Доказать что функция является первообразной для функции

Доказать что функция является первообразной для функции

Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.

Зад ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Геометрический смысл первообразной

Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).

Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №21. Первообразная.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение первообразной

2) Определение первообразной, график которой проходит через заданную точку

3) Решение задач, обратных задаче нахождения закона изменения скорости материальной точки по закону ее движения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы познакомимся с новым математическим понятием – первообразной. Что это такое?

Для начала обратимся к задаче, которая поможет сформулировать определение первообразной.

С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если некоторая точка прошла путь S(t), то ее мгновенная скорость . Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что .

Итак, функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х Х выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Как следует из определения, операция нахождения первообразной – обратна нахождению производной функции

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=8t–4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2c пройденный путь составил 4 м.

Воспользуемся определением первообразной, т.к. S(t)=v₀t+at 2 /2

Подставим t=2c и пройденный путь S=4 м.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

№2. По графику первообразной функции y = F(x) определите количество точек, в которых функция y = f(x) равна нулю.

№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.

Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 2. Это (-2; 1) и (2; 5).

№4. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x).

По определению первообразной, F'(x)=f(x), следовательно, F'(x) и есть первообразная для функции f(x)

№5. Для функции f(x) = х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Найдем все первообразные функции f(x) :

Найдем число С, такое, чтобы график функции f(x) = х 2 проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10, получим:

Следовательно,

Ответ:

Источник