Додекаэдр что это за фигура
Додекаэдр
| Додекаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | Правильный многогранник |
| Грань | Правильный пятиугольник |
| Граней | 12 |
| Рёбер | 30 |
| Вершин | 20 |
| Граней при вершине | 3 |
| Длина ребра |  |
| Площадь поверхности |  |
| Объём |  |
| Радиус описанной сферы |  |
| Радиус вписанной сферы |  |
| Группа симметрии | Икосаэдрическая (Ih) |
| Двойственный многогранник | икосаэдр |
Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.
Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.
Содержание
Основные формулы
Если за длину ребра принять 
, то площадь поверхности додекаэдра:
Радиус описанной сферы:
Радиус вписанной сферы:
Свойства
Элементы симметрии додекаэдра
Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
Тела в форме додекаэдра
Интересные факты
Примечания
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Додекаэдр» в других словарях:
ДОДЕКАЭДР — (греч., от dodeka двенадцать, и hedra основание). Двенадцатигранник. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ДОДЕКАЭДР геометрич. тело, ограниченное двенадцатью правильными, т. е. равносторонними… … Словарь иностранных слов русского языка
додекаэдр — двенадцатигранник, многогранник Словарь русских синонимов. додекаэдр сущ., кол во синонимов: 2 • двенадцатигранник (4) • … Словарь синонимов
ДОДЕКАЭДР — (от греческого dodeka двенадцать и hedra грань), один из пяти типов правильных многогранников, имеющий 12 пятиугольных граней, 30 ребер и 20 вершин, в каждой из которых сходятся 3 ребра … Современная энциклопедия
ДОДЕКАЭДР — (от греч. dodeka двенадцать и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 12 граней (пятиугольных), 30 ребер, 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра) … Большой Энциклопедический словарь
ДОДЕКАЭДР — муж., греч. двенадцатигранник; тело, ограниченное двенадцатью правильными пятиугольниками: оно образуется из шара, срезкою отсеков. | Гранка (кристалл) о двенадцати природных гранях. Додекаэдрический, двенадцатигранный. Толковый словарь Даля. В.И … Толковый словарь Даля
ДОДЕКАЭДР — в кристаллографии двенадцатигранник. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия
додекаэдр — додекаэдр. Произносится [додэкаэдр] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке
додекаэдр — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN dodecahedron … Справочник технического переводчика
Додекаэдр — (от греческого dodeka двенадцать и hedra грань), один из пяти типов правильных многогранников, имеющий 12 пятиугольных граней, 30 ребер и 20 вершин, в каждой из которых сходятся 3 ребра. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Додекаэдр — (от греч. dódeka двенадцать и hédra грань) один из пяти типов правильных Многогранников. Д. имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер, 20 вершин (в каждой вершине сходятся 3 ребра). Если а длина ребра Д., то его объём … … Большая советская энциклопедия
Додекаэдр – это. Определение, формулы, свойства и история
Додекаэдр – это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.
Общие понятия о фигуре
Додекаэдр – это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает «фигура с 12-ю гранями». Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.
Геометрические свойства правильного додекаэдра
Вам будет интересно: Кыргызстан или Киргизия: одно и то же ли это государство?
Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.
Математические формулы для правильного додекаэдра
Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:
Симметрия правильного додекаэдра
Вам будет интересно: Генерал Роберт Ли: биография, семья, цитаты и фото
Как видно из рисунка выше, додекаэдр – это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.
Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.
Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:
Современное использование додекаэдра
В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:
Историческая справка
Как выше было сказано, додекаэдр – это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.
Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).
Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр – это огонь; куб – земля; октаэдр – воздух; икосаэдр – вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.
Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.
Додекаэдр и сакральная геометрия
Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.
Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.
Римский додекаэдр
В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.
Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.
Ответ на вопрос — зачем в древности был нужен и как использовался «Римский додекаэдр».
Римский додекаэдр – загадочный, таинственный предмет. Он начал использоваться в Европе с приходом туда римлян в I веке до нашей эры, а потом был забыт. Его назначение ученые не могли раскрыть не одну сотню лет.
«…Есть много людей, которые трудятся над тем, чтобы разрешить разные вопросы, а когда они разрешены, то оказывается. Что они и гроша ломанного не стоят».
(«Дон Кихот», Мигель Сервантес).
«Римские додекаэдры» были найдены археологами во множественном числе на территории стран современной Западной Европы (Франции, Великобритании, Бельгии, Германии, Швейцарии, Голландии, Италии и других).
Время изготовления найденных додекаэдров относят к I — IV векам нашей эры. В основном они были сделаны из бронзы, реже из свинца и из камня. В музеях и запасных фондах, перечисленных стран хранится более сотни таких предметов.
