Доказать что определитель равен нулю

08. Свойства определителей

Определение 9. Транспонированием A матрицы называется такое ее преобразование, при котором строки матрицы становятся ее столбцами с теми же самыми номерами.

Матрица транспонированная матрице A обозначается символом :

.

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т. е. .

Доказательство. ОПределителя матрицы А есть алгебраическая сумма N! произведений вида

(11)

Где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы A, со знаком равным знаку подстановки

.

Так как сомножители произведения (11) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке матрицы , то каждое произведение определителя матрицы A входит в определитель матрицы . Отсюда. так как количество слагаемых в и в одинаково, следует, что и в состоят из одних и тех же слагаемых. Для того, чтобы показать, что знаки произведений равны, составим подстановку для произведения (11) в (учитываем, что строки матрицы А стали столбцами матрицы с теми же номерами). Она равна подтановке:

.

Подстановки иИмеют одинаковое число инверсий, четность и знак.

Таким образом и суммы одних и тех же произведений и поэтому . Свойство доказано.

Замечание 1. Из свойства 1 вытекает, что строки и столбцы матрицы Равноправны, т. е., если какое-нибудь свойство доказано для строк, то оно будет справедливо и для столбцов и обратно. Поэтому дальнейшие свойства формулируются и доказываются только для строк. В дальнейшем под строками и столбцами определителя понимаются строки и столбцы соответствующей матрицы.

Свойство 2. Если в матрице поменять местами две строки, то абсолютная величина определителя не меняется, а знак определителя меняется на противоположный.

Доказательство. Пусть даны исходный и преобразованный определитель:

. (12)

ОПределитель D есть алгебраическая сумма N! произведений вида

, (13)

Где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца определителя D, со знаком равным знаку подстановки

.

Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

Свойство 4. Если в определителе есть нулевая строка, то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть в определителе I-я строка нулевая. По определению определителя он равен алгебраической сумме произведений вида:

.

В каждое произведение входит нулевой элемент I-й строки и поэтому оно равно нулю. Следовательно, и определитель равен нулю. Свойство доказано.

Пусть все элементы I-й строки представлены в виде ; J=1,2. N. Тогда свойство перепишется в виде:

=

= .

Доказательство. По формуле (8) находим

= .

Замечание 2. Индукцией по m легко доказать, что свойство 5 справедливо для случая, когда каждый элемент i-й строки сумма m слагаемых, .

Свойство 6. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя, т. е., если элементы какой-нибудь строки определителя умножить на число k, то и сам определитель умножится на число k.

.

Доказательство. По формуле (8) находим

Свойство 7. Если в определителе есть две пропорциональны строки, то он равен нулю.

Доказательство. Пусть I-я и J-я строки определителя пропорциональны, т. е. . Вынося из J-й общий множитель K за знак определителя, получим определитель с двумя равными строками, который равен нулю. Поэтому и исходный определитель равен нулю. Свойство доказано.

Свойство 8. Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на число k, то определитель от этого не изменится.

Определение 10. Говорят, что I-я строка матрицы A есть линейная комбинация остальных строк определителя, если существуют такие числа , что каждый элемент I-й строки есть сумма попарных произведений этих чисел на соответствующие элементы остальных строк матрицы, т. е.

Свойство 9. Если какая-нибудь строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то определитель равен нулю.

Доказательство. Если I-я строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то по замечанию 2 определитель равен сумме n-1 определителей с пропорциональными строками, и по свойству 7 все такие определители равны нулю. Тогда и исходный определитель равен нулю. Свойство доказано.

Источник

Доказательства свойств определителя

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

Доказательство:

Опр. Матрицы A_ji называется транспонированной матрицей A_ij

= det A = det A T

Выберем любое слагаемое из суммы определителя.

Следовательно определители равны.

Свойство №2: Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Доказательство:

Пусть дана матрица, один столбец которой равен 0.

=detA подсчитаем определитель данной матрицы.

Подсчитаем определитель данной матрицы, используя правило равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям.

=0*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*0+а₃₂*а₁₃*0 = 0

=-(а₁₃*а₂₂*0+а₁₂*а₃₃*0+а₂₃*а₃₂*0)=0

Свойство №3: Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

Доказательство:Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:

,после перестановки получим: .

Посчитаем определители обеих матриц. Получим:

Получили, что det A=-det B.

Свойство №4: Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

Доказательство:

Возьмём матрицу, в которой элементы первого столбца равны a_ij+b_j и посчитаем её определитель.

.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

.

То есть: .

Свойство №5: Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

Доказательство:

Пусть дан определитель detA≠0, содержащий две равные строки.

= detA ; =

Поменяем местами эти равные строки. Получим новый определитель.

.

Так как данный определитель получен из определителя detA перестановкой строк, то из предыдущего свойства следует, что полученный определитель принимает значение –detA. В то же время, количество слагаемых и модуль значений определителей detA и –detA равны, то справедливо будет равенство detA=-detA. Из данного равенства следует что detA=0. Свойство доказано.

Свойство №6: Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

Доказательство:

Возьмём матрицу коэффициентов и посчитаем её определитель.

Прибавим к первому столбцу третий. Получим новую матрицу.

.

Посчитаем её определитель.

.

Свойство №7: Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

Доказательство:Возьмём матрицу и посчитаем её определитель.

То есть.

5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными

Определители очень широко используются при решении и исследовании систем линейных n уравнений с n неизвестными. Правило решения такой системы с помощью определителей называется правилом Крамера. Покажем это правило на примере.

Правило Крамера: правило решения системы n линейных уравнений. с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение. Это решение единственное и определяется таким правилом Крамера: значение каждого из неизвестных , где — определитель системы., матрица которого составлена из коэффициентов при неизвестных системы, а _I – определитель, матрица которого получена заменой столбца коэффициентов при данном неизвестном на столбец свободных членов системы. В случае если определитель системы равен нулю, система имеет бесконечно много решений.

Пусть дана система из трех уравнений с тремя неизвестными:

Посчитаем определитель матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:

После подсчета определителя системы, подсчитаем определители неизвестных. Для этого вырезаем из столбец данной переменной, а на его место ставим столбец свободного члена.

= = = 6 = 6 = 6*(4*2-(-2)*11)=180

Согласно правилу Крамера значение неизвестной переменной равно частному от определителя данной неизвестной и определителя системы. Значит переменная x_{1= ;} x₁= .

Действуя по тому же алгоритму, найдем значения переменных x₂ и x₃:

По правилу равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям матрицы получим:

= 2*11*4+3*11*(-1)+4*(-2)*3= 88-33-24=31 =60

-2*(-2)*11-3*4*4 – (-1)*11*3= 44-48+33=29

Значит x₂=

Значит x₃=

Для доказательства истинности правила Крамера, проверим полученные значения переменных, подставив полученные значения в систему:

После подстановки мы получили верное числовое равенство, значит, правило Крамера истинно для решения системы n уравнений с n неизвестными. Ответ: (3;1;1)

Глава 2.Векторное произведение

Источник