Для чего нужны интегралы в математике

Что такое интеграл и зачем мне знать это

Игорь Гладкобородов

IMAGE 1287 NOT FOUND

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках кода в минуту, в реальной жизни я программист.

Объем работы — это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика — это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b — это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл — это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Нет, зачем мне это нужно?

Да низачем — просто так, из любопытства. На самом деле интегралы входят даже в школьную программу, но не так много людей вокруг помнят, что это такое.

Источник

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

(и в программировании)

Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали.

Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него.

Но сначала: что такое функция

Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них.

Функцию можно представить как «коробку с математикой». У тебя есть какая-то масса математических операций, ты их «запаковываешь» в функцию. Теперь ты можешь эту массу операций вызывать в своих математических выражениях одним действием.

У функции есть один или несколько аргументов — это те числа, к которым нужно применить массу математических операций. Можно представим, что мы засунули это число в коробку с математикой, потрясли и получили на выходе другое число.

Если посчитать f(x) для одного числа, получится другое число. Если посчитать f(x) от 100 чисел, получится 100 других чисел. А если непрерывно считать f(x) для бесконечного количества чисел, то получится бесконечное количество других чисел.

Что такое интеграл

Итак, у нас есть некая функция, у неё есть числа на входе и числа на выходе. Эти пары чисел можно использовать для построения графика функции.

Теперь берём этот график функции и проводим две линии, которые ограничивают график. Получается фигура, которая сверху зависит от нашей функции, а с остальных сторон ограничена прямыми линиями и осью:

А теперь то, ради чего всё это затевалось:

✅ Площадь этой фигуры и есть интеграл функции f(x) = sin(x) + cos(x) на отрезке от a до b

В нашем случае мы считаем интеграл от нуля до числа пи — 3,1415926.

Это называется определённый интеграл. Определённый — это когда у нас определены начало и конец фигуры — в математике это называют пределами интегрирования. Записывается этот интеграл так:

В математике есть ещё неопределённые интегралы, у которых нет пределов интегрирования. Ими мы заниматься не будем, потому что ответом к неопределённому интегралу будет не конкретное число, а формула.

Зачем нужны интегралы в народном хозяйстве

Вы удивитесь, но в первую очередь интегралы нужны, чтобы находить площади и объёмы. В буквальном смысле: вот фигура, вот её описание в виде функции, проинтегрировали — узнали площадь. Будете, например, заливать бетоном красивую кривую дорожку — узнаете, сколько вам нужно бетона.

Интегралы нужны в математике и физике, это один из инструментов вычислений.

Если вы астрофизик, интеграл поможет вам рассчитать какие-нибудь свойства звёзд с течением времени. А математики говорят, что в интегралах не нужно искать практический смысл; их нужно любить, как мать, и почитать, как отца.

Как посчитать интеграл (то есть найти площадь)

Если бы у нас был прямоугольник, то всё просто: перемножаем высоту на ширину. Если бы была трапеция, тоже ещё как-то что-то можно. Но сверху у нас кривая, поэтому так сделать не получится. Решение придумали такое:

Минус такого подхода в том, что, как бы мы ни старались, прямоугольники не могут повторить все изгибы, и появится погрешность. С другой стороны, чем тоньше будут эти прямоугольники, тем точнее будет ответ. Получается, что наша задача — нарезать фигуру как можно тоньше.

Теперь задача становится намного проще: мы просто считаем площадь каждого прямоугольника и складываем их вместе. В таком виде задачу уже можно решить простым алгоритмом.

Пишем код

Раз нам нужно разбить интервал на много частей а потом с каждой из них сделать одно и то же, то это точно задача для цикла. Для этого нам понадобится шаг цикла — какой ширины будут наши прямоугольники, чтобы бы могли их одинаково перебирать.

Чтобы посчитать шаг, находим расстояние между конечной и начальной точкой и делим на желаемое количество прямоугольников (это будет нашей точностью интегрирования).

Общая логика работы будет такая:

На картинке — все исходные данные, а ниже — код, который считает интеграл. Смотрите на картинку и читайте комментарии: так будет ещё проще разобраться в коде:

Что дальше

Теперь этот код можно изменить так, чтобы он считал интеграл в любых пределах у любой функции. С точки зрения математики это не самый точный результат, но всё зависит от того, сколько точных знаков после запятой нам нужно.

В следующей серии продолжим разбираться со страшной математикой. Если есть пожелания для разбора — напишите в комментариях.

Источник

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Источник

Так зачем же всё-таки нужны интегралы?

Ответ на вопрос, интересующий всех еще со школы.

