Доказать что средняя скорость меньше среднего арифметического значения

Доказать что средняя скорость меньше среднего арифметического значения

Средняя скорость – не самое сложное понятие в кинематике. Однако для многих учащихся простота этого понятия оказывается обманчивой.
Известно, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь: Краткость и простота определения скрывают от некоторых учеников важные для решения задач вопросы и ответы на них.
1. Какое время следует учитывать при расчете средней скорости, если тело в пути делало остановки?
В определении указано: “. ко времени, за которое пройден этот путь”, то есть ко всему промежутку времени с момента, когда тело тронулось в этот путь (представьте, что Вы включили секундомер), до момента, когда тело преодолело этот путь (только в этот момент Вы останавливаете секундомер!). О том, что время на остановки не следует учитывать, в определении ничего не сказано (поэтому секундомер на промежуточных остановках не выключайте!). Таким образом, при расчете средней скорости следует учитывать всё время, которое ушло на преодоление пути (в том числе и время, потраченное на остановки).

2. Как правильно рассчитать среднюю скорость тела, которое начало движение в пункте А, окончило его в пункте В, но по дороге из А в В поворачивало назад (может быть ни один раз!), а затем вновь продолжало движение к пункту В?
В определении указано “. равная отношению пути, пройденного телом. ”, значит, при расчете средней скорости определяющим является не расстояние между точками (пунктами) начала и окончания движения, а реальный путь, которое прошло тело.

Пример 1. Найти среднюю скорость человека на пути от дома до станции, расстояние между которыми l =800 м, если, пройдя четверть пути, он вернулся домой (например, проверить, хорошо ли закрыта дверь) и через мин продолжил путь на станцию. Скорость движения человека постоянна и равна v =4 км/ч.

Решение. Началом движения человека, конечно, следует считать момент времени, когда он первый раз вышел из дома. Четверть пути составляет расстояние l_1/4 =l : 4 =800 : 4 =200 м. При возвращении домой человек прошел путь 2l_1/4 =400 м. После этого он вышел из дома второй раз и дошел до станции. Путь, пройденный человеком с начала движения, составит:

Время t, которое затрачено на преодоление этого пути, складывается из времени пребывания дома и времени Т, в течение которого человек двигался по маршруту “из дома–к дому–на станцию”. Поскольку скорость движения человека постоянна (v =4 км/ч) и проделанный путь известен, то время движения составляет:

1,2 км : 4 км/ч =0,3 ч =18 мин.
Тогда все время, затраченное человеком, составляет:

t = + T = 2 + 18 =20 мин =1/3 ч.
Найдем среднюю скорость:

1,2 км : ч =3,6 км/ч.

Среднюю скорость движения человек оценивает довольно часто, но судит о ней, глядя на часы. Торопящийся человек соотносит расстояние, которое ещё осталось преодолеть, и время, отпущенное ему на это, после чего делает вывод (хотя числовое значение средней скорости вряд ли при этом находится): “Ну, теперь можно идти помедленнее” или “Придется еще поднажать, иначе не успею”.

Вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что скорость v₀ =4 км/ч выбрана человеком не случайно. проходя от дома до станции ежедневно, человек замечает, что расстояние l ==800 м, он проходит за время t₀ =12 мин =0,2 ч:

= 0,8 км : 0,2 ч =4 км/ч.

По существу, это – средняя скорость, поскольку доподлинно неизвестно, с какой скоростью человек идет в каждый момент времени. Двигаясь с такой скоростью и затрачивая время t₀, человек ежедневно успевает на станцию вовремя. Если приходится возвращаться домой (увеличивать путь, который надо преодолеть и на это требуется дополнительное время) или останавливаться (увеличивая время, необходимое на преодоление пути), выбранная скорость движения v₀ не подходит: можно опоздать на станцию. Значит, надо увеличивать скорость движения. Но как это сделать без напрасных затрат сил?

Пример 2. Человек обычно доходит из дома до станции за время t₀ =12 мин, проходя расстояние l =800 м. Однажды, пройдя четверть пути, он вспоминает, что не выключил электроприборы, и возвращается домой, выключает электроприборы, затрачивая время = 2 мин, и снова идет на станцию. С какой наименьшей скоростью надо двигаться человеку, после того как он повернул домой, чтобы успеть на станцию в обычное время (и не опоздать на электричку).

