Четность и нечетность

Соображения четности (нечетности) часто используются при решении математических задач (и элементарных, и весьма «продвинутых»). В данной статье рассматриваются подходы к решению подобных задач.

Мы начнем с простейших примеров, а в заключительной части рассмотрим несколько «олимпиадных» заданий, в решении которых нам помогут соображения четности.

Четные и нечетные числа. Начальные сведения

Сумма, произведение, частное четных (нечетных) чисел

Если вы уже заскучали, переходите ко 2-й части статьи. Потом всегда сможете вернуться. Если же все эти теоретические построения вас не слишком утомили, давайте продолжим.

А почему, собственно, мы рассматриваем только два числа. Давайте мыслить шире!

Так, сумма 2+4+6+. +1022+1024 четна, поскольку все слагаемые четны. Сумма 1+3+5+7+9 нечетна, т. к. содержит 5 нечетных слагаемых. Произведение 2*3*4*. *1001*1002 четно уже хотя бы по той причине, что первый сомножитель является четным.

И вновь о сумме и произведении

Решение. Обозначим исходные числа A и B. Очевидно, возможно 4 варианта:

Во всех случаях (кроме первого) получаем нечетный результат!

Между прочим, наш юный друг Петя утверждает, что получил четное число. Мы доказали, что это невозможно. Петя ошибся.

Сознаю, что первая часть статьи может показаться читателю довольно утомительной и однообразной. К сожалению, обойтись без этих «скучных» базовых понятий нельзя. Обещаю, что дальше будет гораздо интереснее.

Источник

Сумма двух нечетных чисел есть четное число

Ответ или решение 1

Известно что любое четное число можно записать как 2k, а нечетное как 2k+1. Обозначим первое слагаемое как a а второе как b.

а). Докажем, что сумма двух чётных чисел есть чётное число.

Пусть a = 2n, b = 2m. Тогда их сумма будет равна a + b = 2n + 2m = 2 * (n + m). А это произведение будет четным числом.

б). Докажем, что сумма двух нечетных чисел есть чётное число.

в). Докажем, что сумма чётного и не чётного числа есть нечётное число.

Пусть a = 2n, b = 2m + 1. Тогда их сумма будет равна a + b = 2n + 2m + 1 = 2 * (n + m) +1. А это произведение будет нечетным числом.

г). Если x,y – произвольные натуральные числа, то докажем, что с – чётные числа.

Предположим, что оба числа x и y, одновременно четные или не четные, мы получим варианты а и б, которые мы уже доказали.

Предположив что одна из x или y четная а друга не четная получим x 2 y и xy 2 одновременно, либо четными либо нечетным, а это значить что мы возвращаемся снова к вариантам а и б.

Ответ или решение 1

Четное число – это целое число, которое делится на 2 без остатка и в результате получается другое целое число.

Соответственно любое целое четное число можно представить в виде 2х, а любое нечетное в виде 2х+1, где х – любое из возможных целых чисел.

Итак, допустим, что мы имеем два нечетных числа.

Сумма А и В равна: (2х+1)+(2у+1) = 2х+2у+1+1 = 2х+2у+2.

(А+В)/2 = (2х+2у+2)/2 = 2х/2+2у/2+2/2 = х+у+1.

1. Нечетное число №1 обозначим А = 2х+1

2. Нечетное число №2 обозначим В = 2у+1

3. А+В = 2х+1+2у+1 = х+х+1+у+у+1 = (х+у+1) + (х+у+1) = 2 (х+у+1)

4. Очевидно, что если ЧИСЛО (А+В) разделить на 2, то получим ЧИСЛО (х+у+1), и это будет бесспорным доказательством того, что сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Чет и нечет

Студенты иногда задают забавные вопросы. Каждый год находится кто-нибудь, кто спрашивает: “А нуль четное число или нечетное?’’ И они задумываются… Редко случается так, что кто-то сразу может ответить на сей коварный вопрос. Тогда приходится вмешаться в возникшую дискуссию: “Нуль делится на ?’’ Через некоторое время: “ Да’’. Тогда снова задаю тот же вопрос: “Так нуль — число четное или нечетное?’’ И тут уже все понятно: “Четное!’’

А теперь давайте посмотрим, как четность помогает решать задачи. Но для начала все-таки определим, какие числа будем называть четными, а какие — нечетными.

Определение. Целое число называется четным, если оно делится на без остатка, и нечетным, если оно на не делится.

Четные числа: , нечетные числа: .

Любое четное целое число представимо в виде , где — целое число. Любое нечетное число представимо в виде , где — целое число (разумеется, любое нечетное число при делении на дает остаток ).

Дальше приведу примеры решения различных задач.

Задача 1. Докажите, что сумма

а) двух четных чисел или двух нечетных чисел есть число четное;

б) двух чисел разной четности есть число нечетное.

Решение. а) Возьмем для начала два четных числа: и . Их сумма равна , где — целое число. Таким образом, сумма — четное число.

Сумма двух нечетных чисел и равна , где — целое число. И сумма четна.

б) , где — целое число. Сумма нечетна.

Задача 2. Докажите, что произведение

а) двух нечетных чисел — нечетное число;

б) четного числа на любое число — четное число.

Решение этой задачи практически такое же, как и предыдущей. Попробуйте доказать эти утверждения самостоятельно.

Эти две задачи часто будем использовать в дальнейшем.

Задача 3. Можно ли разменять рублей десятью монетами достоинством и руб.?

Решение. Если мы сложим четное число каких-либо целых чисел, то получим число четное (см. задачу 1), а — нечетное число.

Ответ. Нельзя.

Задача 4. Произведение целых чисел равно . Докажите, что их сумма не равна нулю.

Решение. Ясно, что каждое из чисел равно или , причем четное число. А чтобы сумма всех чисел была равна нулю, нужно, чтобы и было поровну, т.е. по . Получили противоречие, которое и говорит о том, что сумма всех чисел не может быть равна нулю.

Задача 5. В деревне Малой имеется телефонов. Можно ли так их соединить между собой проводами, чтобы каждый телефон был соединен ровно с другими?

Решение. Предположим, что мы соединила телефоны так, как требуется в условии задачи. Подсчитаем количество проводов, которые нам потребуются, чтобы соединить пары телефонов. Для наглядности удобно нарисовать картинку, обозначив телефоны точками и расположив их по кругу, а каждый провод, соединяющий пару телефонов, изобразить отрезком). Каждый из телефонов соединен с -ю другими, тем самым, всего , а теперь мы должны учесть, что каждый провод мы посчитали дважды (он отходит как от одного, так и от другого телефона). Но на не делится. Значит, это сделать невозможно.

А теперь несколько задач на четность для самостоятельного решения.

1. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число ?

2. В лагере человек, и каждый день дежурят трое. Может ли через некоторое время оказаться, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

3. Конь вышел с поля шахматной доски и, сделав некоторое число ходов, снова вернулся на это поле. Мог ли он сделать нечетное число ходов?

4. На плоскости расположены шестеренок: первая сцеплена со второй, вторая — с третьей и т.д., девятая — с первой. Могут ли они все вращаться?

5. В строку выписаны числа от до . Можно ли поставить между ними знаки “’’ и “’’ так, чтобы полученное выражение было равно нулю?

6. Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей, пожавших нечетное число рук, четно.

Полезные книги

С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин, “Ленинградские математические кружки”

Источник