Доказать что прямые лежат в одной плоскости и составить уравнение плоскости
Доказать, что прямые лежат в одной плоскости
Здравствуйте, буду признателен за помощь следующих задач:
29. Доказать, что прямые: и лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости. (Решение в описание)
Доказать, что прямые не лежат в одной плоскости
Прямые АВ и СД не лежат на в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и ВD не лежат в одной.
Доказать, что прямые, по которым пересекаются соответственные грани, лежат в одной плоскости
Не знаю как доказать:cry:, задача такая: Два тетраэдра расположены в пространстве
_ <3>так, что.
Покажите, что все прямые, которые пересекают данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости
Всем привет! Задана такая задача: (10 класс) даны 2 несовпадающие параллельные прямые. докажите.
Уравнение плоскости и доказательство того, что прямые лежат в одной плоскости
Доказать, что прямые x=2+4t,y=-6t,z=-1-8t. и x=7-6t, y=2+9t, z=12t лежат в одной плоскости и.
Докажите, что прямые лежат в одной плоскости
докажите, что все различные прямые, пересекающие одну из скрещивающихся(мимобежащих) прямых и.
Доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке
как доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной.
Лежат ли прямые в одной плоскости
Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если: l1: x=y=z l2: x=1; y=t; z=2t
Доказать, что плоскости пересекаются в одной точке
Доказать, что плоскости 2х-3у-z+15=0 3x+y-4z=0 и 5x-2y+3z-1=0 пересекаются в одной точке и найти.
Доказать, что прямые лежат в одной плоскости и составить уравнение
Доказать, что прямые не лежат в одной плоскости
Прямые АВ и СД не лежат на в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и ВD не лежат в одной.
Доказать, что прямые лежат в одной плоскости
Здравствуйте, буду признателен за помощь следующих задач: 29. Доказать, что прямые: x=2t+3.
Уравнение плоскости и доказательство того, что прямые лежат в одной плоскости
Доказать, что прямые x=2+4t,y=-6t,z=-1-8t. и x=7-6t, y=2+9t, z=12t лежат в одной плоскости и.
Доказать, что прямые, по которым пересекаются соответственные грани, лежат в одной плоскости
Не знаю как доказать:cry:, задача такая: Два тетраэдра расположены в пространстве
_ <3>так, что.
Покажите, что все прямые, которые пересекают данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости
Всем привет! Задана такая задача: (10 класс) даны 2 несовпадающие параллельные прямые. докажите.
Докажите, что прямые лежат в одной плоскости
докажите, что все различные прямые, пересекающие одну из скрещивающихся(мимобежащих) прямых и.
Доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке
как доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной.
2.3. Типовые задачи
В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали 
, где A2+B2+C2>0:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)
Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.
Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).
Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали 
(уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов [
].
. (21)
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).
Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)
.
Разложив определитель по первой строке, получим
Или
– уравнение искомой плоскости с 
.
Заметим, что векторное произведение векторов 
=(2,1,–2) и 
=(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .
.
Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): 
, если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор 
– направляющий вектор.
Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали может служить векторное произведение векторов 
и :
=(A, B,C).
Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
и 
Т. M1 (x1,y1,z1)
,
Т. M2 (x2,y2,z2) 
,
Вектор – направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).
Вновь используем уравнение (*).
Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали =(A, B,C) может быть векторное произведение [,
].
Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.
Решение задачи рассмотрим на примере.
Пусть 
и 
.
1. Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы 
, 
и компланарны.
Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде
,
здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, 
– ее направляющий вектор.
На прямой L1: М1(1,-2,5); 
. Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).
Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения
,
Т. к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).
Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.
Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).
Вектор нормали 
=(А, B,C)= [
]=
= – 2
+16
+13
.
Уравнение искомой плоскости π:
– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или
2x – 16y – 13z + 31 = 0.
Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:
L:
И плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.
Решение: Возможны следующие случаи:
А) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);
Б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;
В) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.
Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.
Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений
. (22)
Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.
Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)
А определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:
.
Если определитель 
, то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:
,
Имеет место случай (б).
Если определитель 
, а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).
Если же все определители Δ =Δ1=Δ2=Δ3=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).
Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0), относительно плоскости
Решение. Запишем алгоритм решения задачи.
1. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором 
этой прямой послужит вектор нормали 
.
2. Найдём точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).
3. Точка M1 является серединой отрезка M0Q, и координаты точек M0, M1 и Q связаны формулами: x1=
,y1=
,z1=
, откуда найдем координаты точки Q(x0,y0,z0)
(рис. 9):
XQ=2×1 – x0, yQ=2y1 – y0, zQ=2z1 – z0.
Аналогично решается и следующая задача.
Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно прямой
.
1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости 
(A, B,C) возьмем направляющий вектор =(l, m,n) прямой L.
π: l(x – x0) + m(y – y0) + n(z – z0)=0.
2. Найдем точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).
3. Точка M1 – середина отрезка M0Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.