Доказать что прямая проведенная через середины оснований трапеции проходит через точку пересечения
Замечательное свойство трапеции
Замечательное свойство трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
Существует несколько способов доказательства этого свойства. Надо доказать, что четыре данные точки лежат на одной прямой. Прямую можно провести через любые две точки. Выбирают две любые точки из четырёх, проводят через них прямую и доказывают, что две другие точки также лежат на этой прямой.
Сформулируем это свойство иначе:
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
Дано:
ABCD- трапеция, AD||BC,
Доказать: K- середина AD,
Рассмотрим треугольники AOK и COP.
∠OAK=∠OCP (как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей AC).
Значит, треугольники AOK и COP подобны (по двум углам).
Аналогично, треугольники DOK и BOP подобны и
Так как правые части этих равенств равны, то левые также равны:
Рассмотрим треугольники AFK и BFP.
∠KAF=∠PBF (как соответственные при AD||BC и секущей AF).
Следовательно, треугольники AFK и BFP подобны (по двум углам).
Аналогично, треугольники DFK и CFP подобны и
Правые части равенств равны, приравниваем левые части:
а значит, CP=BP, то есть P — середина BC.
AK=DK, K — середина AD.
Что и требовалось доказать.
В нашем случае докажем, что точки O и P лежат на прямой FK.
FK — медиана треугольника AFD.
Проведём через точку O пересечения диагоналей трапеции отрезок QL с концами на боковых сторонах трапеции.
BC||AD (как основания трапеции), QL||AD (по построению).
Так как медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника, то точки P и O лежат прямой FK.
Поскольку медиана FK, проведённая к AD, делит пополам любой отрезок, параллельный AD, с концами на сторонах AF и DF, то среднюю линию трапеции она также делит пополам. Таким образом, замечательное свойство трапеции можно дополнить:
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции, середины оснований трапеции и середина средней линии трапеции лежат на одной прямой.
Доказать что прямая проведенная через середины оснований трапеции проходит через точку пересечения
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
| `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`. |
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
Докажите что прямая проведенная через середины основания трапеций проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку прододжения боковых сторон?
Докажите что прямая проведенная через середины основания трапеций проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку прододжения боковых сторон.
Докажите что прямая проходящая чрез точку пересечения дигоналей равнобедреной трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон перпендикулярно основаниям трапеции и делит их пополам»?
Докажите что прямая проходящая чрез точку пересечения дигоналей равнобедреной трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон перпендикулярно основаниям трапеции и делит их пополам».
Докажите, что если точка пересечения диагоналей трапеции равноудалена от её сторон, то эта трапеция является параллелограммом?
Докажите, что если точка пересечения диагоналей трапеции равноудалена от её сторон, то эта трапеция является параллелограммом.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции?
Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую диагональ на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции?
Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую диагональ на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции.
Основания трапеции равны 3 и 91?
Основания трапеции равны 3 и 9
2. Найдите длину отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, параллельного основаниям и делящего трапецию на две равновеликие части.
3. Найдите длину отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, проходящего через точку пересечения ее диагоналей параллельно основаниям.
И желательно с чертежами пожалуйста)).
Прямая, параллельная основаниям МР и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны MN и KP в точках A B соответственно?
Прямая, параллельная основаниям МР и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны MN и KP в точках A B соответственно.
Найдите длину отрезка AB, если MP = 24см, NK = 16см.
Прямая, параллельная основаниям трапеции АВСD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны АВ и СD в точках E и F соответственно?
Прямая, параллельная основаниям трапеции АВСD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны АВ и СD в точках E и F соответственно.
Найдите длину отрезка EF, если AD = 12см, ВС = 24см.
1))))))))))))))Дана трапеция ABCD?
Докажите, что OF = ОЕ, если точка О — точка пересечения диагоналей трапеции, а отрезок FE проходит через точку О параллельно основаниям трапеции ВС и AD.
2)))))))))))))))В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность.
Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно?
Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
Найти длину отрезка EF, если AD = 10см, BC = 15см.
СРОЧНО?
ПОМОГИТЕ Даны отрезок АВ и параллельно ему прямая А воспользовавший утверждением в задачи «докажите что прямая проведенная через середину оснований трапеции проходит через точку пересечение диогонали трапеции и тачку пересечение продолжение боковых сторон» разделите отрезок АВ пополам при помощи одной линейки
Если можно с чертежом = ).
Можно например так. Точку В поставь где хочешь.