Доказать что через две произвольные точки можно провести хотя бы одну плоскость
Докажите, что через любые две точки можно провести хотя бы одну плоскость?
Докажите, что через любые две точки можно провести хотя бы одну плоскость.
Через любые две точки можно провести единственную прямую.
А через прямую можно провести бесконечно много плоскостей.
Периметр треугольника равен 24, докажите что расстояние от любой точки плоскости, до хотя бы одной из его вершин больше 4?
Периметр треугольника равен 24, докажите что расстояние от любой точки плоскости, до хотя бы одной из его вершин больше 4.
Укажите в ответе номера верных утверждений?
Укажите в ответе номера верных утверждений.
Через любую точку плоскости можно провести прямую?
Через любую точку плоскости можно провести прямую.
Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости?
Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
6. Четыре точки не лежат в одной плоскости?
6. Четыре точки не лежат в одной плоскости.
7. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
Через любую точку плоскости можно провести прямую?
Через любую точку плоскости можно провести прямую.
Верно или не верно?
Верно или не верно.
1. Через любую точку плоскости можно провести прям?
2. Через любые две различные точки плоскости можно провести прямую?
3. Через любые три различные точки плоскости можно провести прямую?
4. Любые две различные прямые проходят через одну общую точку?
Докажите что любые прямые пересекающие эти прямые и не проходящие через точку М, лежат в одной плоскости.
Докажите что через любые 2 точки можно провести плоскость?
Докажите что через любые 2 точки можно провести плоскость.
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом одну?
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом одну.
Ромб, свойства диагоналей, углы ромба.
Пересекающиеся плоскости
Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Содержание:
Понятие пересекающихся плоскостей
Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.
Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой 
. Плоскости 
и 
в этом случае являются пересекающимися по прямой 
(рис. 2.379).
Пример:
Дана плоскость 
. Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая 
.
Решение:
Из условия задачи имеем:
1. Плоскость 
(дано) (рис. 2.380).
2. Нужно доказать, что существует другая плоскость 
, пересекающая 
.
Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.
3. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости 
, и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую 
(построение) (рис. 2.381).
4. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость 
, и притом только одну (3, аксиома 3).
5. Плоскости 
и 
имеют общую точку (1, 3, 4).
6. Плоскости 
и 
пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).
7. Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая 
. (6)
Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости , что противоречит выбору точки С.
Двугранные углы
При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.
Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.
На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.
Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).
Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.
На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.
Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).
Определение. Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.
Определение. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.
Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.
Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.
Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.
Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
Все сказанное можно сформулировать в виде теорем.
Теорема 2. 1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.
2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.
Верна и обратная теорема.
Теорема 3. 1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.
Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.
Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.
Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.
Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.
Пример:
Из условия теоремы имеем:
1. PABQ и 
— два данных двугранных угла (рис. 2.388).
2. Вложим угол 
в угол АВ так, чтобы ребро 
совпало с ребром АВ, а грань 
— с гранью Р (построение) (рис. 2.389).
3. Если эти двугранные углы равны, то грань 
совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение 
(1, 2).
4. Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость 
, перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).
5. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.
Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань займет положение то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно 
) (3, 4).
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №6. Параллельность плоскостей
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.
Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.
Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.
Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости β.
Прямая a2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).
Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.
Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.
Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.
Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.
Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.
По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.
Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Пусть α||β, a пересекает α в точке А.
Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.
Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны. Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости. Теорема доказана.
Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
Пусть α||β, α и γ пересекаются.
Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.
Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана.
Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.
Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.
В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.
Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.
Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.
Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.
Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.
Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.
Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b (по теореме 5) .
Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.
Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2
(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).
В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.
Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2
(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).
В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.
Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.
Тип задания: выделение цветом
Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.
Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.