Можно найти примеры применения математических законов в разных сферах человеческой жизнедеятельности. Я хотел бы попытаться объяснить интегрирование через воду, а точнее через измерение и мониторинг ее качества. Для начала нужно разобраться что такое общий органический углерод и как он связан с качеством воды. Общий органический углерод выражает, в виде концентрации, содержание всех органических соединений в воде. Он является важнейшим индикатором чистоты. Допустимые концентрации закреплены законодательно, а воду с высоким содержанием органических соединений запрещено сбрасывать в водоемы.

Что представляют из себя эти соединения и почему так важно знать их концентрацию? Органикой считаются вещества, содержащие углерод (С). Бытовым примером являются продукты питания. Также можно упомянуть природные источники. Например, если после сбора картошки промыть ее водой, то количество органических соединений в воде увеличится.

Концентрации, если мы говорим о производстве, необходимо знать для того, чтобы не получить штраф за сброс загрязненной воды в реку или озеро. Если смотреть глобальнее, то для разработки системы очистки воды необходимо провести количественный и качественный анализы. Говоря иначе, понимать, что в ней содержится и в каком количестве.

Поговорим, о массовом производстве картофеля. Его выращивают, собирают, промывают от земли, сортируют и упаковывают. После промывки воду нельзя просто так слить в водоем, так как она загрязнена, ее нужно сначала очистить.

Для сохранения водоемов нужно очищать воду, а чтобы ее правильно очищать, нужно знать сколько в ней органических соединений. Итак, как это измерить и, при чем тут интеграл?

Измерение можно провести с помощью специального прибора для мониторинга качества воды. Прибор берет пробу воды, за несколько минут проводит измерение и, вот, уже известна концентрация. Ниже представлено само устройство.

Без интегрирования прибор не смог бы определить степень загрязненности воды и, возможно, водоемы бы гибли один за другим. Для того, чтобы докопаться до истины, нам придется углубиться в прибор и понять, по какому принципу строится измерение.

При окислении углерода (С) образуется углекислый газ (СО2). Окисление в данном случае можно заменить на горение или сжигание. Если сжечь С, получим СО2. Реакция выглядит следующим образом:

Это ключевой момент. Если сжечь ту воду, которая осталась после промывки картофеля, то получим углекислый газ и пар. Именно это и делает устройство. Прибор знает зависимость концентрации органических веществ в воде от количества углекислого газа, выделяемого при их сжигании. Зависимость линейна и может быть определена путем одного контрольного измерения. Cпециалист, работающий с устройством, готовит раствор с заранее известной концентрацией органических веществ, затем сжигает его в приборе, и далее прибор строит линейную зависимость С от СО2, которая впоследствии берется за основу. Упрощенно говоря, измерение строится от обратного. Первоначально необходимо измерить сколько СО2 выделится при известном количестве С, чтобы потом измерять неизвестные концентрации С. Как уже упоминалось выше, зависимость линейна, соответственно, чем больше органических веществ содержится в воде, тем больше углекислого газа выделится при ее сжигании.

Забирается вода с помощью специальной роботизированной системы. По сути, это шприц со стальной иглой, двигающийся по горизонтальной оси. Он перемещается до сосуда с пробой, опускается, забирает небольшой объем, потом поднимается и направляется к печи. Далее впрыскивает пробу в печь. Проба сжигается при температуре 1200 градусов Цельсия. Прибор измеряет количество выделенного углекислого газа, а затем, по заранее определенной зависимости, сопоставляет какой концентрации соответствует выделенное количество газа.

Теперь необходимо отправиться на последний уровень. Проблема интеграла в том, что он всегда где-то глубоко. Лежит не на поверхности. Но мы уже близко. Остался финальный рывок.

Итак, что значит измерить количество углекислого газа? В каких единицах измерения это количество выражено? Как оно выглядит в реальном времени? Начнем с последнего, выглядит оно, следующим образом:

По оси У, обозначен диапазон охвата прибора от 0 до 100 процентов, где 100 процентов — это максимальное количество углекислого газа, которое может быть измерено. По оси Х, обозначено время. Кривая начинает идти вверх при измерении первых молекул углекислого газа.

Предположим, что вы сидите за компьютером, а кто-то готовит вам пасту на кухне. Вдруг в пасту добавляется красное вино. Сидя за компьютером, вы сначала слегка чувствуете запах вина, потом до вас доходит кульминационная часть, далее запах начинает потихоньку пропадать, в итоге вы уже совсем не чувствуете, что в пасту когда-то было добавлено вино.

Заменим запах вина на углекислый газ и получим понимание графика выше. Сначала прибор измеряет первые молекулы углекислого газа, потом основную часть и далее остаточные частички.

