Для чего нужно складывать дроби
Обыкновенные дроби
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Доля целого
Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Понятие дроби
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
Виды дробей:
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
Сложение дробей: теория и практика
Понятие дроби
Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.
Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!
Как плюсовать дроби
Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.
Свойства сложения
Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.
Сложение дробей с разными знаменателями
Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:
1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.
Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа записываем справа сверху над числителем.
3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
4. Проверим полученный результат:
Еще раз ход решения одной строкой:
Сложение смешанных чисел
Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
1. Сложить целые части.
2. Сложить дробные части.
Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.
3. Суммируем полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.
Сложение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
Одним из действий с обыкновенными дробями является сложение. В этой статье мы разберемся, как осуществляется сложение обыкновенных дробей. Сначала рассмотрим сложение дробей с одинаковыми знаменателями, после этого изучим сложение дробей с разными знаменателями и подробно разберем решения примеров. Дальше остановимся на сложении обыкновенной дроби и натурального числа. Наконец, поговорим о сложении трех, четырех и большего количества обыкновенных дробей.
Навигация по странице.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.
Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.
Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.
Осталось рассмотреть примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Кратко решение записывается так: 
.
.
Если сложение дробей дает сократимую дробь (смотрите сократимые и несократимые дроби), то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), то нужно выделить из нее целую часть.
Применив правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем 
.
Очевидно, полученная дробь сократима, так как числитель и знаменатель делятся на 2 (при необходимости смотрите признак делимости на 2). Выполним сокращение дроби: 
.
Приведем краткую запись всего решения: 
.
Проведем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 
.
.
Сложение дробей с разными знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.
Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.
Запишем все решение кратко: 
.
.
Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.
Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: 
.
На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: 
.
.
Сложение обыкновенной дроби и натурального числа
Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, 
.
Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: 
. Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.
Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей
Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.
Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично сложению трех большего количества натуральных чисел.
.
Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.
Вычислите сумму 
.
.
Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.
Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.
.
.
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Мы уже умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь рассмотрим сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо:
1) привести данные дроби к общему знаменателю;
2) применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример:
Сравним дроби 
.
Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю 10, получим:
Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо:
1) привести данные дроби к общему знаменателю;
2) применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Примеры:
1) Найдем сумму 
.
Наименьший общий знаменатель дробей 
равен 15. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 15. Этой заменой мы сложение дробей с разными знаменателями сведем к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, получим:
2) Найдем разность 
.
Наименьший общий знаменатель дробей 
равен 35. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 35. Этой заменой мы вычитание дробей с разными знаменателями сведем к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, получим:
Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства сложения:
1) Переместительное свойство: 
2) Сочетательное свойство: 
Сложение и вычитание смешанных чисел
Чтобы выполнить сложение смешанных чисел, нужно:
1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
Пример:
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, нужно:
1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;
2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
Пример:
Обычно, примеры такого вида, как пример 2, записывают коротко: 
Обратите внимание: если в результате сложения или вычитания дробей получается сократимая дробь, то нужно выполнить сокращение.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Сложение дробей
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить их числители и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.
Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить, то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.
Сложение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем, поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:
Сложение дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вначале надо привести их к общему знаменателю, а далее складывать как дроби с общим знаменателем.
Решение. Так как дроби с разными знаменателями, то вначале приведем их к наименьшему общему знаменателю. Для этого найдем НОК чисел 3 и 8:
Дополнительные множители к каждой из дробей соответственно:
Замечание. После первого знака равенства справа вверху у каждой дроби указан дополнительный множитель к ней.
Сложение смешанных дробей
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно найти сумму целых частей и отдельно сумму дробных частей.
Задание. Вычислить сумму дробей 3$\frac<2><5>$ и 4$\frac<7><10>$
Решение. В данном случае складываем отдельно целые и дробные части:
Так как знаменатели дробных частей разные, то приводим дроби к общему знаменателю, который равен 10, так как НОК знаменателей 5 и 10. Соответственно дополнительные множители, как частные общего знаменателя и знаменателей дробей, равны 2 и 1:
Так как дробная часть представляет собой неправильную дробь, то выделяем целую часть: