Доказать что медиана треугольника меньше полусуммы сторон ее заключающих

Доказать что медиана треугольника меньше полусуммы сторон ее заключающих

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

48. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны. Решение

49. Доказать, что в любом треугольнике ABC расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины А. Решение

50. Доказать, что сумма расстояний какой-либо точки, взятой внутри правильного треугольника, до сторон этого треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки. Решение

51. Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса. Решение

52. Доказать, что если Р, Q, R суть, соответственно, точки пересечения сторон ВС, СА, АВ (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то

53. В прямоугольном треугольнике ABC катет АС в 3 раза больше катета АВ. Точками К и F катет АС разделен на три равные части. Доказать, что

54. Пусть a, b — катеты прямоугольного треугольника, с — гипотенуза, h —высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказать, что треугольник со сторонами h, c + h, a + b является прямоугольным. Решение

56. Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы. Решение

57. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 20°. На боковых сторонах АВ и ВС взяты, соответственно, точки Q и Р так, что / ACQ = 60°, a / САР =50°. Доказать, что / APQ = 80°. Решение

58. Доказать, что если между сторонами a, b, с треугольника существует зависимость a 2 = b 2 + bc , то углы А и В, противолежащие сторонам а и b, удовлетворяют равенству / А = 2 / В. Решение

59. Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А₁, а вершина В — в В₁. Доказать, что в треугольнике ОАВ₁ медиана стороны АВ₁ является высотой для /\ ОА₁В (аналогично медиана стороны А₁В в /\ ОА₁В является высотой для /\ OAB₁). Решение

60. Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершины равна полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника. Решение

61. Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга. Решение

Источник

Lonskaya’s Blog

Just another WordPress.com weblog

Геометрия треугольника

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

A, B и С – вершины треугольника. AB, BC и CA — стороны треугольника.
Треугольник обозначается указанием его вершин: треугольник ABC.
Вместо слова треугольник употребляется символ Δ. т.е. Δ ABC.
Углом треугольника ABC при вершине A (или углом между сторонами AB и AC) называется угол, образованный лучами AB и AC; ∠A = ∠BAC = ∠CAB.

Треугольником также называют часть плоскости, ограниченную отрезками АВ, ВС, АС (плоский треугольник). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС, АС — стороны треугольника. Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.

P = AB + BC + AC

Углом (или внутренним углом) треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный лучами АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Углы CAB, ABC и ВСА треугольника ABC часто обозначают одной буквой (А, В, С соответственно) или греческими буквами α, β, γ (при этом внутри углов рисуют дуги).

Говорят, что угол А противолежит стороне ВС или сторона ВС противолежит углу А; так же угол В и сторона АС, угол С и сторона АВ противолежат (друг другу).

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним углом этого треугольника. Таков, например, угол BCD (рис. 2). При каждом угле треугольника можно построить по два внешних угла (продолжив одну или другую сторону угла). Эти два угла равны как углы вертикальные.

Медиана и биссектриса треугольника

Определение 2: Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.
Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника (см. рис. ).

Любой треугольник имеет три медианы.

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2 : 1 (считая от вершины).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется высотой треугольника (см. рис. ).

Любой треугольник имеет три высоты. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Рассмотрим некоторые теоремы и свойства, связанные с медианой и биссектрисой

Рассмотрим одно дополнительное построение, которое помогает при решении многих задач.

Если АМ – биссектриса, то треугольник АBF – равнобедренный(по углам). И «новый» отрезок ВF равен стороне AВ. Продолжение биссектрисы – отрезок MF равен (рис.3). Прямую будем называть «суперпрямой».

Задача 1. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена.

Решение. Пусть AB = с, (рис.4) АС = b и CM = m_c. Пусть F – точка пересечения прямой СМ и прямой, проходящей через А параллельно прямой ВС. Ясно, что ΔMAF = ΔMBC (по стороне c/2 и двум прилежащим углам)

Источник