Для чего придумали логарифмы

История возникновения логарифмов

Изобретение логарифмов, сократив вычисления
нескольких месяцев в труд нескольких дней,
словно удваивает жизнь астрономов.

Как только в учебнике алгебры появляется обозначение log, у школьников всех времен и народов сводит челюсти до зубовного скрежета. Ну разве только особо влюбленных в математику учеников минует эта участь. А большинство школяров закатывают глаза к небу и мучаются извечным вопросом «Зачем?».

Уверены, в конце статьи вы не только найдете ответ на вопрос, но и сможете с легкостью решить задания из учебника «Алгебра 11 класс» под редакцией А.Г.Мерзляка.

Предпосылки к открытию

Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем.

Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов.

И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звездному небу, учитывающие расположение звезд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался.

Астрономы тратили несколько месяцев на трудоемкие расчеты с многозначными числами. В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчетах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную.

Впервые примеры таких расчетов в 1544 году в книге «Arithmetica integra» опубликовал Михаэль Штифель. Революционной идей ученого был переход от целых показателей степеней к произвольным рациональным числам. Однако развивать свою идею дальше и составлять таблицы для вычислений он не стал.

Джон Непер — отец логарифмов

В начале XVI века два ученых, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий:

Кто-то может посмеяться и сказать: «Одновременно?! Да между книгами прошло 6 лет, и Бюрги украл идею Непера!». Но во времена, когда не было интернета и международных научных симпозиумов, а информация распространялась «голубиной почтой», 6 лет — не такой большой срок. А одновременное открытие логарифмов, в странах разделенных не только расстоянием, но и языковым барьером, как раз свидетельствует о важности этого открытия.

Учитывая, что Джон Непер предложил придуманный им способ вычислений называть логарифм (от греческих слов logos – «отношение» и arithmos – «число», а вместе – «число отношений»), он по праву считается отцом логарифмов. Еще шотландский математик составил специальные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1 и с точностью до восьми знаков. С началом практического использования таблиц Непера умножение многозначных чисел и извлечение корней значительно упростилось.

В 1620 году Эдмунд Уингейт предложил модель логарифмической линейки. И до изобретения калькулятора логарифмическая линейка оставалась незаменимым помощником инженеров, мореплавателей, и других ученых, которым требовалась работа с большими числами.

Впоследствии многие ученые создавали свои таблицы логарифмов, уточняя их значения. Не обошел своим вниманием эту тему и Иоган Кеплер — известный ученый не только открыл законы движения небесных тел, но и составил астрономические таблицы, которые опубликовал в 1624 году с восторженным посвящением Джону Неперу, не зная о смерти отца логарифмов.

Наиболее близко к современному определению логарифмирования подошли Валлис (1685) и Иоганн Бернулли (1694). Эйлер окончательно узаконил логарифмирование как математическое действие, обратное возведению в степень.

Многие ученые в своих вычислениях стали пользоваться таблицами логарифмов, а Лаплас Пьер Симон в одном из своих трудов написал фразу, вынесенную в эпиграф статьи: «Изобретение логарифмов, сократив вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».

Астрономами в то время называли не только любителей звездного неба, каждый вечер настраивающих свои телескопы в поисках новых и сверхновых звезд, а любого ученого, использующего в своих расчетах сложные вычисления.

Другие области применения логарифмической шкалы

Математика – не единственная дисциплина, где используется логарифмическая шкала. Часто, даже не подозревая об этом, мы пользуемся ей в других науках. Например:

Решать просто уравнения скучно, хотя и очень полезно. Тот, кто решит все задания в учебнике Алгебра 11 класс под редакцией Мерзляка, сдаст ЕГЭ на высокий балл.
Работать с практическими задачами намного интереснее.

Методические советы

Представим, что на Землю нападают противные инопланетные чудовища, покрытые кислотной слизью, которые размножаются делением. Первоначально на землю была заброшена исследовательская шлюпка с 8 тварями на борту. Атмосфера земли оказалась столь прекрасна, что через два часа количество особей увеличилось до 100 штук. И перед землянами стоит задача не только выхватить огнемет и с доблестью, достойной Мстителей истребить инопланетных тварей, но и рассчитать, через какое время захватчики размножатся до 500 штук и поработят землю.

Для решения задачи вспомним также понятия скорости и ускорения

Ответ: всего 3 часа 18 минут понадобится инопланетным тварям на захват Земли, если герои Марвел их не остановят.

Источник

Его величество логарифм

Кандидат химических наук Александр Семёнов, главный эксперт АО «ВНИИНМ».

