плоских призм одно главное сечение, у пространственных главных сечений столько, сколько плоскостей, в которых проходит осевой луч.
Отражательные призмы. Основными характеристиками работы отражательных призм являются угол отклонения и смещение светового пучка, а также оборачивание изображения. Углом отклонения называется угол между направлениями осевого луча до и после призмы, причем, промежуточные отклонения луча внутри призмы во внимание не принимаются.
 |
| Рис.1 Примеры отражательных призм с одним и двумя отражениями |
 |
| Рис.2 Примеры призм с крышей |
Плоские призмы с четным числом отражающих граней дают прямое изображение. При наклоне такой призмы в главной плоскости выходящий пучок лучей не отклоняется. Плоские призмы с нечетным числом отражающих граней дают зеркальное изображение предмета. При наклоне их в плоскости главного сечения лучи отклоняются на двойной угол.
Отражательные призмы развертываются в плоскопараллельную пластинку. Развертка призмы выполняется путем постепенного перевертывания контура главного сечения призмы вокруг отражающих граней по ходу луча в призме. Длина развертки призмы равна геометрической длине хода пучка в призме (рис. 3)
 |
| Рис.3 Пример построения развертки призмы |
Если призма не развертывается в плоскопараллельную пластинку, то она действует как клин с большим преломляющим углом и вызывает хроматизм и искажение изображения. Такие призмы применяются с дополнительным (компенсирующим) клином.
 |
| Рис.4 Пример составных призм |
 |
| Рис.5 Примеры пространственных призменных систем |
 |
| Рис.6 Примеры светоделительных призм |
Спектральные призмы. Спектральной призмой называется многогранник, сделанный из прозрачного вещества, обладающего значительной дисперсией (dn/d l ). Угол выхода лучей из призмы зависит от длины волны излучения. Прохождение луча через призму связано с преломлением, зависящим от материала. Для изготовления хороших спектральных призм должен использоваться материал, прозрачный с исследуемой области спектра, обладающий большой дисперсией, высокой оптической однородностью и изотропностью, быть сравнительно недорогим и хорошо обрабатываться. Материал для поляризационных призм, напротив, должен быть анизотропным.
Для ультрафиолетовой части спектра часто используется природный кристаллический кварц, хотя он обладает двойным лучепреломлением, вращает плоскость поляризации, достаточно дорог и недоступен в виде больших кусков достаточной однородности и прозрачности. Получаемый искусственным выращиванием кварц достаточно однороден и свободен от двойного лучепреломления. Однако для видимой области кварцевые призмы малопригодны.
Для видимой области основным материалом для изготовления спектральных призм служит стекло. Как правило, спектральные призмы делают из тяжелых стекол типа флинт, обладающих большой дисперсией. Для большинства сортов тяжелых стекол большая дисперсия сопровождается значительным поглощением в коротковолновой части видимого спектра.
Поверхности призм из тяжелых флинтов подвержены воздействию химически агрессивной атмосфере. Заметные разрушения поверхности наблюдаются в призмах приборов, установленных в химических лабораториях, где в атмосфере присутствуют пары кислот.
Для призм с размерами более 100 мм трудно изготовить достаточно однородное стекло. Хорошие кристаллы кварца больших размеров встречаются также чрезвычайно редко. Эти обстоятельства ограничивают размеры призм в промышленных приборах. Призмы большого размера изготовлены в единичных лабораторных экземплярах.
Основные свойства призмы проще всего проследить на простейшей спектральной призме, форма которой показана на рис.7
 |
| Рис.7 Пример спектральной призмы |
Двугранный угол с ребром АВ называется преломляющим. Плоскости ABCD и ABC’D’ называются преломляющими гранями призмы. Плоскость, перпендикулярная ребру призмы и проходящая через его середину, называется плоскостью главного сечения.
Что такое призма — определение и разновидности призм
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы расскажем о такой интересной геометрической фигуре, как ПРИЗМА.
Школьники сталкиваются с ней на уроках геометрии только в 10 классе. Соответственно, те, кто решил уйти после 9-го класса в колледж, этих знаний лишены. И мы восполним этот пробел.
А старшеклассникам наша статья (очень на это надеемся) поможет при подготовке к сдаче ЕГЭ. На экзаменах по математике попадаются несколько вопросов, связанных с ПРИЗМАМИ.
Призма – это геометрическая фигура, которая представляет собой объемный многогранник. Две его стороны лежат на параллельных основаниях и представляют собой различные многоугольники. А боковые грани – это параллелограммы, которые соединяются с основаниями.
Выглядит классическая призма так, как показано на рисунке выше.
На этом рисунке четко видны все элементы призмы:
В зависимости от вида основания призмы бывают:
Разнообразие призм можно считать бесконечным. Могут быть фигуры, у которых в основании и 10-угольник, и 20-угольник, и даже 100-угольник. Но, к счастью, такие фигуры попадаются крайне редко. И их точно не изучают в школе.
История изучения призмы
О существовании призм знали еще в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Об этом свидетельствуют различные археологические находки, прежде всего, остатки зданий и памятников.
Но научное описание призм – это заслуга древнегреческих математиков. В первую очередь, Аристотеля. Он даже целое направление науки придумал – стереометрией. В переводе с греческого это означает измерение пространства («метрио» — измерение, «стереос» — пространство).
И в рамках этой науки Аристотель занимался изучением призм, кубов, параллелепипедов и других объемных геометрических фигур.
