Для чего нужны эпюры изгибающих моментов

iSopromat.ru

Построение эпюр

Примеры решения задач на построение эпюр в сопротивлении материалов, строительной и технической механике со всеми расчетами, подробными пояснениями и видеоуроками.

Здесь рассмотрены примеры и порядок расчета значений внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений и построения по ним эпюр для всех видов нагружения балок, стержней и валов.

Примеры построения эпюр

При растяжении-сжатии

Примеры построения эпюр внутренних продольных сил, нормальных напряжений и линейных перемещений для стержней при их растяжении и сжатии.

При кручении

Примеры построения эпюр внутренних крутящих моментов и угловых перемещений сечений вала при кручении.

Построение эпюр при изгибе

Примеры построения эпюр внутренних поперечных сил и изгибающих моментов, нормальных и касательных напряжений для балок и рам при изгибе.

Эпюры внутренних силовых факторов

Эпюры напряжений

Наш плейлист с видеоуроками построения эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений для балки:

Порядок построения эпюр

В рассмотренных выше примерах для построения эпюр выполняется следующая последовательность действий:

После построения эпюр желательно выполнять их проверку.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Методика построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил

1. Виды опорных закреплений

С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При решении задач сопромата, все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижнаяопора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.1,в).

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил N z

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Пример 1.Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Пример 2.Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Q y и изгибающих моментов M x в балках

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3.Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Qy.

3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

7. Балки на двух опорах

В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.

Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

Пример 4. Построить эпюры Qy, Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.5).

1. Вычисляем реакции опор.

2. Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

8. Правила контроля эпюр Q у и M x

Дифференциальные зависимости между q, Qy, Mx определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Qy и Mx.

Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.

Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Qy пересекает ось (Qy=0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.

На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy>0 эпюра Mx возрастает слева направо; при Qy

Источник

Построение эпюр при изгибе для балки — экспресс курс для чайников

Привет! Вы находитесь на сайте – sopromats.ru, проекте о сопромате и не только! Это новая статья из серии – «сопромат для чайников», в которой я расскажу о построении эпюр при изгибе для балки. Как обычно, буду писать просто и по делу. Здесь я не буду спамить специфическими фразами из сопромата и рассматривать сложные примеры. Будем учиться на простейшей балке. Ну что же давайте начнем учиться!

Сколько можно нарисовать эпюр при изгибе для балок?

Для простого изгиба, который будем рассматривать в этой статье, можно нарисовать всего две эпюры. Одна именуется как эпюра поперечных сил, другая зовется эпюрой изгибающих моментов. Одна показывает распределение внутренних сил внутри элемента, работающего на изгиб, другая моментов. Если хотите, можете изучить больше информации по этим силовым факторам в следующих материалах:

Если Вам лень читать эти статьи, то ничего. Это нормально 🙂 Просто хотел пропиарить немного эти материалы, не зря же я их писал…В этой статье, для чайников, мы, итак, научимся строить эти эпюры, но только одним методом.

Подготовительные работы

Для того, чтобы построить эпюры, первым делом вычертите расчетную схему, с указанием всех нагрузок и размеров:

После этого нужно определить реакции опор. Без них дальше никуда. Если Вы не умеет этого делать, обязательно прочтите этот урок про расчет реакций опор для чайников. Здесь же сразу приведу результат вычислений:

Расчет и построение эпюр

Для расчета эпюр сначала нужно наметить участки, на которых эпюра будет либо постоянна, либо меняться по одному закону. Опознать эти участки достаточно просто. Границами участков служат те места, где прикладываются нагрузки (сосредоточенные силы и моменты, в том числе реакции опор). Если на балку действует распределенная нагрузка, то границы – это ее начало и конец. В нашем случае, как видите, 2 участка, каждый по 2 метра:

Рассматриваем произвольное сечение первого участка, которое обзовем буквой – С. Оно будет находится на расстоянии z1 от левого торца балки. И относительного него будем записывать законы, по которым меняются поперечные силы и изгибающие моменты на этом участке:

Записываем уравнение для поперечной силы

Поперечная сила будет равняться сумме всех сосредоточенных сил, находящихся слева от сечения (или справа). Мы будем подсчитывать все, что находится слева, т.к. там меньше нагрузки. В уравнении поперечной силы, все внешние нагрузки нужно учитывать с учетом правила знаков: если сила, относительно рассматриваемого сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то в уравнение она пойдет с ПЛЮСОМ (и наоборот).

