Для чего придумали комплексные числа

Откуда есть пошло комплексное число

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

Источник

ahiin

Популярно о науке

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий. Натыкаешься на них везде и всюду, и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века, математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

(Наконец-то у меня появился повод подвесить эту шутку, хоть и боянистую, но одну из моих любимых).

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:

Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду:

Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?
Вообще, формула Кардано — это яркий пример принципа Арнольда в действии. Что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:

Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что

Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем И это правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Тем не менее, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

Источник

История появления коплексных чисел

Итак, если мы имеем дело только с одними вещественными числами, то мы не сможем выполнить с ними некоторые математические операции. В первую очередь, мы не сможем извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а также мы не сможем извлекать корни четной степени из отрицательных чисел.

Но формально эти квадратные корни из отрицательных чисел ведут себя подобно обычным числам. Этот факт, конечно же, математики заметили еще при решении алгебраических квадратных и кубических уравнений. Скорее всего, мнимые величины впервые были упомянуты в 1545 году в известной работе Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах».

Существует легенда о том, что формулу Кардано открыл совсем не Кардано, а какой-то другой итальянский математик, а Кардано просто украл у него эту формулу. Когда тот математик пришел к дому Кардано и стал на всю улицу кричать, что Кардано вор и мошенник, то Кардано вышел из дома с палкой и побил его. Тем самым вопрос о приоритете научного открытия был решен в духе того времени. Имя Кардано вошло во все учебники математики, как имя человека открывшего аналитическую формулу решения алгебраического кубического уравнения.

Не знаю из-за этого или по другой причине, но Кардано не понял значения мнимых величин и считал их непригодными для использования в математике. Мнимые величины вылезают и при использовании аналитической формулы решения алгебраических уравнений четвертой степени. Если бы существовали аналитические формулы решений алгебраических уравнений пятой, шестой и т.д. степеней, то без сомнения и там бы вылезали квадратные корни из отрицательных чисел. Но, как показал Галуа на основе теории групп, такие общие решения не существуют, которые выражены только через дробно-рациональные функции, степени и радикалы.

Долгое время отношение математиков к мнимым величинам было на грани мистики. Поражало то, что не смотря на то, что этих чисел нет, но, тем не менее, они формально являются настоящими решениями уравнений. Лейбниц, например, считал корень квадратный из единицы настоящим уродцем из мира идей, которого создал господь бог и поместил между бытием и небытием.

Понадобился гений Эйлера, чтобы признать мнимые числа настоящими числами и распространить вычисления с этими числами на все разделы математики. Именно Эйлеру и принадлежит гениальная догадка о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать, не выходя за рамки комплексных чисел.

Другими словами, нам уже не придется придумывать какие-то новые расширения понятия числа, такие, что комплексные числа являются только частным случаем этих более общих чисел. Подобно тому, как вещественные числа оказались частным случаем комплексных чисел, а рациональные числа оказались частным случаем вещественных чисел.

Независимо от Эйлера, к такой же догадке пришел и Д`Аламбер в середине 18 века. Но первое строгое доказательство этого факта сумел получить Гаусс в 1799 году. Из этого факта следует две самых знаменитых теорем математики. Это основная теорема алгебры о том, что любой многочлен степени n с комплексными корнями всегда имеет n корней, которые в общем случае также комплексные. И теорема в теории функций комплексного переменного об аналитическом продолжении комплексной функции комплексного переменного, где говорится, что если мы знаем все значения такой аналитической функции на каком-то участке, то мы можем однозначно узнать все её значения за пределами этого участка.

Почему же не существует таких алгебраических операций, которые могут привести к недостаточности комплексных чисел?

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала разберемся, почему математикам ранее постоянно не хватало чисел, и понятие числа приходилось постоянно расширять.

Натуральных чисел стало не хватать, когда появилась операция вычитание, которая является обратной к операции сложения. А целых чисел стало не хватать, когда появилась операция деление, которая является обратной операцией к умножению.

Но что такое умножение? Умножение это всего лишь многократное сложение. Поэтому любое умножение мы можем представить как многократное сложение. Но с делением этот трюк уже не проходит. Мы не можем представить деление в виде многократного вычитания. Это получается только, когда делимое делится нацело на свой делитель. Если же остается какой-то остаток, то его приходится уже делить в любом случае, а не вычитать из него делитель. Таким образом деление не сводится к вычитанию.

Та же самая ситуация наблюдается и в случае извлечения корня. Что такое возведение числа в степень? Это всего лишь многократное умножение. Таким образом, операцию возведения в степень можно выразить через умножение. Но вот извлечение корней уже не сводится к многократному делению. Извлечение корня какой-нибудь степени можно свести к последовательному делению только в том случае, когда такие делители можно подобрать целое число раз. В противном случае надо делать честное извлечение корня.

Казалось бы, дальше надо делать всё по аналогии. Давайте введем новую супер-операцию, которая представляет собой многократное возведение в степень, и посмотрим, как работает обратная к ней операция.

И тут оказывается, что ничего нового нетривиального мы уже не получаем. Многократное возведение числа в степень сводится к возведению этого числа в такую степень, которая является произведением показателя этой степени на число раз возведения. То есть опять получаем возведение в степень. И обратная операция к этой супер-операции снова сводится к простому извлечению корня. Мы не получаем ничего принципиально нового.