Есть также каменные монолитные камни-додекаэдры с закругленными гранями без отверстий, есть с треугольными гранями икосаэдры, но не о них речь. Они имели своё (быть может не столь практически важное) предназначение.
На карте Европы отмечено, где нашли додекаэдры.
Археологи находили додекаэдры в разных местах: в захоронения людей, в кладах монет, четыре штуки нашли на развалинах римской дачи, один в Помпеях (Италия) в шкатулке с женскими украшениями, магическими предметами и прочее.
О чём говорят места находок? – Что предметами пользовались в помещениях, они были необходимыми принадлежностями личного (семейного) употребления и от части (судя по различным простейшим внешним украшениями на них, отделкой серебром) выполняли декоративную функцию. Примерно, как в наши дни на ручках столовых приборов (ложек, вилок, ножей) делают незамысловатые узоры.
Предназначение их было на многие века забыто. В исторических описаниях о нём ничего не было упомянуто, вероятно потому, что особо важного значения у него не было.
Новые археологические находки в XX веке нисколько не приоткрыли тайну завесы и не дали ключа к разгадке древнего римского додекаэдра.
Ученые выдвинули множество гипотез, придумывались: мистические, геодезические, военные, астрономические, математические, сельскохозяйственные версии, то их называли священными предметами пифагорейцев, то культовыми предметами друидов, элементами материи, то чуть ли не форма мироздания, позже подключились ученые с идеями молекулярного устройства и так далее… Всё, что придумано, было собрано в «одну кучу» и в результате ничего не получилось.
В Википедии перечислены некоторые предположения, как додекаэдры могли быть использованы, например: игральные кости, инструмент для калибровки труб, элемент армейского штандарта, дальномер, элемент для вязания, детская игрушка (современный спиннер). Некоторые исследователи говорили, что додекаэдры символизировали огонь.
Наиболее близкую к действительности версию высказали в 1907 году, заявив, что это подсвечник, круглую ставили в отверстие, чтобы она в нём лучше держалась, так как внутри одного додекаэдра был найден воск. Но все эти версии не имели сколько-нибудь существенного объяснения.
Тогда, что же это такое и каково было предназначение додекаэдра?
То, что внутри додекаэдра был найден воск послужит «ниточкой», чтобы размотать «таинственный клубок» исторической загадки.
Начнём с утверждения учёных о том, что первые свечи были придуманы в Древнем Египте ещё III тысячи лет до нашей эры. Пять или более тысяч лет назад.
Делали их из растения ситника, а фитиль из сердцевины высушенного тростника вымоченного в животном жире. Впоследствии для изготовления свечей стали использовать пчелиный воск. Для его большей пластичности при изготовлении свечей к расплавленному воску могли добавлять растительные или животные жиры.
Какие свечи есть в настоящее время знают все и когда-нибудь ими пользовались.
В древние времена в долгие тёмные вечера свечами освещали помещения. Расход свечей был большой. Свечи стоили не дёшево и не все имели возможность ими пользоваться ежедневно.
Для изготовления свечей и их практичного использования люди прикладывали ум – как сделать, чтобы управлять горением свечи, чтобы она лучше и дольше светила?
Малого диаметра свечи быстро сгорают, поэтому они для долгого освещения не годились. Поэтому делали толстые. Толстая свеча горит дольше, но у неё есть один недостаток — по мере горения фитиль с огнём опускается внутрь свечи, стенки её не успевают плавиться и она не дает света. Чтобы фитиль на большом пламени дольше не сгорал, его надо постоянно смачивать жиром (воском). Чтобы толстая свеча долго горела и при этом пламя фитиля не опускалось быстро во внутрь, нужно было равномерно плавить свечу по краям, чтобы расплавленный жир (воск) от краев свечи постоянно стекал к её центру. — Для этого и был придуман древними изобретателями «римский додекаэдр».
Судя по размерам найденных додекаэдров, древние свечи были также от 4- 11 см.
И возможно, что свечи были не всегда в сечении круглые, как сейчас (хотя круг для плавления свечи идеальная расходная форма). Свечи могли быть (в горизонтальном разрезе) и пятиугольником (фигура близкая к кругу). Но для додекаэдра это несуть важно, так как он мог быть использован одинаково полезно на круглой и пятиугольной свече.
Додекаэдр использовали, ставя его на горящую свечу — сверху.
Додекаэдры были разных размеров и применяли их в зависимости от толщины используемых свеч. Чем толще была свеча, тем крупнее использовался додекаэдр.
Свечи были разного размера в поперечнике и фитили (от толщины) тоже были разного диаметра. Поэтому и в гранях додекаэдра отверстия были разного диаметра, чтобы сделать его максимально универсальным для свечей многих размеров.