А как посчитать площадь кривой, образованной процессом, описанным выше? Ответ, прост: интегрированием. Так как фигура на графике значительно сложнее прямоугольника, интеграл необходим для расчета площади под кривой. В моем примере эта кривая образована сжиганием воды с органическими соединениями. Процесс выделения углекислого газа, образованного при сжигании, описан математически и изображен графически. Единицы измерения в данном случае — это проценты помноженные на время (%*с)

Возможно, математика – это не самая захватывающая наука по сравнению с физикой, химией, механикой или электротехникой. Можно рассматривать химические реакции и вещества, образованные в результате этих реакций, проектировать приборы и программировать роботизированные системы, но все это было бы проблематично, не имей мы некую сухую точу отсчета. Математика – это средство описания мира вокруг нас, она помогает изложить интересные процессы на бумаге, в краткой и сухой форме, а также выразить некие сложные величины в количественном виде.

Вполне вероятно, что без интегралов, вода, которую мы пьем, была бы не пригодна к употреблению. Так проникнемся же к ним уважением.

Источник

Интеграл простыми словами

Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.

Простыми словами…

Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.

Знак интеграла ∫ — это вытянутая буква s (длинная «эс» существовала до начала 19-ого века писалась так — ſ). Первая буква слова summa.

Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения.

Почему обычного «плюсования» не достаточно? Просто в алгебре нет никаких бесконечно малых или больших.

Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства. Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.

Слово «интеграл» происходит от латинского integer, что означает «целый». Даже в названии есть намек некое действие, что-то вроде восстановления чего-то целого.

Лучше всего показать «на пальцах», точнее на примере. Предположим, мы хотим узнать площадь фигуры как на картинке (она называется криволинейная трапеция, потому, что одна из сторон создана кривой линией). Зачем нам это нужно? Например, это часть крыла самолета и нужно знать его площадь.

Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.

Но останется «пробел», площадь которого будет неизвестна. Чтобы увеличить точность, можно разделять на большее количество фигур, но все равно будет оставаться какая-то, пусть и небольшая, но «не закрашенная» область. Фигуры будут становиться все меньше и меньше… Очевидно, что процесс измельчения будет бесконечным, по крайней мере в воображении.

Но, в реальности, бесконечный процесс попросту не нужен. На самом деле вычислить такие вещи как площадь круга, длину диагонали квадрата или объем пирамиды невозможно, значение будет бесконечным, естественно, практического смысла бесконечные числа не имеют и мы их «округляем» до нужного предела точности — приблизительно.

Такой метод в Древней Греции назывался «исчерпание». Аналогия с водой тут очень уместна, если представить, что черпаешь из ведра при помощи кружки, то сначала кружки будут полные, но чем ближе ко дну, тем меньший объем будет попадать в кружку. Первой известной личностью «взявшей интеграл» был Архимед, он фактически решил задачу по нахождению площади круга и площади параболы ничего не зная ни про пределы, но даже про число «пи».

Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.

То же самое происходит при интегрировании:

Фигура на картинке разбивается на столбцы бесконечно маленькой ширины. Ширина у нас Х. Бесконечно малое число обозначается d. То есть dx — это бесконечно малый «икс».

Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.

Чтобы узнать площадь фигуры нужна еще высота, а это y. Высота везде не одинаковая, она постоянно меняется. И мы знаем как именно! Ведь кривая может быть (а может и не быть, но в нашем случае так и есть) функцией y=f(x), то есть значение у меняется по закону (буква f об этом говорит) зависимому от х. Поэтому «эф от икс». Значит высота это f(x). Функция, кстати, тоже бесконечная.

Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).

Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:

f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.

А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.

Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.

Что мы делаем? Разрезаем фигуру на «ленточки» изменяем площадь этих ленточек и собираем все обратно (суммируем).

Интересно, везде идет речь о сумме, а площадь считается умножением. Парадокс? Нет, умножение это ведь то же самое, что и сложение: 2+2+2+2=2*4. То же самое происходит и с площадью. Чтобы выяснить какова площадь прямоугольника со сторонами 5 и 4, перемножаем 5 на 4, или разделяем прямоугольник на 5 полосок шириной в «единицу» и складываем 4+4+4+4+4=5*4=20.

Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.

Зачем нужен интеграл

Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.

Но лучший способ объяснить, что такое интеграл простыми словами — показать еще пару примеров. Как когда-то в детстве объяснили сложение на яблоках. Для чего интеграл может понадобиться?

Предположим, нужно построить храм кому-то из древнегреческих богов, такой чтобы место в нем хватило всем, крыша была прямоугольной, а колоны круглыми, ведь так красивее (а еще прочнее).