Поэтому, если из комплексных чисел извлекаются любые корни, то будет работать и любая операция обратная к нашей введенной супер-операции. И значит, мы не получим такой ситуации, когда нам нужно будет расширить понятие числа до более широкого, чем понятие комплексных чисел.

Тем не менее, в математики известны другие модели чисел. С одной стороны, это более бедные по своим свойствам расширения комплексных чисел, такие как кватернионы и октавы Кэлли. Кватернионы не являются коммутативными относительно операции умножения, то есть произведение двух кватернионов меняется при перестановке сомножителей, в общем случае не выполняется равенство AB=BA. Относительно операции сложения кватернионы остаются коммутативными.

Числа Кэлли уже не только некоммутативные, но еще и не ассоциативные по отношению к операции умножения. То есть, результат умножения октав Кэлли зависит от порядка расстановки скобок, в общем случае не выполняется равенство (AB)C=A(BC). Из-за этого числа Кэлли иногда даже и числами не считают, называют их не «числа Кэлли», а «октавы Кэлли».

С другой стороны, математикам известны коммутативные и ассоциативные модели чисел более широкие, чем комплексные числа, но обладающие довольно экзотическими свойствами. Это такие модели чисел, которые имеют делители нуля. То есть там могут существовать два таких числа A и B не равные нулю, произведение которых равно нулю: AB=0. Понятно, что ни комплексные числа, ни вещественные, ни рациональные не имеют никаких делителей нуля относительно обычного умножения.

Простейший пример делителей нуля можно увидеть на примере векторного произведения векторов. Любые два параллельных ненулевых вектора являются делителями нуля, так как их векторное произведение дает нам нулевой вектор. Но вектора относительно векторного произведения не образуют настоящее поле чисел, так как в этом случае не определена операция обратная к векторному произведению векторов, такая операция деления векторов неоднозначная.

Существует теорема Фробениуса, которая показывает, что только поле комплексных чисел является единственной математической конструкцией, которая является алгебраически замкнутой, не имеет делителей нуля и сохраняет все свойства вещественных чисел (коммутативность и ассоциативность). Грубо говоря, комплексные числа это самые главные числа в математике.

Поэтому многие математические положения на языке комплексных чисел формулируются очень кратко и изящно. Доказательства многих теорем становится очень компактным и простым. Вычисления в технике и в таких науках, как физика, механика, астрономия, резко упрощаются.

Источник

Комплексные числа

Комплексные числа (complexus — «соплетённый», составной, сложный) — математическая концепция чисел-сумм вещественного и чисто мнимого числа — вещественного множителя абстрактной квази-величины мнимая единица i, которая инверсивно определяется через утверждение, что её квадрат равен минус единице.

Содержание

[править] История

Комплексные числа появились в XVI веке, когда математики попытались решить квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами (такие уравнения не имеют вещественных корней). Оказалось, что квадратный корень из отрицательного числа приходится извлекать при решении кубического уравнения по формуле, хотя все корни исходного кубического уравнения могут быть вещественными. Тогда же появилось описание действий над комплексными числами в их современном понимании (эти действия было необходимо проводить с комплексными числами для корректного решения кубического уравнения по формуле).

Значимый вклад в теорию комплексных чисел внес великий математик Леонард Эйлер (XVIII век), разработавший привычные алгебраическую, тригонометрическую и показательную записи комплексного числа. В XIX веке появилось отображение комплексных чисел на координатной плоскости, методы комплексного анализа.

Основная теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами может быть разложен на n линейных сомножителей, и, таким образом, у всякого полиномиального уравнения n-й степени есть n корней в поле комплексных чисел с учетом их кратностей (до появления комплексных чисел у полиномиального уравнения могло не быть корней вовсе).

[править] Свойства

Над комплексными числами можно проводить операции сложения (вычитания), умножения (по правилам перемножения многочленов), деления.

Формула деления комплексных чисел:

то есть для каждого ненулевого комплексного число можно найти обратное к нему по умножению.

Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел представляют собой вещественные числа.

Комплексные числа изучаются в специальном разделе математического анализа — комплексном анализе, в алгебре они доставляют пример алгебраически замкнутого поля, имеют значительное применение в физике.

[править] Геометрическая интерпретация

Комплексное число z = a + bi может быть изображено точкой (a; b) на комплексной плоскости, на которой по оси x располагаются вещественные числа, по оси y — чисто мнимые.

Тригонометрическая форма отражает вектор, отложенный от начала координат до этой точки.

При возведении комплексного числа в степень достаточно возвести только его модуль, а аргумент [math]\varphi[/math] домножить на показатель степени:

[math]z^k = \left (<\left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)>\right )^k = \left | z \right |^k \cdot (\cos k\varphi + i \sin k\varphi)[/math]

Источник

Статья на тему «Комплексные числа»

1.Для чего нужны комплексные числа?

В любой науке любая математика должна по идее быть математикой комплексных чисел. Дело в том, что из всех наук, только физика наиболее математизирована. И математические методы наиболее сильно проникли в физику. Комплексные числа также используются в исследовании течения воды, вычерчивании географических карт, конструривании ракет и самолетов.

Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутренней потребности самой математики – из практики и теории решения алгебраических уравнений. С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. До 16 века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание. Только в начале 19 века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

2.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

3.Извлечение корней из комплексных чисел.

Вычислить

Можно извлечь два корня:

Что и требовалось проверить.

4.Тригонометрическая форма комплексного числа

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа обозначают или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений « а » и « b ».

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

. Для нахождения аргумента получается следующая формула:
.

Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой.

Источник