1. Обычно человек двигается со скоростью

м/мин =4 км/ч.

2. Пройдя с такой скоростью четверть пути, он затратил время : 4 км/ч =0,05 ч =3 мин. Значит, в его распоряжении осталось время Т₂ =t₀ – T₁ =12 – 3 =9 мин.

3. За время Т₂ человек должен преодолеть путь до дома, а затем снова до станции:
м =1 км и, кроме того, часть времени ( = 2 мин) потратить дома. Поэтому путь S человеку придется преодолевать за время

ч,

то есть со скоростью, не меньшей, чем

1 км : ч = км/ч = км/ч » 8,6 км/ч.

Проверьте, что добежав до дома со скоростью км/ч, а затем шагая со скоростью v₂ =2v₀ =8 км/ч, человек придет на станцию вовремя.
Ответ: человеку необходимо двигаться со скоростью, не меньшей, чем км/ч. Обратите внимание, что средняя скорость за время (t =12 минут) от начала движения до его окончания составляет

м/мин =100 м/мин =6 км/ч.

Найденное значение v_ср в полтора раза выше, чем v₀, и показывает, с какой начальной скоростью следует выходить человеку из дома, если он забывчив.

На рис.1 показан график зависимости скорости человека от времени для примера 2 в случае, если человек бежит домой со скоростью v₁ =3v₀ ==12 км/ч, а затем идет до станции очень быстрым шагом со скоростью v₂ =2v₀ =8 км/ч. Штрихпунктирной линией указан график движения со скоростью v₀, а тонкой линией – со скоростью v_ср =6 км/ч.

Подсчитаем среднее арифметическое для значений скорости v₀, v₁, v₂:

км/ч.

Это значение не равно значению средней скорости v_ср. Убедитесь в этом и не совершайте в дальнейшем распространенную ошибку: не пытайтесь искать среднюю скорость как среднее арифметическое значение (оно не имеет физического смысла!).

Пример 3. Автомобиль проезжает первую треть пути равномерно со скоростью v₁ =108 км/ч, а остальные две трети пути – со скоростью v₂ =72 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.
Решение. Неверно считать, что средняя скорость совпадает со средним арифметическим значением v₁ и v₂, которое составляет

км/ч.

1. Найдем время t₁ движения со скоростью v₁, полагая, что весь путь равен L [км]. Из условия ясно, что

2. Время t₂ движения на оставшемся участке пути составляет

3. Итак, время на продолжение пути L составляет

4. По определению средней скорости

км/ч.

Ответ : средняя скорость v_ср =81 км/ч.

Значение средней скорости совпадает со средним арифметическим значением скорости только в одном частном случае, когда тело двигается с различными скоростями так, что между последовательными моментами изменения (переключения) скорости проходит одинаковое время Т. Таким образом, тело двигается со скоростью v₁ в течение времени t₁=T, со скоростью v₂ в течение времени t₂=T, со скоростью v₃ в течение времени t₃=T и т.д. Если на протяжении пути скорость изменялась n раз, то пройденный путь

Время t, за которое пройден путь, составляет

Не запрещено для этого частного случая двигаться со скоростью v₀=0, т.е. делать остановки. Но время остановки должно составлять t₀ =T.

Пример 4. Вертолет пролетает без остановок равномерно и прямолинейно над пунктами А, В, С (в указанном порядке) и возвращается в А. Пункты А, В, С являются как бы вершинами треугольника. Расстояние между А и В составляет L_AB =150 км, между В и С L_BC =200 км, между С и А L_CA =100 км. Время, за которое вертолет пролетает от одного пункта до другого, составляет полчаса. Найти среднюю скорость движения вертолета на маршруте АВСА. Изменится ли средняя скорость, если L_CA =200 км и всё расстояние вертолет преодолеет за 1 ч?

Решение. 1. Находим скорость движения вертолета на каждом участке:

км/ч;

км/ч;

км/ч.

