Для чего нужны графики функций в жизни человека

Урок «Функция рядом с нами»

(форма урока – заседание Научного общества)

Техническое оснащение урока:

4 компьютера, проектор, экран, DVD-проигрыватель, колонки.

Учащиеся сидят по группам «Математики, физики», «Истории», «Филологи», «Биологи, экологи» (выбор учащихся группы соответствует их интересам и желанию).

— Добрый день, дамы и господа!

Я очень рада, что сегодня мне выпала честь быть председателем нашего Научного общества. Я приветствую своих коллег-ученых:

— математиков, физиков
— биологов, экологов
— историков
— филологов.

Заседание нашего Научного общества считаю открытым.

2. Демонстрация фильма «Функции рядом с нами» (заголовок фильма учащиеся не видят)

— Предлагаю вашему вниманию фильм.

Учитель: Внимательно слушайте диктора, уловите главную идею фильма. Ответьте на вопрос: что объединяет сюжеты этого фильма?

Ученики: Здесь идет речь о зависимостях в жизни.

— Уважаемые коллеги, посовещайтесь в группах и определитесь с тем, какое название можно дать этому фильму.

Ученики: Все в мире взаимосвязано.

Взаимосвязи в жизни…

Учитель: С помощью чего описываются явления, зависимости в математике?

Ученики: С помощью функций.

Учитель: Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему нашего с вами исследования я обозначила так: «Функции рядом с нами».

Эпиграфом предлагаю взять следующие слова:

«Математическими портретами закономерностей природы служат функции»

Учитель: Уважаемые коллеги! Посовещайтесь и сформулируйте проблемные вопросы по данной теме.

— что такое функция
— какие бывают функции
— где применяются функции
— значение функций в жизни

— Обратите внимание на проблемный вопрос. Об этом было сказано в фильме. Мы с вами ученые. Для нас важна доказательность, поиск истины.

Как мы сможем ответить на этот вопрос доказательно?

Ученики: Решая практические задачи.

Учитель: Вы поставили вопросы: Что такое функция, и какие бывают функции. Давайте с вами ответим на них.

Ученики: (дают определение функции)

Учитель: Какие бывают функции? Приглашаю двух человек к доске. У меня на столе лежат карточки с графиками функций и отдельно с функциями, заданными формулами. По очереди сопоставляйте графики и функций, заданные формулами, называйте функции.

Ученики: (выполняют на доске, с помощью магнитов крепят карточки)

Учитель: Молодцы! Вы успешно справились с заданием.

Я предлагаю вам, коллеги, ответить на наш проблемный вопрос, выполняя реальные практические задания. Каждой группе ученых предложено свое задание, план выступления. Определитесь с ролями в группе и начните работу.

Задание для историков

Воспользоваться ресурсами сети Интернет и статьями из энциклопедий (Энциклопедия для детей, Математика и Энциклопедический словарь юного математика) составить презентацию об истории развития понятия функции из 3-5 слайдов.

Подготовить выступление по плану:

Задание для «биологов-экологов»

На территории села Менделеево обитала популяция синиц, численность которой составляла 70 особей (N₀). Проанализируйте динамику численности популяции синиц за период с 2001 по 2006 год, если известно, что рост численности популяции вычисляется по формуле:

Где: R=2 (фактор выживаемости, рождаемости)

b=4,4 (падение скорости численности популяции)

Для решения задачи используйте компьютерную программу EXCEL.

Задание для «физиков-математиков»

Невозможно представить жизнь современного человека без переменного электрического тока, так как все приборы: бытовые, электронагревательные, телевизоры, компьютеры и т.д., работают от сети переменного тока. Напряжение в наших розетках изменяется по следующему закону:

Для решения задачи используйте компьютерную программу EXCEL.

Подготовить выступление по плану:

Задание для филологов

С помощью графиков функции проиллюстрируйте смысл пословиц:

Подготовить выступление по плану:

4. Выступления групп:

Историки представляют презентацию об истории развития понятия функция. (Приложение 1).

Учитель. С изучением функции произошло мощное развитие в математике. Математика – область очень прикладная, она используется как инструмент для решения вполне земных задач.

Биологи: Представляют решение своей задачи. (Приложение 2)

Особое внимание группа уделяет тому, что решение задачи без использования компьютерной программы EXCEL невозможно было так быстро представить.

