Для чего строится гистограмма при оценивании погрешности многократных измерений

Обработка результатов многократных измерений

Точечная оценка результатов измерений.В практике многократ­ных измерений наибольшее распространение получили точечные и интервальные оценки результатов измерений.

Оценку – числовой характеристики закона распределения случайной величины X_i изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оценкой. В отличие от числовых характерис­тик, оценки являются случайными величинами, значения кото­рых зависят от числа измерений.

Для производственных условий наиболее характерными явля­ются однократные измерения либо многократные измерения, при­чем количество многократных измерений одной и той же величи­ны невелико (n = 5–6 измерений).

Можно говорить лишь о точечной оценке результата измерения. Число измерений невелико, поэтому отделить случайную погреш­ность от систематической не представляется возможным. Посколь­ку измерения осуществляют, как правило, в нормальных услови­ях, то вероятность промахов можно считать достаточно малой.

Результат измерения или среднее значение неоднократно изме­ряемой величины (при n = 5–6 измерений) принимается в каче­стве истинного, а решение о годности размера выбирают исходя из условия, что результат измерения не выходит за предел некото­рой заранее заданной величины, например допуска на изготовле­ние. При этом предельная погрешность средства измерения ±Δlim не должна превышать допускаемой погрешности измерения δ, за­даваемой ГОСТ 8.051–81 в зависимости от допуска на измеряе­мую величину ±Δlim ≤ δ. К точечным оценкам предъявляются тре­бования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа измерений она приближается (сходится по вероятности) к значе­нию оцениваемого параметра, X → при n → ∞.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожи­дание равно оцениваемой величине, т.е. X = .

Оценка называется эффективной, когда её дисперсия является наименьшей S 2 = min.

Из теории вероятностей известно, что среднее арифметическое значение измерений является несмещенной оценкой истинного значения, а СКО среднего арифметического значения – S – состоятельной и эффективной и определяется по формуле (2.4).

В этом случае точечная оценка результата измерения должна быть представлена в виде:

= …; S = …; n = …,

что позволяет сделать определенные, хотя и достаточно прибли­женные выводы о точности проведенных измерений.

Пример 3. При измерении размера вала Ø55u8 получены следующие результаты, мм:

Провести точную оценку результатов измерений:

мм;

мм.

Таким образом, результат измерений

= 55,12 мм; σ = 0,02 мм; n = 5.

Результат измерения представляем в форме: ± S = (55,12 ± 0,02) мм.

Интервальные оценки результатов наблюдений. Действительный размер – это размер, полученный в результате измерения с допу­стимой погрешностью измерения. Точечные оценки результатов измерения не позволяют в должной мере оценить достоверность измерения. Формулы (2.1) – (2.3) определяют статистические оцен­ки размеров, т.е. приближенные значения их истинных величин, имеющих место в действительности. Степень приближения истин­ных величин, или точность каждой из оценок, определяется поло­виной ширины построенного для нее доверительного интервала.

Доверительным интервалом параметра X основной совокупно­сти, т.е. совокупности всех возможных значений погрешности, называется интервал вида

где – математическое ожидание параметра X, определяемое по формуле (2.1);

S – СКО, определяемое по формуле (2.2);

n – число измерений; t_β – коэффициент, определяемый из таблиц рас­пределения Стьюдента при n ≤ 30 при заданной доверительной вероятности Р и k = n –1, называемым числом степеней свободы.

Результат измерений в этом случае записывается в виде:

при доверительной вероятности Р.

Значения доверительных интервалов увеличиваются с увеличением доверительной вероятности Р и уменьшаются с увеличением количества наблюдений.

Пример 4. В результате измерений вала, выполненного по Ø50b10 получены следующие результаты, мм:

Определить доверительный интервал результатов измерений с доверительной вероятностью Р = 0,95.

мм;

мм;

t_β = 0,27 – при k = 4, Р = 0,95.

Граница доверительного интервала

мм.

Результат измерений записывают в виде:

± ε_β = (49,78 ± 0,05) мм (при n = 5; Р = 0,95).

Это означает, что истинное значение измеряемого размера с вероятностью 0,95 находится в пределах от 49,73 до 49,83 мм при заданном числе измерений.

Методы проверки нормального закона распределения случайных величин. При статистической обработке результатов измерений осо­бую роль играет проверка соответствия распределения случайных величин нормальному закону, которому чаще всего подчиняются результаты большинства случайных измерений, что необходимо для обоснованного выбора доверительных границ результатов из­мерений и оценки точности измерений. В наибольшей степени этой цели соответствует критерий χ 2 (критерий Пирсона).

При использовании критерия Пирсона количество измерений должно быть не менее 40.

Обычно принимается следующий порядок решения задачи.