Давление колонны на фундамент легко посчитать, если она квадратного сечения, делим силу на площадь и вуаля. А если колонна круглого сечения? Какова площадь круга?

Можно конечно, не напрягаться, и заменить круг эквивалентным квадратом (квадратура круга), но каким? На всякий случай побольше, чтобы наверняка ничего не развалилось. Но это не наш метод, особенно, если ни бесконечного числа рабочих, ни бесконечного числа мрамора в действительности нет и взять негде, а казнить за неэффективное использование бюджета никто не запрещает.

Прием с эквивалентом площади на самом деле простой, использовался древними людьми. Очень-очень древние греки ничего не знали об интегрировании, а Архимед еще не родился, тем не менее, чтобы рассчитать площадь круга, в него выкладывались камешки. Когда круг заполнялся, камешки собирались и раскладывались в виде квадрата. Чем меньше камешки тем… Ничего не напоминает?

Еще примеры из жизни

Конечно, в физике интеграл «берут» постоянно. Вместо Х, может быть время, и тогда мы будем иметь дело с функцией времени, такой, например, как скорость. Ускорение — это скорость изменения скорости. Скорость, это скорость изменения координат. Пробежавшись от ускорения к скорости мы уже дважды использовали интеграл.

В обратную сторону: первая производная пути, это скорость, вторая производная — ускорение. Если ускорение равно нулю, значит скорость не менялась.

Интегрирование и дифференцирование, такие же «парочка» как и умножение и деление, суммирование и вычитание, только не с цифрами, а с функциями. Это взаимно-обратные операции. В случае производной, мы не «складываем», а «отнимаем».

Если проинтегрировав функцию изменения скорости (ускорение) получим константу (число, например, 60, а не формулу y=2x), значит, скорость не изменялась со временем, ускорения не было. Если, взяв приводную (дифференциал) функции скорости по времени, получим ноль — скорость не менялась, ускорение равно нулю.

То есть, имея в своем распоряжении какую-то функцию (зависимость чего-то от чего-то), мы можем ее дифференцировать или интегрировать. Точно также как если бы умножали и или, вычитали и складывали обычные числа.

Например, у нас есть функция изменения координат от времени. В реальном мире мы вышли на пробежку. Бежал наш виртуальный спортсмен 30 минут, первые 10 минут очень быстро, вторые 10 минут уже с одышкой, ну а последние 10 прошел пешком.

Очевидно, что координаты бегуна в начале и в конце разные (он же не стоял на месте). Если координаты менялись — скорость не равнялась нулю.

Скорость не была одинаковой, а менялась в зависимости от времени (больше времени, больше усталость, меньше скорость).

Итак, у нас есть функция изменения координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения. И первая и вторая функции зависят от одной и той же переменной — времени.

Еще один пример, вычисление массы. Масса, это произведение плотности на объем. Если плотность и объем одинаковы (это стакан воды) никаких проблем нет. А если плотность меняется (тот же стакан, только с коктейлем в несколько слоев)? В таком случае нужно знать закон (зависимость с которой изменяться плотность жидкости в стакане).

Если вам такие примеры не близки, то представьте себе, что взяли кредит под сложный процент. Тогда ваш долг будет расти не линейно. И вы будете интегрировать…

Если нужно узнать какую работу нужно затратить на перемещение предмета не по прямой, а если, нужно рассчитать лучшую цену, зная зависимость спроса от предложения, а если нужно посчитать за какое время рабочие выкопают яму, если это не роботы, а живые люди, которые устают со временем, а если…

Если посмотреть вокруг, не найдется в реальном мире ни идеальных фигур, ни ровных графиков, ни равномерного движения без ускорения, ни линейных зависимостей в поведении человека «разумного».

Все эти простые штуки из науки, просто частные случаи. А значит, в реальном мире интеграл более полезен, чем кажется. Конечно, кривые сложнее прямых и именно поэтому всю свою историю люди упрощали себе жизнь: делили поле прямыми, на квадраты и прямоугольники при помощи натянутой веревки. Считали среднюю скорость, а не мгновенную в каждой точке маршрута, полагали, что тело прошенное под углом к горизонту летит по параболе, а не баллистической кривой… Но, просто — не значит точно.

Говоря простым языком, интегрирование — это такой же инструмент, как и суммирование, в нем нет никаких особых тайн и сложностей. Кроме одной — представить себе бесконечность сложнее, чем натуральные числа, у которых есть наглядные представления в природе. Но справляемся же мы как-то с представлениями таких абстракций как «ноль» или «отрицательное число». С матанализом просто нужно чуть больше воображения.

Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.

Источник