Учитель: Какой бы ни была зависимость, мы можем смоделировать ее на графике. Кривая линия – график – геометрический эквивалент функции – гораздо больше говорит воображению, чем формула, и гораздо более легко обозрима чем таблица числовых значений.

Филологи: Представляют интерпретацию пословиц с помощью графиков и отвечают на проблемный вопрос.

Интерпретация некоторых пословиц:

Если на протяжении своей жизни будешь совершать отрицательные дела, поступки, то и слава о тебе будет отрицательная, и наоборот.

Пересев хуже недосева

Если семян мало, то и урожай будет мал. Если семян слишком много, то им расти будет плохо, и семена потеряешь, и урожая не соберешь. Нужно посадить оптимальное количество семян и урожай будет высоким.

Учитель: Пословицы – отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом человечества.

Физики: Представляют решение задачи (Приложение 3) и отвечают на проблемный вопрос.

Учитель: Какой интересный пример. Именно с развитием электротехники появилась техническая основа для создания электронно-вычислительных машин.

(Учащиеся трех групп, которые использовали компьютер для решения поставленных задач, отмечают, что без применения на уроке компьютерных программ решение их задач не было таким быстрым и наглядным.)

Мы заслушали выступления ученых различных областей деятельности.

Получили ли мы ответ на поставленный вопрос?

Учитель: Посовещайтесь в группах, сформулируйте общий вывод, результат нашего исследования.

Учащиеся: Функции окружают нас повсюду: в жизни, на уроках физики, биологии, химии многие процессы и явления описываются с помощью графиков функций.

Учитель: Итог нашего урока я выразила с помощью презентации. (Демонстрируется презентация учителя «Функции в нашей жизни» (Приложение 4)

Учитель: Любоваться природой можно и не зная математики. Но понять ее, увидеть ее, то, что скрыто за внешними образами явлений можно лишь с помощью точной науки. Только она позволяет заметить, что в явлениях природы есть формы и ритмы, недоступные глазу созерцателя, но открытые глазу аналитика.

— Сейчас, я предлагаю каждому построить график (Приложение 5), который показывает ваше эмоциональное состояние на протяжении нашего заседания, в зависимости от его этапов.

— Есть ли желающие показать свой график и объяснить его построение?

6. Домашнее задание

— Дома я предлагаю продолжить работу по данной тематике и предлагаю на выбор следующие задания:

— составить практическую задачу, решение которой можно иллюстрировать с помощью графика функций;

— напишите мини-сочинение на тему: «Функции рядом с нами»;

— найдите пословицы, которые можно интерпретировать с помощью графиков функций.

6. Материалы, иллюстрирующие ход урока:

Видеофильм «Функции рядом с нами»;

Презентация учителя «Функции в нашей жизни» (Приложение 5)

Презентация учащихся «История развития понятия функции» (Приложение 1);

Решение задач групп «физиков, математиков», «биологов, экологов»;

Лист рефлексии «Построить график…» (Приложение 5)

Источник

Проект «Графики в нашей жизни»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Проект ГРАФИКИ В НАШЕЙ ЖИЗНИ

Цель: Выяснить, действительно ли нас повсюду окружают графики. Наша цель выяснить, действительно ли нас окружают графики.

Задачи: Узнать историю происхождения графиков. Найти и рассмотреть графики, которые окружают нас в алгебре. 3) Выяснить, как часто люди в жизни встречаются с графиками. Задачи нашего проекта …..

Откуда к нам пришли графики? Начнём с самого начала – узнаем откуда же к нам пришли графики?

Возникновение и понятие функции в Древнем Египте Когда возникли ᴨервые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия необходимо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому ᴨȇреходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, необходимо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые егиᴨȇтские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тем временам) армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды. Именно с помощью графиков строили пирамиды.

Возникновение и понятие функции в Древней Греции В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и в Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.

Рене Декарт Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650).

Прямая пропорциональность у = кх График прямой пропорциональности, этот график проходит через начало координат.

Линейная функция у = кх + в График линейной функции

Квадратичная функция у = х2 Этот график – парабола.

Обратная пропорциональность у = k/x Гипербола.

Синусоида Этот график называется синусоида. Мы пока не изучали этот график на уроках алгебры, но очень много о нём слышали.