2) Для каждого интервала подсчитывают частоты m_i, равные количеству результатов, лежащих в каждом i-м интервале.

3) Определяют частость появления величин Р_i* в каждом интервале:

где n – общее количество измерений, индекс «*» означает статическую оценку.

4) Находят оценку средней плотности распределения р_i* случай­ной величины X_i в каждом интервале Δ X_i:

,

где n_i – количество измерений в i – м интервале.

5) Строят гистограмму распределения величины X_i откладывая по оси абсцисс результаты наблюдений в виде интервалов Δ X_i в порядке возрастания индекса i, а по оси ординат – оценку сред­ней плотности распределения р_i, получая тем самым прямоуголь­ник с высотой р_i*.

Естественно, что площадь всех построенных прямоугольников равна единице, поскольку в нее входят все 100 % наблюдений

.

При построении гистограммы число интервалов г выбирают в зависимости от числа измерений и исходя из соотношений: при n = 40. 100 г = 7. 9, а при n = 100. 500 г = 8. 12, а масштабы по осям гистограммы рекомендуется принимать такими, чтобы отно­шение ее высоты к основанию составляло 5:8.

6) Соединяя середины отрезков, получают полигон распределе­ния. Характер ломаной линии позволяет сделать предположение о виде распределения, что дает возможность с большей долей веро­ятности подобрать соответствующую кривую распределения.

Если СКО и математическое ожидание полигона распределе­ния близки к значениям СКО и математическому ожиданию кри­вой нормального распределения, то этот вид распределения мож­но положить в основу гипотезы о правомерности такого предполо­жения.

Поскольку предположение основано на результатах опытных данных случайных величин, оно должно быть подтверждено обыч­ными методами математической статистики по критериям согла­сия. При числе наблюдений более 40 рекомендуется принимать критерий согласия χ 2 – Пирсона.

При этом возможны два вида ошибок: ошибка первого рода, со­стоящая в том, что в силу случайного характера результатов измерений отвергают верную гипотезу. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости q = 1 – α., где α – уровень доверительной вероятности, и выбирают в пределах 0,05…0,10.

Принимая неверную гипотезу, совершают ошибку второго рода, – q_i, значение которой колеблется в пределах 0,95…0,9 соответственно. Физический смысл которой состоит в том, что принимают ошибочное решение о несоответствии распределения случайной величины X_i правильно выбранному теоретическому распределению.

Пример 5. При контроле размера Ø было сделано 100 из­мерений, причем все они оказались лежащими в диапазоне 8,911. 8,927, т.е. зона разброса размера составляет 8,911 – 8,927 = 0,016 мм. В этом случае весь диапазон целесообразно распреде­лить на 8 интервалов равной длины через 0,002 мм.

Значения величин, полученных при вычислениях, представле­ны в виде табл. 2.5.

По результатам расчетов строим гистограмму и полигон рас­пределений.

Характер распределения позволяет высказать предположение о нормальном законе распределения, однако эта гипотеза должна быть проверена по критерию χ 2 – Пирсона. С этой целью:

проводят группировку данных измерений аналогично ранее описанному принципу. Если в интервале оказывается менее 5 из­мерений, его объединяют с соседним;

определяют среднее арифметическое значение и оценку СКО S, которые принимают за параметры теоретического нормально­го распределения с плотностью вероятности Р_Х(Х);

находят вероятность попадания в интервал результатов измере­ний по формуле

,

где х_i и х_i+1 – результаты измерений в i-м и (i +1)-м интервалах;

вычисляют величину χ_i 2 (i = 1, 2, …, r) для каждого интервала, затем меру расхождения χ 2 при числе степеней свободы k = r – 3.

Задавая уровень значимости q = 1 – α, значения и находят по таблицам интегральной функции распределения χ_k 2 (таблицы интегральной функции χ 2 – распределения Пирсона, значения χ 2 _{х, Р} для различных k и P).

Если расчётное значение оказывается в найденных пределах – распределение результатов измерений принимают нормальным.

Пример 6. Проверить на соответствие нормальному закону по­лученное распределение в предыдущем примере (табл. 2.5) и пред­ставленного гистограммой (рис.2.2). Статистические характерис­тики наблюдений:

= 8,91936 мм и S = 0,0028 мм.