Посвящаю памяти своей мамы Лидии Васильевны Семёновой, впервые познакомившей меня с логарифмами.

Ч етыреста лет назад в математике и в науке в целом произошло знаменательное событие. Эксцентричный шотландский барон, математик, богослов, астролог и мистик Джон Непер (1550—1617) ввёл новое понятие — «логарифм». Опубликованные им в 1614 году «Волшебные таблицы логарифмов», фактически содержавшие значения логарифмической функции, были результатом упорных трудов и кропотливых расчётов. Многие математики занимались этой замечательной функцией, а некоторые потратили на неё десятки лет своей жизни. Что же привлекало их в логарифмах, которыми мы пользуемся до сих пор?

Долгожданный помощник астрономов

Логарифм тесно связан с более привычной всем функцией возведения в степень (1) и является одной из двух обратных функций к ней, наряду с операцией извлечения корня (2):

Если в формуле (1) переменной служит величина А, то мы имеем дело со степенной функцией. При переменном показателе степени х та же формула (1) определяет показательную функцию, которую иногда называют ещё антилогарифмом по основанию А. Логарифмирование (3) представляет собой поиск неизвестного показателя степени x из (1). Величина A называется основанием логарифма. Наиболее часто используют логарифмы по основанию 10, которые носят названия десятичных и обозначаются lg x, и логарифмы по основанию е = 2,71828… — натуральные логарифмы −ln x. Менее популярны, но имеют важное и самостоятельное значение двоичные логарифмы, которые с недавнего времени, согласно стандарту ISO 31-11, имеют пока ещё малоизвестное собственное обозначение lb x, но чаще записываются как log₂x.

Например, если мы возводим число 10 в квадрат, в куб, в четвёртую степень, то соответственно имеем результатом 100, 1000 и 10000. Тогда логарифмами этих чисел по основанию 10 будут соответственно величины 2, 3 и 4 — показатели степени, в которые возводится число:

Поскольку мы используем десятичную систему счисления, логарифмы таких чисел совпадают с количеством нулей после единицы.

Главное «волшебство» заключается в том, что логарифм позволяет заменить сложные, в отсутствие калькуляторов, операции умножения и деления многозначных чисел намного более простыми сложением и вычитанием, поскольку log (ab) = = log a + log b и log (a/b) = log a – log b. (Если у логарифма не указано основание, то формула справедлива при любом основании.)

Графики трёх наиболее часто используемых логарифмических функций: двоичного, натурального и десятичного логарифмов.

Поясним это на простом примере умножения чисел 1265 и 432. Пусть в нашем распоряжении имеется таблица десятичных логарифмов. Тогда находим по ней lg 1265 и lg 432, подсчитываем их сумму. Получили логарифм ответа, который находим снова по таблице. В математической форме то, что мы проделали, выглядит так:

lg 1265·432 = lg 1265 + lg 432 ≈ 3,1020905+ + 2,6354837 = 5,7375742 ≈ lg 546480. Ответ: 1265·432 = 546480.

Точность ответа определяется числом знаков, с которым вычислены логарифмы в таблице.

На рубеже XVI—XVII веков такая замена была особенно долгожданной, поскольку развивающиеся науки требовали всё большего количества вычислений. По словам французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749—1827), открытие логарифма как бы подарило учёным, в первую очередь астрономам, дополнительные годы жизни за счёт значительного сокращения громоздких расчётов.

Логарифмы Непера

Как же Непер вычислял свои логарифмы? Со времён Архимеда было известно, что если составить последовательность целых чисел x в виде арифметической прогрессии и подставить эти числа в выражение (1), то полученные значения величины y будут располагаться в геометрической прогрессии — каждое следующее число будет больше предыдущего в A раз. Однако при попытке перейти в формуле (1) к дробным, а тем более к иррациональным величинам x возникали сложности, которые до Джона Непера никому так и не удалось решить. Фактически надо было перейти от последовательностей целых чисел к непрерывной функции с произвольным значением показателя степени x.

Гениальность подхода Джона Непера заключалась в том, что он для вычислений использовал так называемый кинематический метод. Непер задал равномерное движение точки x, которому соответствовало равнозамедленное движение точки у.

При вычислении логарифмов Джон Непер использовал кинематический метод. Он сопоставил движение двух точек по двум прямым: равномерное движение точки N на бесконечной прямой с началом в точке N0 и движение точки M на прямой конечной длины М0R. Скорость движения точки M равномерно уменьшалась пропорционально расстоянию, которое ей оставалось пройти до конечной точки R. При устремлении точки N в бесконечность точка M стремилась в точку R, не имея возможности её достигнуть. Если отметить на обеих прямых положения точек M и N, в которых они будут находиться через несколько равных промежутков времени, то на шкале логарифмов N получается арифметическая прогрессия, а на шкале аргументов M образуется прогрессия геометрическая из расстояний между соседними положениями этой замедленно движущейся точки. Такое соответствие точек на двух прямых как раз и представляло искомую логарифмическую зависимость между величинами.