Графики в реальной жизни Яблоко растёт, затем его срывают и сушат. ( х – время; у – масса яблока)

Медицина и графики Кардиограмма Энцефалограмма Лечением людей с сердечнососудистыми заболеваниями занимаются врачи-кардиологи. Проводя лечение, врач должен брать на заметку все происходящее, что поможет назначить правильные лекарственные препараты. Чтобы быть достаточно уверенным при назначении лечения врач обращается к помощи электрокардиограммы. Под кардиограммой подразумевается кривая (график), с помощью которой можно определить истинную активность сердечной мышцы. Под кардиограммой и энцефалограммой подразумевается кривая (график), с помощью которой можно определить истинную активность сердечной мышцы в кардиограмме и активность мозговой деятельности в энцефалограмме.

Графики в социальной сфере ГРАФИК КОЛЕБАНИЯ ПАРТИЙНЫХ РЕЙТИНГОВ ВЫБОРОВ В ГОСДУМУ 2011 ГОДА. Данные социологического опроса. График величины среднего числа рожденных детей по федеральным округам Российской Федерации (на 1000 всех женщин в возрасте 15 лет и старше, указавших это число). Изменение уровня образования и уровня занятости населения по возрастным группам в 1989 и 2002гг.

Прогноз погоды и графики Профессия человека, который занимается подготовкой прогноза погоды, называется метеоролог. Метеоролог не может оставить свое рабочее место ни на одну минуту. Информация, представленная в виде таблицы не дает наглядности об изменении температуры, скорости ветра и т.д. в течение какого-либо промежутка времени, гораздо лучше эту информацию воспринимать в виде графиков. Она наиболее удобна для восприятия, и прочитать (запомнить) ее можно с первого взгляда.

Закон экологического оптимума Влияние температуры на скорость роста растения (иллюстрация) действия закона толерантности)) Интерпретация закона толерантности на примере воздействия на организм концентрации некоего вещества как экологического фактора Любой живой организм имеет определенные, эволюционно унаследованные верхний и нижний пределы устойчивости (толерантности) к любому экологическому фактору. Другая формулировка закона В. Шелфорда поясняет, почему закон толерантности одновременно называют законом лимитирующих факторов: Даже единственный фактор за пределами зоны своего оптимума приводит к стрессовому состоянию организма и в пределе – к его гибели.

Пересев хуже недосева Пересев хуже недосева. Урожайность возрастает в зависимости от кол – ва семян на единицу площади ( S ) до определённого предела. Преувеличение дозы кол – ва семян сверх определённой нормы приводит к резкому спаду урожайности, причиной этого является нехватка необходимых веществ в почве для роста растения. Растения затмевают друг друга, не давая развиваться корню и стеблю. Следствием этого является резкий спад урожайности. Что представлено на графике.

Проценты На следующий наш вопрос – Где встречаются графики в повседневной жизни – наши ученики считают, к нашему удивлению – чаще всего графики встречаются в прогнозе погоды в программе новостей, что и показывает нам график.

Опрос № 2: «Что мешает нам хорошо учиться?» Выявление причин, вызывающих усталость от учёбы в школе

Психология Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому Т лет (Т меньше 18), должен спать в сутки t часов, где t определяется по формуле t = 17 – Т/2. Найдите Т(2); Т(13) ; Т(16).

Астрономия Крабовидная туманность в созвездии Тельца расширяется со скоростью 1500 км/с. На какое расстояние расширяется туманность за минуту, за час? Постройте график. Решение задачи.

С помощью графиков функций можно рисовать картины, рисунки выполненные в стиле графики можно описать известными графиками функций. Рассмотрим внимательно репродукцию картины Н.В. Кузмина «Онегин на балу». Если вглядеться в эти прерывистые линии – то можно увидеть, что они представляют собой графики различных функций. Рисунок выполнен в стиле графики, а что такое графика?

Источник

Исследовательский проект «Функции в нашей жизни»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

БУГА ВЛАДИСЛАВ ГЕННАДЬЕВИЧ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

« ОРЛОВСКИЙ РЕСТАВРАЦИОННО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ »

Специальность « Мастер по ремонту и обслуживанию автомобильного транспорта »

Руководитель Конарева Татьяа Леонидовна

Проект ориентирован на систематизацию и обобщение, уже имеющихся теоретических знаний, расширение и углубление их за счет самостоятельного поиска дополнительного исторического материала, отбора и решения задач прикладного характера, умений находить, отбирать и использовать информацию, формулировать проблему и решать ее, умения преодолевать трудности, навыки публичного выступления.