Вычисления запишем в табл. 2.6. Плотности нормированного нормального распределения Р(t_i) взяты из таблицы дифференци­альной функции нормированного нормального распределения, а число степеней свободы k = 8 – 2 –3 = 3, поскольку два первых и два последних интервала объединены в один (в пер­вом и последнем частота наблюдений m_i 2

Поскольку соблюдается соотношение 0,352

Дата добавления: 2016-02-04 ; просмотров: 4136 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Построение гистограммы распределения погрешностей

Определение среднеквадратической погрешности результата измерения

Вычислить значение среднеквадратической погрешности результата измерения, т.е. погрешности σ_A, с которой определено среднеарифмети­ческое значение R_ср: . Результаты вычисления включить в табл. 1.1. При этом обратить внимание на то, что при увеличении числа наблюдений в n раз среднеквадратическая погрешность результата измерения уменьшается в раз по сравнению с погрешностью отдельного наблюдения.

Указанное построение проводится для качественной проверки соответствия закона распределения погрешностей, полученных при многократных наблюдениях, нормальному закону распределения. Построение гистограммы провести в следующем порядке.

1 Выбрать величину ин­тервала статистического ряда погрешностей а (рис.1.3), для чего по табл.1.1 найти наиболь­шие по величине остаточные погрешности R_i разных знаков, по их разности определить диапазон наблюда­емых погрешностей b, разделить его на число интервалов r. Тогда интервал a = b/r. Принять r = 6. Если b не делится на r точно, то частное округлить до одной – двух значащих цифр.

2 Заполнить таблицу статистического ряда (табл.1.2). Для этого по табл.1.1 подсчитать число S_j остаточных погрешностей, лежащих в интервале 0 – a, а – 2а, 2а – 3а отдельно с плюсом и минусом. Числа S_j записать в табл. 1.2. В ту же таблицу внести частоты появления погрешностей, определяемые для каждого интервала как отношение числа погрешностей S_j к общему числу погрешностей n. Погрешности, точно совпадающие по значению с границей интервала, могут быть отнесены либо к j–1 интервалу, либо к j интервалу. Например, если таких погрешностей две, то их целесообразно разделить между смежными интервалами. Для определения высот прямоугольников гистограммы (см. рис.1.3) нужно частоты появления погрешностей разделить на величину интервалов. Вычисленные значения S_j/na внести в табл.1.2.

Интервалы	0 – a	a – 2a	2a – 3a
Знак погрешностей	+	–	+	–	+	–
Число остаточных погрешностей Sj
Частоты появления погрешностей Sj / n
Высоты прямоугольников гистограммы Sj / na
Середины интервалов Ri
P( Ri)

3 Построить гистограмму, для чего по оси абсцисс отложить численные значения интервалов ±a, ±2a, ±3a. На каждом интервале, как на основании построить прямоугольник, площадь которого равна частоте появления погрешностей, лежащих в данном интервале. Значения высот прямоугольников взять из табл.1.2. Площадь гистограммы равна единице (из построения).

4 Построить на том же графике теоретическую кривую нормального распределения в соответствии с уравнением (1.1). Значения P(DR_i) опре­делить для точки DR_i = 0 и середин интервалов DR_i = ±a/2; ±3a/2, ±5a/2. Полученные значения занести на построенную гистограмму. Соединить нанесенные точки плавной кривой. Сравнить гистограмму с теоретической кривой нормального распределения.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Обработка результатов многократных измерений

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут, и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть однократным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования – достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

Поэтому в случае, когда случайная составляющая погрешности однократного измерения может превысить требуемые по условиям задачи значение, выполняют ряд последовательных отдельных измерений и получают одно многократное измерение, погрешность которого может быть уменьшена методами математической статистики.

Многократным называют измерение физической величины одного размера, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений, то есть состоящее из ряда однократных измерений.

Из опыта известно, что ни одно измерение, как бы тщательно оно не проводилось, не может дать абсолютно точный результат, вследствие чего часто говорят о наличии ошибок и погрешностей при проведении измерительного эксперимента. Всегда существует множество факторов, в том числе и случайных, приводящих к искажениям получаемой измерительной информации.

При условии исключения из результатов экспериментов систематических и грубых ошибок, остается лишь случайная составляющая погрешности. Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов, каждый из которых не проявляет себя отчетливо. Поэтому случайные ошибки при многократных измерениях получаются различными как по величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Анализ случайных ошибок является важнейшим разделом математической обработки экспериментальных данных.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей математической обработкой опытных данных. Поэтому наибольшее значение имеет изучение погрешности как функции номера наблюдения, т.е. времени ∆(t). Тогда отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой функции:

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале.

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Рассмотрим результат наблюдений х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения X_i будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X_i в i–м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х:

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие – значений, принимаемых случайными величинами.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

Свойства плотности распределения вероятности:

― – вероятность достоверного события равна 1; иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

― – вероятность попадания случайной величины в интервал от х1 до х2.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность – величина безразмерная.

Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n–го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n–го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Вычислим первый центральный момент:

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность P <|δ|>2 _x результатов наблюдений, т. е.