Для расчётов, чтобы избежать отрицательных и дробных значений логарифмов новой функции, Непер сделал её убывающей: он умножал значения логарифмов на 10 миллионов и постулировал, что «логарифм» от 10 миллионов равен нулю.

По сути, Джон Непер предвосхитил дифференциальное исчисление в те времена, когда ещё не было самого понятия функции, функциональной связи между величинами. Для читателей, знающих высшую математику, скажем, что его зависимость между х и у выражается несложным дифференциальным уравнением:

Решение этого уравнения как раз и даёт логарифмическую зависимость в виде y = C − 10 7 ln x. Неопределённый коэффициент C у Непера из условия y(10 7 ) = 0 равен С = 10 7 ln(10 7 ) = 161180956,5.

Таким образом, полученная функция, которую Непер назвал логарифмом, заметно отличается от логарифмов современных, так как на самом деле имеет вид:

Её во избежание путаницы называют «неперов логарифм».

— фактическое основание логарифма непера, сам Непер основание логарифма не вводил.

Термин «логарифм», впервые использованный Непером, состоит из двух древнегреческих корней: λóγος — «отношение» и άριθμος — «число».

Логарифмы Непера были рассчитаны для тригонометрических функций углов, находящихся в диапазоне 0—90 о с шагом в одну угловую минуту, с точностью до восьмого знака. Итогом расчётов стала первая в истории человечества таблица логарифмов. Она действительно позволяла заменить умножение многозначных чисел сложением, а их деление вычитанием, хотя это получалось немного более сложным образом, чем при использовании современных логарифмических функций.

Синусы, косинусы и тангенсы присутствовали в этих таблицах из-за того, что основной целью Непера являлось упрощение тригонометрических вычислений, с которыми связаны многие его работы. Надо отметить среди научных заслуг Джона Непера также вывод ряда формул из сферической тригонометрии, которые носят его имя.

Как ни странно, логарифмы Джону Неперу потребовались не для научных, а для астрологических расчётов, в которых он их активно применял. Непер вообще был личностью загадочной: одевался в чёрные одежды, ходил с чёрным петухом, сидящим на плече, а в коробочке с собою носил чёрного паука. Увлекался магией, опубликовал собственное толкование книги «Апокалипсис» («Откровения Иоанна Богослова»).

Непер использовал оригинальные формулы для вычисления логарифмов и больше полагался на интуицию, чем на строгие доказательства. Из-за этого в его алгоритме была допущена ошибка, делавшая неверными цифры после шестого знака, что, впрочем, не помешало популярности метода. Таблицы Непера с подробным описанием их составления и использования до сих пор вызывают удивление и восхищение как пытливостью ума их автора, так и его терпением и настойчивостью.

Соавторы и продолжатели

Над созданием подобных таблиц в то время работали учёные разных стран. Вторым «отцом» логарифмов считают швейцарца Йоста Бюрги (1552—1632), известного часовщика и изобретателя секундной стрелки, который работал независимо от Непера. Он потратил на создание собственных таблиц логарифмов более восьми лет. Произведя свыше 230 миллионов последовательных умножений, Бюрги составил с высокой точностью геометрическую прогрессию со знаменателем: 1,0001.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Источник

Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?

Логарифмы — традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно — уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм — это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.

Итак, поехали знакомиться.)

Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:

Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате — это четыре.)

А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

И снова пробуем подобрать икс…

Что, никак не подбирается? Два в квадрате — это четыре. Два в кубе — это уже восемь. А у нас — пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)

Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой — уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа — равноправные партнёры.)

На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс — какое-то дробное число между двойкой (2 2 = 4) и тройкой (2 3 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…

Математика решает данную проблему очень просто и элегантно — введением понятия логарифма.

Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:

Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!

Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:

А произносится эта запись вот так: «Икс равен логарифму пяти по основанию два.»

Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!

И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!

Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?

Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:

x = log₂5 = 2,321928095…

Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…

Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…

Например, решая показательное уравнение

про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.

А вот, решая уравнение, скажем, такое

вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:

Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:

И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ — посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был — логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)

Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.

Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?

А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.

Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?

Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:

b — собственно сама степень.

А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:

А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?

Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:

«Эн» (n) — это число, в которое надо возвести «a», чтобы получить «b». Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма — это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.

Простейшие примеры с логарифмами.

А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.

Скажем, если где-то в уравнении вы получили

то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:

А как мы поняли, что log₃9=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три — это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)

А чему равен, скажем, log₅125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!

Стало быть, log₅125 = 3.

В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!

Вот вам и ответ: log₇7 = 1

А вот такой пример как вам?

И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней .) Да! В нулевую! Вот и пишем:

Уловили принцип? Тогда тренируемся:

Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.

Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения — надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)

Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)

Решаем вот такой пример:

Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что

Стало быть, можно смело записать:

В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка — это корень квадратный из четырёх:

А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:

Поэтому наш логарифм будет равен:

Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) — в следующем уроке.

Источник

Для чего придумали логарифмы

Изучение темы «Логарифмы» начинается с определения:

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Обычно, такая первая встреча с логарифмами не вызывает у учеников особой радости и энтузиазма, логарифм невольно ассоциируется с чем-то трудным. Многие ворчат: «Ну, кому понадобились эти логарифмы?».

Я тоже задумался над этим и решил узнать мнения людей, окончивших школу, по этому вопросу. Результаты меня озадачили: из 20 опрошенных 15 (75%) считают, что логарифмы не нужно изучать. Так может быть они действительно не нужны? Меня очень заинтересовала эта проблема.

Предмет исследования – частные вопросы создания и применения логарифмов.

Проблема: логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?

Гипотеза: логарифмы нужны современному человеку.

Существует связь между звездами, шумом, музыкой, природой и логарифмами.

Цель работы – доказать необходимость изучения логарифмов.

Для достижения своей цели, я выдвинул следующие задачи:

найти, собрать и проанализировать материал по истории возникновения логарифмов;

проанализировать, где в природе встречаются логарифмы;

проанализировать, в каких сферах жизнедеятельности человека применяются логарифмы;

сделать соответствующие выводы по исследовательской работе.

При проведении исследования были использованы следующие методы исследования:

анализ существующей литературы по рассматриваемой проблеме (метод научного анализа).

обобщение и синтез точек зрения, представленных в литературе (метод научного синтеза и обобщения).

моделирование на основе полученных данных авторского видения в раскрытии поставленной проблемы (метод моделирования).

2.1. История возникновения и развития логарифмов

Изобретение логарифмов, сократив

работу астронома, продлило ему жизнь.

Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.

Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.

Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую при b₁ = 2, q = 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (*)

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Но это еще не все. С помощью указанных двух строк (*) действие возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.

Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы. В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.

Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов.

Прежде всего, теоретическая подготовка учения о логарифмах тесно связана с развитием понятия степени. Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта (ок. 3 в.) из Александрии. Им, а возможно и его предшественниками, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степеней. С течением времени символика совершенствовалась, и эта идея получила дальнейшее развитие. Так, много позже, французский врач и математик Никола Шюке (ок. 1445 – 1500) в своем трактате «Наука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени. Ещё раньше, в 14 веке, епископ города Лизье в Нормандии Николай Орем (ок. 1323 – 1382), исходя из соображений о возможности вставлять в арифметическом ряду между натуральными числами дробные, высказал мысль о том, как надо выражать в рядах (*) соответствующие величины геометрического ряда. Таким образом, он пришел к степеням с дробным показателем.

Особое внимание сопоставлению арифметического и геометрического рядов уделял Михаэль Штифель (1487 – 1567). Подобно Шюке и Орему Штифель пришел к мысли о дробных показателях. Кроме того, сопоставляя ряд натуральных чисел, начинающихся единицей, он отмечал, что соответствующий единице показатель есть нуль, т.е. что a 0 = 1. Числам верхнего ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (exponent).

Но, кто же стал автором первых таблиц логарифмов, позволяющих свести более сложные действия к более простым?

В истории науки иногда наступают моменты, когда необходимость некоторого открытия осознается многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. Однако создатели первых логарифмических таблиц подходили к изобретению нового удобного средства для упрощения вычислений по-разному. Те соображения, которые мы выдвинули чуть раньше, пытаясь предугадать, каким путем пойдет создатель логарифмов, пожалуй, больше всего подходят к Бюрги.

Таблицы Иоста Бюрги были ещё очень несовершенны, правила работы с ними достаточно трудоемки, а многие результаты приходилось находить с помощью дополнительных приближенных приемов вычислений.

Бюрги очень медлил с опубликованием своих таблиц. Они вышли в свет лишь в 1620 году под названием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Но значительного распространения эти таблицы не получили, так как к моменту опубликования таблиц Бюрги ученому миру уже семь лет были известны другие таблицы, которые составил шотландский барон Джон Непер (1550 – 1617).