В рассматриваемом примере, реакция RA поворачивает ПО часовой стрелке, и уравнение получится такое:

Причем, как видно, эта зависимость справедлива для любого сечения на первом участке, тем самым поперечная сила в пределах этого участка постоянна и равна – 5 кН. Откладываем это значение на графике:

Эпюры заштриховываются перпендикулярно нулевой линии и на каждом участке проставляются знаки поперечной силы.

Записываем уравнение для изгибающего момента

Что касается изгибающего момента, то тут в уравнении нужно учесть сумму моментов, находящихся по одну сторону от сечения. Реакция RA, относительно сечения С создает момент RA·z1. Напомню, что момент – это сила, умноженная на плечо. Где плечо – это расстояние от силы до центра момента (в этом случае, центр – это рассматриваемое сечение). В уравнении моментов, все моменты нужно учитывать с учетом правила знаков: если момент силы, стремится растянуть нижние волокна, то в уравнении будем записывать его со знаком «+». И наоборот.

Придерживаясь этого правила, будем откладывать эпюры изгибающих моментов со стороны РАСТЯНУТЫХ волокон. Что практикуется у инженеров-строителей. У механиков, другие правила, они рисуют эти эпюры со стороны сжатых волокон. Кстати, что такое растянутое и сжатое волокно? Покажу на нашем же примере:

Как видно, сила RA, при повороте, стремится растянуть нижние волокна, поэтому в уравнение будем записывать момент этой силы со знаком плюс:

Анализируя это уравнение, видим, что изгибающий момент будет меняться по линейному закону и зависеть от координаты z1. И чтобы рассчитать и построить эпюру на этом участке достаточно подставить в уравнение координаты начала участка z1=0 и конца z1=2 м. После чего отложить эти точки на графике и соединить прямой линией:

Эпюры для второго участка балки

С учетом всех вышеописанных рекомендаций, я думаю Вы сами теперь сможете построить эпюры для второго участка. Подробно комментировать уже не буду, приведу сразу решение и окончательные эпюры для этой балки:

Сегодня мы рассмотрели урок по построению эпюр для простой балки. Однако, много нюансов по расчету и построению я не рассказал, т.к. все это уместить в одном уроке, довольно сложно и не всем это нужно, статья ведь для чайников! Если Вы хотите прокачать свой знания, в этих вопросах, обязательно прочитайте эти материалы о эпюрах. Здесь можно найти подробные статьи о поперечной силе, о изгибающем моменте. Где я рассказывал о 3-х методиках расчета, причем один из них, даже проще, чем мы рассматривали в данной статье. С помощью которого можно устно рисовать эти эпюры. Также там можно посмотреть, как учитывать моменты и распределенные нагрузки при расчете эпюр и какие особенности есть по построению при действии данных видов нагрузок.

Спасибо за внимание! Если Вам понравилась статья, да и сайт в целом, добавляйте его в свои закладки, чтобы иметь быстрый доступ к нему, а также подписывайтесь на наши соц. сети, делитесь этой статьей с друзьями и т.д. Буду благодарен 🙂

Источник

iSopromat.ru

Эпюрами внутренних поперечных сил и изгибающих моментов называют графическое представление распределения функций Q и M по длине балки при изгибе.

Эпюры строятся для визуального представления распределения внутренних силовых факторов и определения опасных (т.е. наиболее нагруженных) с точки зрения прочности участков бруса.

Рассмотрим некоторые примеры на построение эпюр в балках:

Эпюры при чистом изгибе

Для консольной балки:

имеем два силовых участка (AB и BC) и на каждом из них, применяя метод сечений, будем рассматривать, например правую от сечения часть, используя формулы и правило знаков для расчета внутренних силовых факторов.