Естественно, не обошел своим вниманием призмы и знаменитый древнегреческий математик и ученый – Евклид. В своих трудах он дает следующее описание:
Призма – это телесная (то есть пространственная) фигура, которая заключена между несколькими плоскостями. Две из них параллельны друг другу, равны и противоположны. А другие в любом количестве представляют собой параллелограммы.
Элементы призмы
Рассмотрим для примера такую вот призму.
Она пятиугольная и состоит из следующих элементов:
Подобные элементы есть у каждой призмы, независимо от ее вида.
Разновидности призм
Все призмы можно поделить на три категории:
Вместо заключения
Слово ПРИЗМА используется не только в геометрии, хотя именно это значение считается главным. И именно оно первым записано во многих словарях. Но есть и другие варианты:
А еще «Призма» — это кодовое название советской радиостанции 5-АК. Есть такой хоккейный клуб в Латвии – «Призма-Рига». И наконец, в Финляндии существует сеть продуктовых магазинов «PRISMA».
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (2)
Спасибо! Хорошая статья.
Бедные дети, зачем им забивают голову всякими геометрическими призмами? Вообще, если провести опрос среди взрослых, понадобилось ли кому-нибудь это знание, уверен, мы не услышим ни одного положительного ответа.
Призма. Виды призмы
Если вы уже знакомы с призмой, и хотите для себя просто что-то уточнить, то вам вполне может хватить таблицы, что дана в конце статьи.
Мы же поведем подробный разговор.
Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников 
и 
, лежащих в параллельных плоскостях, и 
параллелограммов 
.
Боковые грани – все грани, кроме оснований ( являются параллелограммами ).
Боковые ребра – общие стороны боковых граней ( параллельны между собой и равны ).
Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости.
Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.
Различают призмы прямые (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) и наклонные (не прямые).
Среди прямых призм выделяют правильные.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).
Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Среди параллелепипедов выделяют наклонные, прямые и прямоугольные параллелепипеды.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники (или прямой параллелепипед с прямоугольником в основании).
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб.
Куб – прямоугольный параллелепипед, все грани которого – квадраты.
Далее – обещанная таблица, в которой собраны все основные виды призмы, с которыми приходится встречаться на ЕГЭ по математике.
Смотрите также «Объем призмы. Площадь поверхности призмы».
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Содержание:
Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные 
Что такое призма
Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.
Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная.
Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально.
Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники.
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты 
и 
призмы 
. У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.
Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы.
Теорема 1.
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра:
Доказательство:
Пусть имеется 
-угольная призма 
. Пересечем ее плоскостью 
, перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение 
, стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности 
получим:
При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма 
выражает периметр 
перпендикулярного сечения призмы, а множитель 
— длину 
бокового ребра.
Следствие 1.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.
Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой.
Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом.
У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани.
12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7).
Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11).
Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу.
Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем.
За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта.
Для объема тела выполняются его основные свойства:
При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса.
Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот.
Вы знаете, что объем 
прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений 
, 
, 
(рис. 16): 
.
Учитывая, что в формуле 
произведение 
выражает площадь 
основания прямоугольного параллелепипеда, а число 
— его высоту 
, получим, что объем 
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: 
.
Теорема 2.
Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:
Доказательство:
Пусть имеется произвольный параллелепипед 
(рис. 17). Через ребро 
проведем плоскость, перпендикулярную ребру 
, она отсечет от параллелепипеда треугольную призму 
(рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка 
получим призму 
. Параллелепипед 
равновелик с данным параллелепипедом 
. Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.
У параллелепипеда 
его боковые грани 
и 
перпендикулярны плоскости основания. К граням 
и 
, которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед 
(рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.
Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням 
и 
прямого параллелепипеда 
, получим прямоугольный параллелепипед 
(рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.
Множитель 
есть площадь основания параллелепипеда 
, а множитель 
выражает его высоту, так как 
есть перпендикуляр, возведенный из точки 
основания 
к другому основанию 
. Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.
Теорема 3.
Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты:
Доказательство:
Рассмотрим сначала треугольную призму 
(рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда 
(рис. 22). Точка 
пересечения диагоналей диагонального сечения 
этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма 
симметрична данной призме 
относительно центра , а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда 
равен удвоенному объему данной призмы.
Объем параллелепипеда 
равен произведению площади его основания 
и высоты. Но площадь его основания 
равна удвоенной площади основания 
данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.
Отсюда следует, что объем призмы 
равен площади ее основания 
и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму 
(рис. 23).
Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим:
Следствие 2.
Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра.
Призма и её сечения
С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства.
Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники.
Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b).
Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.
Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как 
число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно .
В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет 
диагоналей.
Пример:
В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
Решение:
Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В2В1 до плоскости грани 
равно высоте BD треугольника ABC.
Тогда по формуле Герона получаем:
,
.
С другой стороны, 
.
Отсюда 
или 
см.
Ответ: 4,2 см.
Параллелепипед и куб
Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b). 
Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями.
Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).
Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями.
Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32):
.
Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно.
Площади боковой и полной поверхности призмы
На рисунке 33 проведены высоты НН1 DD1 призмы
АВСDЕ—А1В1С1D1Е1. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру. 
Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований. 
Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту: 
Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна 
, а периметр основания 
(рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.
Тогда 
Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро:
Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно 
.
Тогда по доказанной выше теореме:
Объем призмы
Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма.
Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств. 
Объём параллелепипеда
Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): 
.
Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): 
.
Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): 
.
Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство. 
Нахождение объёма призмы
Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): 
.
Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h.
Следовательно 
или 
Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм:
или 
Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту:
По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b).
Пример:
Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S.
Решение:
Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54).
Тогда по условию задачи:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.