Интересно, что наряду с вышеуказанными таблицами существовали ещё одни таблицы, которыми можно было пользоваться как средством для упрощения вычислений. Однако их автор не заметил этого, подразумевая совсем иное назначение своих таблиц. Речь идет о таблицах процентов шотландского ученого и инженера Симона Стевина (1548 – 1620).

Итак, можно заметить, что в один смысловой блок собираются такие понятия, как арифметическая и геометрическая прогрессии, степень, проценты, формула сложных процентов и логарифмы.

2.2. Применение логарифмов для познания окружающего мира

Если в 16 веке логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Вопрос правомерен. Ведь не изучают же в современной школе такие старые средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней и прочее. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.

Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Ряд явлений природы помогает описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. (см. Приложение 1.) Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

a ) Логарифмическая спираль в природе.

Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбирают именно логарифмическую спираль?

Немецкий биолог Румблер в 1910 году выдвинул теорию постоянного краевого угла при построении раковин улиток. Он исходил из того, что материал, из которого строятся раковины, вначале должен быть жидким, и в жидком состоянии попадает на край уже существующей части раковины где, естественно, всегда образуется постоянный краевой угол. Под этим углом жидкость затвердевает, и снова начинается та же игра. Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.

Но не только раковины многих моллюсков, улиток, а даже рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали (см. Приложение 3.)

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины, но и в подсолнухе семечки (см. Приложение 4) расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространённых пауков – эпейра, сплетает нити паутины вокруг центра по логарифмическим спиралям (см. Приложение 5).

b ) Звёзды, шум и логарифмы.

Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов по основанию 2,5.

Рассмотрим несколько примеров. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бел, рычание льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в раз.

Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, и то, и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

c ) Логарифмическая спираль в технике.

Логарифмическая спираль знаменита не только тем, что её образы достаточно широко встречаются в природе, но и своими удивительными свойствами.

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали (см. Приложение 7).Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины (см. Приложение 7). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение и направление течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. И через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей (см. Приложение 7) с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

d) Логарифмы и музыка.

«Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?»

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Логарифмируя эту формулу, получаем

lg = lg n + m lg 2 + + p ( lg 2)/12,

lg = lg n + (m + p/12)lg2.

Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2. имеем

e ) Логарифмы в разных отраслях науки

Логарифмы – это математическое понятие, которое применяется во всех отраслях науки: химии, биологии, физике, механике, информатике, электротехнике, географии и многих других.

Статистика постоянно использует понятие среднего. Средняя численность населения, средний уровень инфляции, средняя заработная плата и т.д. Для нахождения средних величин существует коэффициент усреднения он равен ln=2.

Сведения, собранные мною в данной работе, — это далеко не всё, что можно рассказать о логарифмах. В заключении обратимся еще раз к основной идее. Мы, обучаясь в школе, не просто впитываем некоторый набор информации. Мы усваиваем научные данные об окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот период складывается картина мира, и чем полнее и объективнее она будет, тем лучше мы будем понимать и оценивать окружающую нас жизнь, тем более полноценными людьми будем себя ощущать. Поэтому стоит изучать вопросы, без которых картина мира будет неполноценной. С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления.

Результаты моего исследования следующие:

В ходе проведения исследовательской работы я нашел подтверждение словам Галилео Галилея «Великая книга природы написана математическими символами»;

Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;

Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами;

Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.

Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции.

Выяснил, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.

Материалы исследования имеют практическую значимость и могут быть использованы для дальнейшего изучения данной, столь увлекательной, на мой взгляд, темы.

Гипотеза моего исследования, что логарифмы нужны современному человеку, действительно подтвердилась.

Я постарался проследить, как в ходе истории возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась их значимость. Показал применение логарифмов в современном мире. Тем самым, я смог доказать, насколько важно изучать логарифмы для познания окружающего мира.

Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,2016.

Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004

Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ.- М.:Мнемозина,2017.

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,2016.

Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981.

Самсонов П.И. «Математика»:«Полный курс логарифмов. Естественнонаучный профиль». «Школьная пресса», М.2005

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.

Приложение 1. Логарифмическая спираль.

Приложение 2. Раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.

Приложение 3. Рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Приложение 4. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

Приложение 5. Паук – эпейр сплетает нити паутины вокруг центра по логарифмическим спиралям.

Приложение 6. По логарифмическим спиралям также закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Приложение 7. Лезвия вращающихся ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины.

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Источник