2. Поскольку t =0,5 ч одинаково для всех участков движения, то

км/ч.

км/ч.

Источник

Как находить среднюю скорость

Повторим, как находить среднюю скорость, и рассмотрим конкретные примеры.

Чтобы найти среднюю скорость, надо:

1) найти весь пройденный путь;

2) найти все время движения;

3) весь пройденный путь разделить на все время движения:

На примерах посмотрим, как находить среднюю скорость.

1) Пешеход прошел 2 часа со скоростью 7 км/ч и 3 часа со скоростью 5 км/ч. Найти среднюю скорость движения пешехода на всем пути.

Находим весь пройденный путь: 2∙7 + 3∙5 = 29 км.

Находим все время движения: 2+3=5 часов.

Чтобы найти среднюю скорость, весь пройденный путь делим на все время движения: 29:5=5,8 км/ч.

2) Автомобиль проехал 2 часа по шоссе со скоростью 100 км/ч, 1,5 часа по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч и 30 минут по проселочной дороге со скоростью 26 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Переведем минуты в часы: 30 минут = 0,5 часа.

Найдем весь пройденный автомобилем путь:

2∙100 + 1,5∙40 + 0,5∙26 = 200 + 60 + 13= 273 км.

Находим все время движения:

Чтобы найти среднюю скорость движения автомобиля, разделим весь пройденный путь на все время движения:

3) Велосипедист проехал 3 часа со скоростью 12 км/ч, затем отдохнул час, после чего продолжил путь со скоростью 9 км/ч и проехал еще 2 часа. Найти среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути.

Найдем весь путь велосипедиста:

3∙12 + 1∙0 + 2∙9 = 54 км.

Найдем все время движения:

Чтобы найти среднюю скорость движения велосипедиста, весь путь делим на все время движения:

195 Comments

самый лучший сайт по математике спасибо огромное

Илья, спасибо за теплые слова!

Велосипедист проехал со скоростью 12 км/ч 4 км,остановился на 40 мин и продолжил движение со скоростью 8 км/ч и проехал 8 км. Найдите скорость велосипедиста на протяжении всей дороги? Пожалуйста,помогите,очень важно

Валерий, эта задача — на движение по водному пути. Но ее можно решить логически.
Поскольку известно, что скорость катера по течению реки в два раза больше скорости против течения, при этом расстояние туда и обратно — одинаковое, то время, затраченное катером на путь по течению, в два раза меньше времени против течения (скорость и время — обратно пропорциональные величины. Если скорость увеличить в несколько раз, то при том же расстоянии время уменьшится во столько же раз).
Таким образом, все время можно разделить на 3 части, одну часть которого катер потратил на путь по течению, две — на путь против течения. Так как на весь путь было потрачено 2 часа=120 минут, то из них на путь по течению — 1/3 от 120 — это 40 минут=2/3 часа. Чтобы найти скорость, надо расстояние разделить на время: 20:(2/3)=30 км/ч — это скорость катера по течению. Она в два раза больше скорости против течения, следовательно, скорость против течения 30:2=15 км/ч.

Девушка ехала на работу со средней скоростью 40 миль в час, обратно домой ехала со средней скоростью 30 миль в час, весь путь от дома до работы и обратно занял 1 час, сколько миль проехала девушка?

Это — задача на движение. Пусть на работу девушка ехала х часов,тогда обратный путь занял у нее (1-х) часов. По формуле пути путь на работу равен 40х миль, обратный путь — 30(1-х) миль. Так как туда и обратно девушка проехала одинаковое расстояние, составляем уравнение: 40х=30(1-х). Отсюда х=3/7, путь на работу 40∙(3/7)=120/7 миль, туда и обратно — 2∙(120/7)=240/7=38 2/7 мили.

Источник

3 простых формулы, чтобы посчитать среднее арифметическое

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Вот так:

Например, найдем среднее арифметическое чисел 5, 6 и 7. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на три.