Отсчет координаты z можно вести от единого начала координат или для каждого силового участка в отдельности.
I силовой участок (BC): 0 ≥ z₁ ≥ 2a (рис. 2 а,г)

т.е. Q(z₁)=0 на всем участке, а M(z₁)=m=const.
Ординаты эпюр Q и M со знаком плюс (+) будем откладывать вверх от нулевой (базовой) линии, при этом эпюру M будем строить на сжатых волокнах.

II силовой участок (AB): 2a ≥ z₂ ≥ 5a (рис. 2 а,д)

Откладывая на границах участков в сечениях C, B и A значения полученных ординат Q и M, строим эпюры (рис. 2 б, в).

Более нагруженным оказался участок AB, он и является опасным: M_max=|2m|.
Так как поперечные силы Q по всей длине балки равны нулю, балка испытывает чистый изгиб.

Эпюры при поперечном изгибе

Построение эпюр Q и M для балки, изображенной на рис. 3

проводим аналогично, но рассматривать будем левые от сечений части, т.к. в правые войдут реакции в заделке, что несколько усложняет вычисления.

I силовой участок (AB): 0 ≥ z₁ ≥ l₁ (рис. 4, а, г)
Q(z₁)= F=const, на всем участке постоянная величина,
M(z₁)=F×z₁, уравнение прямой, график строим по двум граничным точкам:
M(z₁=0)=F×0=0 – в сечении A;
M(z₁=l₁)=F× l₁ — в сечении B.

Опасным является сечение B, в котором действуют Q_max=F, M_max=Fl₁.

Геометрическая проверка эпюр

Геометрическая проверка правильности построения эпюр Q и M по дифференциальным зависимостям заключается в следующем:
Для всех силовых участков находим:

где α, β – углы наклона касательных к эпюрам Q и M относительно оси абсцисс (базовой линии).
На участке “AB” α₁=0 (линия эпюры Q горизонтальна), следовательно,

распределенная нагрузка отсутствует;

функция M (z₁) – возрастающая.

На участке “BC”:

Так как все дифференциальные проверки выполняются, эпюры построены верно.

Эпюры для двухопорных балок

Рассматривая расчетные схемы такого типа, как двухопорная балка (рис. 5),

необходимо вначале найти опорные реакции и только потом строить эпюры.

Обычно, рекомендуется использовать суммы моментов вокруг опорных точек, например: ∑M_A=0 и ∑M_B=0.

Записываем уравнения и находим значения реакций:

Чтобы убедиться в правильности полученных значений необходимо провести «арифметическую проверку» тождества по оставшемуся из зависимых уравнений: ∑F_Y=0 или ∑M_С=0.

Проверим через сумму сил, приложенных к балке (включая найденные опорные реакции). Она должна равняться нулю (при округлении значений, может появиться погрешность).

Для построения эпюр рассмотрим два силовых участка:

I участок (AC): 0 ≥ z₁ ≥2a (рис. 6, а, г)
Q(z₁)=R_A-qz₁ — прямая, которую строим по двум граничным точкам:

M(z₁)=R_Az₁-qz₁(z₁/2)= R_Az₁-qz₁ 2 /2 – парабола.

II силовой участок: 0 ≥ z₂ ≥ a.

следовательно, q=0.

функция M(z) – убывающая.
Все проверки выполнены, следовательно, эпюры построены верно.
По эпюрам видно, что опасных сечений два (рис. 6):
По моменту при z₁*=4/3a

По силе в сечении «A»

После построения и проверки эпюр можно приступать к расчетам балки на прочность и жесткость.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 8. ИЗГИБ

Плоский поперечный изгиб прямых стержней (брусьев, балок). Определение внутренних сил (поперечных сил и изгибающих моментов) в произвольном поперечном сечении стержня и построение их эпюр. Дифференциальные зависимости между нагрузкой, поперечными силами, изгибающими моментами, их использование при построении диаграмм и контроля правильности построения.

