Доказать что ряды абсолютно сходятся

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Абсолютно сходящиеся ряды.

Ряд с действительными или комплексными членами
$$
\sum_^<\infty>a_,\label
$$
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>|a_|,\label
$$

Рассмотрим свойства абсолютно сходящихся рядов.

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

$\circ$ Пусть ряд \eqref сходится. Тогда для него выполняется условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb \rightarrow \sum_^|a_| Свойство 2.

Если ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ абсолютно сходится, а последовательность $\\>$ ограничена, то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb \rightarrow |b_| \leq M,\label
$$
то ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_b_$ абсолютно сходится.

$\circ$ Для доказательства свойства 2 следует воспользоваться критерием Коши сходимости ряда и неравенством
$$
\sum_^|a_b_| \leq M \sum_^|a_|\nonumber
$$
которое выполняется в силу условия \eqref. $\bullet$

Если ряды $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ и $\displaystyle\sum_^<\infty>b_$ абсолютно сходятся, то при любых $\lambda$ и $\mu$ абсолютно сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>(\lambda a_ + \mu b_).\nonumber
$$

$\circ$ Для доказательства свойства 3 следует применить критерий Коши. $\bullet$

Если ряды \eqref и
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
абсолютно сходятся, то и ряд
$$
\sum_^<\infty>a_>b_>,\label
$$
составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов \eqref и \eqref, абсолютно сходится, причем сумма ряда \eqref равна произведению сумм рядов \eqref и \eqref.

$\circ$ Докажем, что сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>|a_>b_>|,\label
$$
Пусть $\tilde<\tau>_$ — $m$- я частичная сумма ряда \eqref, $A$ и $B$ — суммы рядов $\displaystyle\sum_^<\infty>|a_|$ и $\displaystyle\sum_^<\infty>|b_|$ соответственно. Тогда
$$
\tilde<\tau>_ = \sum_^|a_>b_>| \leq \sum_^|a_>| \sum_^|b_>| \leq AB\nonumber
$$
то есть частичные суммы ряда \eqref ограничены сверху и по критерию сходимости ряда с неотрицательными членами ряд \eqref сходится.

Докажем, что
$$
\tau = S\sigma,\label
$$
где $\tau$, $S$, и $\sigma$ — суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно. Заметим, что все члены ряда \eqref содержатся в следующей таблице:

Рис. 41.1

Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице (такой метод перечисления называют “методом квадратов”). В этом случае получается ряд
$$
a_<1>b_ <1>+ (a_<2>b_ <1>+ a_<2>b_ <2>+ a_<1>b_<2>) + (a_<3>b_ <1>+ a_<3>b_ <2>+ a_<3>b_ <3>+ a_<2>b_ <3>+ a_<1>b_<3>) +\\
+ (a_<4>b_ <1>+ a_<4>b_ <2>+ a_<4>b_ <3>+ a_<4>b_ <4>+ a_<3>b_ <4>+ a_<2>b_ <4>+ a_<1>b_<4>) + \ldots,\label
$$
образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов \eqref и (13), то есть ряд вида \eqref.

По доказанному выше всякий ряд вида \eqref и, в частности, ряд \eqref, абсолютно сходится и, значит, сходится (свойство 1), а сумма ряда \eqref не зависит от порядка расположения его членов (свойство 4). Поэтому ряд \eqref сходится, а его сумма равна $\tau$.

Пусть $S_$, $\sigma_$, $\tau_$ — $n$-е частичные суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно; тогда $\displaystyle\tau_> = S_\sigma_$. Так как $S_ \rightarrow S$ и $\sigma_ \rightarrow \sigma$ при $n \rightarrow \infty$, то $\tau_> \rightarrow S_<\sigma>$ при $n \rightarrow \infty$. С другой стороны, $\<\displaystyle\tau_>\>$ — подпоследовательность сходящейся к числу $\tau$ последовательности $\<\tau_\>$, и поэтому $\tau_> \rightarrow \tau$ при $n \rightarrow \infty$. Отсюда следует, что $\tau = S_<\sigma>$. Равенство \eqref доказано. $\bullet$

Источник

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

* Согласно, строгому определению предела числовой последовательности, и кроме того, в данном случае это очевидно.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда . Тупо убираем «мигалку»: .

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)
Ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: () – поскольку бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ;
в противном случае ряд сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд сходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т.е. просто констатировать сходимость), но таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере 1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)
Данный ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера справедливо неравенство: , а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
, то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , а это означает, что убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Осталось показать монотонность убывания. Неравенство здесь обосновать трудно и поэтому мы проявим разумную хитрость, расписав несколько конкретных членов и всю цепочку:

– не лишним будет взять в руки калькулятор, и убедиться в справедливости первых неравенств (хотя, это, конечно, некорректная проверка).

Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но ~~от непреодолимой лени~~ в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Помните об «обманках» , , – если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Выясним характер сходимости ряда:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно знать, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

Справка:

– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность , иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее, чем степеннАя последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее произведения показательной и степенной последовательностей (наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей.

И, раз пошла такая пьянка:

– Показательная последовательность растёт быстрее, чем степенная последовательность , например: , . Аналогично факториалу, она «перетягивает» произведение степенных последовательностей: .

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность растёт быстрее, чем . На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще о нём помните? =)) можно записать так:
2) – члены ряда монотонно убывают по модулю (так как более высокого порядка роста, чем ).

Достаточно! О том, что члены начинают убывать лишь с некоторого номера «эн», лучше благоразумно умолчать – по той причине, что найти этот номер не так-то просто, а лишние вопросы вам ни к чему 😉 Ещё труднее показать монотонность убывания, поэтому просто констатируем этот факт. Здесь вас с высокой вероятностью «простят»

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей членов:

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: если ряд сходится, то сходится и ряд

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

Используем признак Даламбера:
…
только что печатал
…
Таким образом, ряд сходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит ~~хитро…~~ смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее ~~монотонны и однообразны~~ интересны.

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1) – данный ряд является знакочередующимся.
2)

Члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела не существует, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Вывод: ряд расходится.
Примечание: в данном примере неопределенность устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя:

Пример 5: Используем признак Лейбница.
1) – ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , т.е. убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним как именно:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Таким образом, ряд сходится условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.
1) – ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Найдём модуль -го члена: . Для любого номера справедливо неравенство :

( ), т.е. члены убывают монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем характер сходимости:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
и , следующий член ряда к предыдущему:
и , следующий член ряда к предыдущему:
…

Таким образом, ряд сходится. Выясним, абсолютно или условно:

Используем признак Даламбера:
, следовательно , ряд сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю, и очевидно, что – каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , т.е. убывание монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:

Используем интегральный признак.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.