Так получилась формула среднего арифметического:

Способы вычисления среднего арифметического

Стандартная формула. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить эту сумму на их количество. Формула выглядит так:

Вычисление моды или наиболее часто встречающегося значения. Формула такая:

Вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. Если такого значения нет, за медиану принимают среднее число между границами половин выборки. Формула выглядит так:

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: в магазине, на работе, в диалоге с другом или во время презентации перед инвесторами. Еще пригодятся, чтобы рассчитать среднюю скорость движения.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Посчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

В 5 классе можно искать среднее арифметическое с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Источник

Средняя скорость (окончание)

7. Сравните промежутки времени, в течение которых Саша ехал и шёл пешком в первом и втором случаях.

Обобщим рассмотренные выше ситуации.

Рассмотрим сначала случай, когда тело двигалось с разными скоростями в течение равных промежутков времени.

Пусть первую половину всего времени движения тело двигалось со скоростью υ₁, а вторую половину — со скоростью υ₂. Можно ли найти среднюю скорость движения на всём участке, если не известны ни общее время движения, ни путь, пройденный телом за всё время движения?

Можно: для этого введём обозначения для всех нужных нам величин независимо от того, известны они или неизвестны. Это распространённый приём при решении многих задач.

Обозначим всё время движения t, весь путь l, а пути, пройденные за первую и вторую половину времени движения, обозначим соответственно l₁ и l₂.

8. Выразите через υ₁, υ₂ и t:

а) l₁ и l₂; б) l; в) среднюю скорость.

Найдя ответы на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках с разными скоростями в течение равных промежутков времени, то его средняя скорость на всём пути равна среднему арифметическому скоростей движения на двух участках.

Рассмотрим теперь случай, когда тело двигалось с разными скоростями первую и вторую половину пути.

Пусть теперь первую половину всего пути тело двигалось со скоростью υ₁ а вторую половину — со скоростью υ₂.

Обозначим снова всё время движения t, весь путь l, а промежутки времени, в течение которых тело двигалось на первом и втором участке, обозначим соответственно t₁ и t₂.

9. Выразите через υ₁, υ₂ и l:

a) t₁ и t₂; б) t; в) среднюю скорость.

Ответив на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, то его средняя скорость на всём пути не равна среднему арифметическому этих скоростей.

10. Докажите, что средняя скорость тела, которое двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, меньше, чем если бы оно двигалось на двух участках с теми же скоростями в течение равных промежутков времени.

Подсказка. Выразите для каждого из двух случаев среднюю скорость через скорости на первом и втором участках и сравните полученные выражения.

11. На первом участке пути тело двигалось со скоростью υ₁, а на втором — со скоростью υ₂. Чему равно отношение длин этих участков, если средняя скорость движения оказалась равной среднему арифметическому υ₁ и υ₂?

Источник

Конспект урока » Относительность движения,сложение скоростей.Мгновенная и средняя скорость.»10 класс

Тема урока: Графики скорости. Решение задач.

Образовательная цель: получение учащихся, усвоивших основные знания в данной теме:

механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени;

основная задача механики – определение положения тела в любой момент времени;

траектория движения – линия, вдоль которой движется тело;

путь – физическая величина, равная длине траектории, пройденной телом за некоторый промежуток времени;

перемещение – отрезок соединяющий начальное и конечное положение;

при равномерном движении путь прямо пропорционален времени движения;

график прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат;

скорость равномерного движения – это физическая величина, характеризующая быстроту движения тела; она определяется отношением пути, пройденного телом, к отрезку времени, за которое был пройден этот путь.

Цель по развитию учащихся : подготовка учащихся, овладевших следующими видами деятельности:

получать понятие “механическое движение”;

получать понятие о физических величинах “путь”, “перемещение”, “координата”, “скорость”;

получать график прямо пропорциональной зависимости пути от времени, координаты от времени с учетом погрешности;

строить графики зависимости пути от времени, координаты от времени и скорости равномерного движения от времени;

вычислять скорость, путь, перемещение и координату равномерного движения.

повторить основные понятия и физические величины прямолинейного равномерного движения;

создать условия для развития личности учеников в процессе их деятельности;

способствовать развитию практических навыков и умений;

научить выделять главное, сравнивать, развивать способности к обобщению, систематизации полученных знаний.

I. Актуализация раннее усвоенных знаний. (Решение качественных задач. Они позволяют учителю понять, как учащиеся усвоили теоретический материал по данной теме.)