По мере горения свечи, для удлинения её срока пользования, додекаэдр много раз за вечер переворачивали, ставя попеременно на свечу гранями с отверстиями разного диаметра, для равномерности плавления воска,
Ближе к фитилю металл додекаэдра был горячее и воск под ним плавился быстрее, стекая в «кратер» к центру, а дальше от фитиля металл был холоднее и воск под ним плавился медленнее. Это позволяло увеличить время горения свечи, способствовало её полному равномерному плавлению и не позволяло воску стекать наружу по краям (как происходит с тонкими свечами).
Кроме того, додекаэдр защищал пламя свечи от ветра, так как каждый раз разжигать потухший огонь, в те времена было не просто.
Помимо всего, свет через круглые отверстия в гранях служил «декоративному» освещению помещения. Свечи и додекаэдр был всегда на видном месте, поэтому богатые люди, чтобы показать своё состоятельное положение иногда его украшали серебром. Например, в окрестностях Женевы в Швейцарии был найден маленький литой свинцовый додекаэдр с гранями 15 миллиметров, покрытый снаружи пластинками из серебра с латинскими зодиакальными знаками. То, что он был маленький по размеру, серебряный и украшенный знаками, говорит, что его владелец был богатый человек и позволял себе пользоваться тонкими (быстро сгорающими, дорогими) свечами.
Люди не меняются со временем и в наше время стараются приукрасить свой быт, используя дорогие бытовые вещи – тоже делали и раньше.
Додекаэдр, находясь на свече, от пламени фитиля становился горячим.
Поэтому, чтобы его можно было брать голыми руками и много раз переворачивать – на вершинах додекаэдра (не всегда, но часто) были сделаны шарики, которые нагреваются меньше. Это своего рода полезное дополнение к световому прибору.
Додекаэдр был не очень легким, вес его был достаточным, чтобы нагреваясь, плавить воск толстой свечи. Меняя диаметр отверстий, поставленных на свечу, можно было регулировать яркость её пламени и освещенность помещения.
Например, если поставить додекаэдр на свечу маленьким отверстием, то пламя свечи будет маленьким. Свеча будет медленнее гореть и меньше давать света, так как расплавленный воск будет больше напирать и топить фитиль, не давая ему разгореться.
Меньший диаметр отверстия ставился на свечу, а на противоположной грани для выхода пламени было отверстие чуть большего диаметра – это позволяло додекаэдру не так сильно разогреваться. Если поставить наоборот, то додекаэдр будет больше греться и плавить свечу. Если на свечу ставилась грань с большим отверстием, то она будет гореть быстрее, так как пламя фитиля будет больше и выше. Размером отверстия регулировали высоту пламени, скорость горения и освещенность.
В общем и целом этот не хитрый предмет имел много полезных свойств.
Памятник додекаэдру в городе Тонгерен в Бельгии Каменный «римский додекаэдр». 
Бронзовый «Римский додеакаэдр» в музее города Тонгерен в Бельгии.
На бронзовом бельгийским додекаэдре нет никаких концентрических окружностей и рисунков на гранях, и это нисколько не мешало ему выполнять свою функцию.
Концентрические окружности на гранях додекаэдра помогали мастеру ровно изготовить пятиугольные пластины (с одинаковыми по длине гранями), для последующего их плотного соединения, правильно его собрать, чтобы на гранях попарно были отверстия разного диаметра, а при его использовании — окружности помогали легче увидеть какой гранью поставить.
Додекаэдры изготовлялись разными мастерами, в разное время, в разных странах, поэтому имели несущественные внешние отличия.
Способствовать равномерному плавлению толстой свечи мог бы и полый куб, но у него мало рабочих граней, поэтому многое пространство оставалось затемнённым, нет отверстий для выхода света вниз, необходимых для чтения и письма под свечой.
К тому же у более практичного (в данном случае) додекаэдра за счёт большего числа граней — больше возможности для регулирования процесса горения. Ну, а форма додекаэдра, близкая к шару, взята из геометрии древних египтян и греков.
Додекаэдр был далеким предшественником керосиновой лампы, у которой пламя фитиля закрывалось от дождя и ветра стеклом, а яркость огня регулировалась вручную, вращением колёсика, изменяющего высоту подачи фитиля для горения.
Со временем с развитием человечества потребность в додекаэдрах отпала, точно так же как и в керосиновой лампе, и во множестве других предметах древнего, средневекового и более позднего быта людей.
Упоминается иногда в этой связи и вьетнамские золотые додекаэдры, но они имеют совсем другой вид, целостную или полую форму и много отличий от римских.
Вот, в принципе и весь секрет «римского додекаэдра».