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

а оценку среднеквадратического отклонения результатов наблюдений как

Дисперсия оценки S_x среднеквадратического отклонения составляет

С помощью полученных оценок итог измерений можно записать в виде

что уже позволяет сделать некоторые выводы относительно точности проведенных измерений.

В настоящее время большое распространение получила оценка с помощью интервалов. Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия σ 2 _x Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал (m_x – t_pσx, m_x + t_pσx). Согласно формуле для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t_p)

и, если систематические погрешности исключены (m_x=Q),

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью P=2Ф(t_p)–1 находится между границами доверительного интервала (X – t_pσx, X + t_pσx).

Половина длины доверительного интервала t_pσx называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0,95 или Р=0,995 и по формулам

определяют соответствующее значение 2Ф(t_p) интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным таблицы 1 приложения находят значение коэффициента t_p и вычисляют доверительное отклонение t_pσx Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений X_i (i=l, 2. n) распределены нормально, то нормально распределены и величины X_i/n, а значит, и среднее арифметическое, являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство

где t_p определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в «корень из» n раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

где S(t,k) – плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n–1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (‑t_p, +t_p), согласно выражению, вычисляется по формуле:

или, поскольку S(t,k) является четной функцией аргумента t,

Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через истинное значение результата, точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений, получим окончательно

Величины t_p, вычисленные по этим формулам, были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0,10 – 0,99 при k=n–1=1,2,…,30. В таблице 5 приведены значения t_p для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Итог измерений записывается в виде

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин X_i/n будет сколь угодно близким к нормальному.

Таблица 5– Коэффициент Стьюдента

Если эксперимент состоит в многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, то результатом измерения является группа из n независимых показаний (измерений), составляющих массив экспериментальных данных. Главной особенностью измерительного эксперимента, проводимого с использованием статистической обработки полученных данных, является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации.

При статистической обработке многократных показаний решаются три основные задачи:

― оценивание области неопределенности исходных экспериментальных данных;

― нахождение более точного усредненного результата измерения;

― оценивание погрешности этого усредненного результата, то есть более узкой области неопределенности.

При практическом выполнении статистической обработки многократных показаний необходимо знание методов определения по экспериментальным данным числовых характеристик распределений случайной величины. Основной смысл усреднения многократных показаний заключается в том, что найденная усредненная оценка координаты их центра имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные показания, по которым она находится. При этом принципиальным является допущение, что показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности. Справедливость этого допущения необходимо проверять.

Правдоподобно или нет допущение о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности, можно предварительно оценить по виду гистограммы, построенной на основании полученных экспериментальных данных (рисунок 6).

Рисунок 6 – Гистограмма

Для отображения n полученных показаний СИ в виде гистограммы область численных значений между наименьшим и наибольшим показаниями L = Q_max ‑ Q_min делят на интервалы одинаковой ширины ΔQ и определяют число показаний n_k, попавших в каждый из полученных интервалов. Полученные результаты изображают графически, откладывая по оси абсцисс полученные максимальное и минимальное показания с обозначением границ интервалов между ними, а по оси ординат – величину n_k/(nΔQ). Построив над каждым из интервалов прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой – n_k/(nΔQ), получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения вероятности полученных показаний в данном эксперименте. Относительную частоту попаданий n_k/n можно условно приравнять к вероятности попадания в конкретный интервал, а высоту прямоугольника считать равной эмпирической плотности вероятности р_k = n_k/(nΔQ). Тогда площадь каждого прямоугольника равна вероятности попадания в интервал, а площадь всех прямоугольников будет равна единице, что соответствует условию нормировки (k – число интервалов):

.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований столбцов гистограммы. Полученная таким образом кусочнолинейная аппроксимация более наглядно, чем гистограмма, отражает форму искомой кривой распределения

При практической обработке результатов измерений можно последовательно выполнить следующие операции:

1. Записать результаты измерений;

2. Вычислить среднее значение из n измерений:

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений V_i 2 ;

5. Если несколько измерений резко отличаются по своим значениям от остальных измерений, то следует проверить не являются ли они промахом. При исключении одного или нескольких измерений п.п.1. 4 повторить;

6. Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений:

7. Задается значение надежности a;

8. Определяется коэффициент Стьюдента t_a(n) для выбранной надежности a и числа проведенных измерений n;

9. Находятся границы доверительного интервала: Dх = t_a (n)S_a

10. Если величина погрешности результата измерений (п. 9) окажется сравнимой с величиной d погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину:

11. Записать окончательный результат: X = a ± Dx;

12. Оценить относительную погрешность результата серии измерений:

13. Результат измерений записывается в виде

Источник