• выявлять главное, доказывать, обосновывать, оформлять результаты работы, делать презентации;

• генерировать новые идеи, применять их и обмениваться идеями с другими;

• находить, анализировать, обрабатывать, интегрировать, оценивать и создавать информацию в разных формах и на различных типах медиаоборудования;

• совершать выбор; понимать взаимосвязи в сложных системах;

• работать в команде; выполнять разные роли и обязанности; продуктивно взаимодействовать с другими;

• формулировать, анализировать и решать проблемы;

• самостоятельно приобретать новые знания по математике и применять их в практической деятельности.

Какое влияние оказывают математические функции на жизнь человека и окружающий мир?

1. Каковы области применения математических функций?

2. Какое влияние оказывают математические функции на жизнь человека и окружающий мир?

3. Какие нетипичные (нестандартные) задачи можно решать с помощью функциональных зависимостей?

Этапы проведения проекта.

1. Подготовительный этап:

— выбор темы проекта;

— обсуждение основополагающих и вопросов с учащимися;

— обсуждение плана работы

— создание критериев оценивания;

— подбор обучающимися материалов для создания презентации и публикации, просмотр и обсуждение этих материалов с преподавателем;

— подготовка презентации, публикации и размещение их в сети.

3. Заключительный этап:

— оценка качества проекта;

— возможная корректировка и применение данного материала в дальнейшей работе;

ОДА ФУНКЦИ

На первый взгляд, понятие не ново,
И не всегда подумаешь о том,
Как важно будет в жизни это слово
И сколько смысла будет в слове том!

Его по-разному с годами толковали.
Сам Лобачевский руку приложил,
Чтоб слово « функция » и в средней школе знали,
Чтоб каждый ученик им дорожил!

Без функции не сдашь простой экзамен,
Без функции ты не войдешь в предмет!
Без функции не разгорится пламя!
Без функций никакой науки нет!

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово « функция » применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Обратимся к « Энциклопедии домашнего хозяйства ». Откроем таблицу, где указаны максимальные, длительно допустимые токи для проводов в зависимости от их сечения.

Максимально допустимый ток. Ампер

Из этой таблицы каждый домашний мастер получит готовые рекомендации на все случаи житейской практики.

Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f ( x ) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. В нашем примере формула выглядит так : I=k √. s

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Так заполняются любые бланки : удостоверений, аттестатов, дипломов и т.д. В пустые строчки вписываются данные конкретного лица. Понятие функции помогает сформулировать какое- либо утверждение сразу для всех объектов некоторой совокупности.

Знание функциональных зависимостей позволяет давать ответы на разнообразные вопросы –от датировки древних документов до управления сложнейшими производственными процессами. Люди издавна замечали соответствия между отдельными предметами и явлениями окружающего мира: красный закат к ветру, снежная зима к урожаю. Систематизируя и осмысливая взаимозависимости, человек научился рассматривать их как частные случаи сравнительно немногих общих соотношений. Он назвал их законами природы. Знание этих законов дало возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления, математическими портретами которых. служат функции.

Давай те совершим экскурсию в галерею этих портретов.

Линейная функция — функция вида y = kx + b (для функций одной переменной).

Велосипедист движется со скоростью 10км/ч. Записать формулу его пути S за время движения t. Построить график движения на первых тридцати километрах пути.

При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 6 0 C. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2 0 C. Найдите формулу, выражающую изменение температуры T воды в зависимости от времени t её нагревания. Будет ли функция T(t) линейной?

Одна сторона прямоугольной детской площадки равна X, другая – на 3 м больше. Выразите через X периметр P и площадь S этого прямоугольника. Найдите значение каждой функции P(X) и S(X) при X=6. При каком значении X периметр будет равен 46 м.

На складе было 300 т угля. Ежедневно на склад привозили ещё по 40 т. Выразить формулой зависимость количества угля p (в тоннах), находящегося на складе, от времени (в днях).Итак, мы приходим к выводу: во многих сферах деятельности человека встречаются процессы, которые можно описать с помощью линейной функции.

Переходим к следующей экспозиции.

Представление степенной функции.

Рассмотрим, какие виды графиков может иметь степенная функция:

Источник