Плоский изгиб. Под плоским поперечным изгибом понимают такой вид деформации, при которой происходит искривление оси прямого бруса, и в поперечном сечении бруса действует два силовых фактора: изгибающий момент М и поперечная сила Q. Осью бруса называется геометрическое место точек центров тяжестей поперечных сечений бруса. Изгиб – плоский, если ось балки после деформации остается плоской линией. В противном случае имеет место косой изгиб. Если поперечная сила не возникает, изгиб называется чистым изгибом.

Рассмотрим, например, балку, нагруженную вертикальной сосредоточенной силой P. Для определения внутренних усилий при прямом изгибе, возникающих в поперечном сечении, расположенном на расстоянии z от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений.

Рис. 22. Плоский изгиб:
а – балка под нагрузкой Р; б – внутренние силы при изгибе

Разрежем мысленно балку в интересующем месте на две части.Отбросим левую часть балки, нагруженную силой P. Заменим действие отброшенной левой части балки на оставленную правую часть внутренними силами.

Внутренние усилия возникают во всех точках поперечного сечения балки и распределены по неизвестному закону. Не имея возможности определить эти внутренние усилия для каждой точки сечения, заменяем их статически эквивалентными внутренними силовыми факторами, приложенными в центре тяжести поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую часть. Видно, что часть балки, нагруженная силой P, стремится изогнуть рассматриваемую нами правую часть выпуклостью вниз, а также пытается произвести срез. Следовательно, в сечении должны возникнуть поперечная сила и изгибающий момент.

Осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести поперечного сечения балки. По правилам теоретической механики добавляется момент, равный Pz.

Таким образом, в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора:

– изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (в данном примере М = Рz);

– поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки (в нашем примере Q = P).

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. При расчете балок на прочность необходимо знать характер изменения изгибающего момента и поперечной силы вдоль оси балки и знать положение опасного сечения. С этой целью строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке относительно рассматриваемого сечения, то поперечная сила положительна.

Рис. 23. Правило знаков для внутренних усилий:
а – для поперечной силы; б – для изгибающего момента

Изгибающий момент будет положительным, если при действии момента внешних сил балка искривляется выпуклостью вниз.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов рассмотрим на конкретном примере.

Пусть на балку действует внешний изгибающий момент m = 6 кН•м и внешняя сила F = 12 кН, l = 1 м. Определим реакции в опорах A и B. Составим уравнения равновесия моментов всех внешних сил относительно опор A и B

Рис. 24. Эпюры Q_y, Mx

Проведем сечения на каждом характерном участке и определим значения поперечной силы Qy и изгибающего момента M_x.

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 24).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dz. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dz будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Qy и Mx в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dz будут возникать поперечные силы Qy и Qy + dQy, а также изгибающие моменты M_x и M_x + dM_x.

Из условия равновесия выделенного элемента получим:

следовательно

следовательно

Первое из двух записанных уравнений дает условие

(10)

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем

(11)

Рассматривая полученные выражения, совместно можем получить

(12)

Полученные соотношения называют дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского при изгибе.

Рис. 25. Внутренние усилия в балке при изгибе

Анализ дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые правила построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

– на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М – наклонными прямыми;

– на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры М – квадратичными параболами;

– в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы;

– в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент, на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачок на величину момента;

– в сечении, где приложена сосредоточенная внешняя сила эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы;

– сосредоточенная (или распределенная) пара сил влияния на закон изменения поперечных сил на участке не оказывает, и на эпюре Q это ни как не отражается;

– в сечении, где приложена пара сил, эпюра изгибающих моментов делает скачок на величину этой пары и с ее знаком;

– на участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра поперечных сил имеет вид прямой наклонной линии с угловым коэффициентом q;

Рис. 26. В сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки, эпюра поперечных сил Q делает скачок
на величину этой силы и с ее знаком

– на участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающих моментов ограничена параболической кривой;

– в сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы;

– на участке, где поперечная сила равна нулю, наблюдается деформация чистого плоского изгиба, при котором изгибающий момент является постоянной величиной.

Источник