1. Туристы перешли с одного берега озера, где располагалась их база, на другой и, посмотрев на часы, решили устроить краткий отдых. Стояла тихая погода, и им были хорошо слышны передачи радиоузла базы; поэтому последние известия они смогли прослушать, выключив свой транзистор. После этого один из туристов заявил, что расстояние до базы – почти 3 км. Каким образом он определил это расстояние? (Турист знал, что скорость звука воздухе при 20 o С 340м/с. Он заметил, что сигналы точного времени, передаваемые по радио, слышны вначале из радиоприемника, а спусти некоторое время – с базы. Определив время запаздывания, он по формуле s = v _зв t рассчитал расстояние до базы.)

2. Выехав рано утром из города на ровное и пустынное шоссе, шофер решил устроить первую остановку ровно через час. Как ему выполнить свое намерение, не смотря на часы? Радиоприёмник в автомобиле отсутствует. (В любом автомобиле есть счетчик пути и спидометр. Поэтому шофер должен поддерживать постоянной взятую скорость движения и дождаться увеличение километража пробега на величину, численно равную этой скорости.)

3. “Мировой рекорд” по прыжкам в высоту среди животных принадлежит маленькой южноафриканской антилопе. На какую высоту прыгнет антилопа, если она отталкивается от земли вверх со скоростью 12 м/с? (7,2 м.)

4. Человек, плывущий по реке на лодке, держится середины реки, если плывет по течению, и старается держаться около берега, если плывет против течения. Почему он так делает? (В первом случае скорость его перемещения возрастает благодаря значительной помощи течения, у которого скорость на середине реки наибольшая. Во втором случае течение реки будет мало мешать движению, поскольку у берегов скорость воды в реке всегда меньше, чем на середине.)

Определите начальные координаты и проекции скоростей для каждого тела. Постройте графики зависимости координаты и проекции скорости от времени для каждого из движущихся тел.

Запишите значения начальных координат для каждого из тел.

Запишите значения проекций скоростей для каждого из тел с учетом знака проекций.

Заполните таблицы значений координат тел для двух выбранных моментов времени.

Изобразите на графике координаты, которые занесены в таблицы для каждого из тел. Проведите через построенные точки графики зависимости координаты от времени для каждого из тел.

Пользуясь результатами нахождения проекций скоростей, изобразите точки, соответствующие проекциям скоростей тел и постойте графики для каждого из тел.

Сравним уравнения, которыми описываются их движения с кинематическим уравнением равномерного движения

Из данных уравнений следует, что для первого велосипедиста

Для второго велосипедиста.Значит, оба велосипедиста участвуют в равномерном прямолинейном движении. Свяжем систему отсчета с Землей, ось «О икс» направим в сторону движения первого велосипедиста, а за начало отсчета координаты выберем точку «О», то есть положение первого велосипедиста в начальный момент времени.

Два тела встречаются тогда, когда их координаты в этот момент времени совпадают, то есть равны.

Время встречи равно

Координата встречи равна

Ранее было выяснено, что велосипедисты движутся равномерно и прямолинейно. Поэтому графиком движения каждого из них будет являться прямая линия. Из курса математики вы должны знать, что для построения прямой линии достаточно найти какие-либо две ее точки.

На графике хорошо видно, что прямые пересеклись в одной точке — в точке места встречи. Для того чтобы определить ее координаты, опустим из этой точки два перпендикуляра — один на ось времени, а другой на ось координат

Задача 3. Самолет взлетает с аэродрома под углом 30 о к горизонту со скоростью 216 км/ч. Какой высоты самолет достигнет через 12 с и на какое расстояние в горизонтальном направлении он удалится от места взлета? Считать, что самолет в горизонтальном и вертикальном направлении движется с постоянной по модулю скоростью.

Запишем кинематические уравнения движения для каждого из случаев

В момент времени t :

Ответ : l = 612 м; h = 360 м.

1 = 15 м/с. Найти среднюю скорость на всем пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений v ₁ и v ₂ .

№ 32. Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом, при: а) встречном ветре; б) попутном ветре?

Источник