Хотя, Мигель Сервантес и говорил, что зачастую разгадка исторической тайны «гроша ломаного» не стоит, но древним жителям Европы додекаэдр приносил немалую пользу, так как в какой-то мере улучшал их быт, экономил воск, денежные ресурсы на покупку свечей для освещения помещений в долгие тёмные вечера.
В наше время изобретатели тоже постоянно «ломают головы», придумывая бессчетное число энергосберегающих технологий, предметов бытового и промышленного назначения практически во всех сферах жизни…
Тайна римских додекаэдров
От четырех до одиннадцати
Большой загадкой является, для чего именно они были созданы. К сожалению, на этот счет отсутствуют какие-либо документы, начиная со времен их создания, так что предназначение этих артефактов до сих пор не установлено. Тем не менее за время, прошедшее с момента их обнаружения, было выдвинуто множество теорий и предположений.
Исследователи наделяли их множеством функций: дескать, это подсвечники (внутри одного экземпляра был обнаружен воск), игральные кости, геодезические приборы, приспособления для определения оптимального срока посева, инструменты для калибровки водяных труб, элементы армейского штандарта, украшения для жезла или скипетра, игрушки для подбрасывания и ловли на шест или же просто геометрические скульптуры.
Астрономический определитель
По другой теории, додекаэдры использовались в качестве геодезических и нивелирующих приспособлений. Тем не менее ни одна из этих теорий не подкреплена какими-либо доказательствами. Не предоставлено и объяснений того, каким образом додекаэдры могли использоваться для этих целей.
Более интересной представляется гипотеза о том, что додекаэдры служили в качестве астрономических измерительных приборов, с помощью которых определяли оптимальный срок посева озимых зерновых культур. Как считает исследователь Вагеман, «додекаэдр был астрономическим измерительным прибором, при помощи которого измеряли угол падения солнечного света, и таким образом точно определяли один особый день весной и один особый день осенью. Определяемые таким образом дни, по-видимому, имели большую важность для сельского хозяйства».
Однако противники этой теории отмечают, что использование додекаэдров в качестве измерительных приборов любого рода представляется невозможным из-за отсутствия у них какой-либо стандартизации. Ведь все найденные предметы имели разные размеры и конструкции.
Впрочем, среди множества подобных теорий есть одна весьма правдоподобная. Согласно ей, эти предметы относятся не столько к римским завоевателям, сколько к культуре местных племен и народов, издревле населявших территории Северной Европы и Британии.
Вполне возможно, что имеется какая-то прямая связь между додекаэдрами римского периода и множеством куда более древних каменных шаров с вырезанными на их поверхности правильными многогранниками. Такие шары-многогранники, датируемые периодом между 2500 и 1500 годами до нашей эры, находят в Шотландии, Ирландии и Северной Англии.
Примерно к этому же времени относится возведение знаменитого мегалитического комплекса под названием Стоунхендж. Никто до сих пор не знает наверняка, каково было предназначение этого сооружения. Однако явно неслучайное расположение гигантских камней, привязанное к циклам движения солнца по небу, дает основания полагать, что Стоунхендж служил не только для религиозно-ритуальных обрядов (наиболее вероятное назначение), но и для астрономических наблюдений. Возможно, что и маленькие каменные шары-многогранники играли для древних жителей Британии роль «домашних Стоунхенджей», олицетворяя какие-то важные для них духовные идеи и тайны мироустройства.
То, что додекаэдры могли быть предметами именно этого назначения, подтверждает и роль правильных многогранников в картинах мироздания, созданных в Древней Греции школой пифагорейцев.
По мнению ученых, это явная отсылка к Пифагору, который пропагандировал идею, согласно которой додекаэдры образовывали «балки», на которых возведен свод небес.
Двенадцать граней Вселенной
В одном из своих ранних диалогов «Федон» Платон устами Сократа дает «12-гранное додекаэдриче-ское» описание небесной, более совершенной земли, существующей над землей людей: «Рассказывают, что та Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи». А ведь по сути это и есть додекаэдр с 12 гранями!
Когда Гиппас погиб в море во время кораблекрушения, все решили, что это результат проклятия: «Говорят, что само божество разгневалось на того, кто разгласил учение Пифагора».
Впрочем, пифагорейцы могли скрывать истинное назначение додекаэдра, придавая ему другое назначение: например, используя как подсвечник или подставку для хранения писчих перьев.
Кроме того, додекаэдр был и олицетворением зодиака с его 12 знаками. Так на территории Женевы нашли литой свинцовый додекаэдр с гранями длиной 1,5 сантиметра, покрытый пластинками из серебра с названиями знаков зодиака («Дева», «Близнецы», и т.д.) на латыни.
Подобное количество версий с определенностью доказывает одно: понять истинное предназначение додекаэдра пока не может никто.