Доказать что угол между хордой и касательной измеряется половиной дуги
Угол между хордой и касательной
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.
Дано :
окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная
1) Соединим центр окружности с концами хорды.
Треугольник OAB — равнобедренный с основанием AB (так как OA=OB как радиусы).
3) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB.
Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину B проведена касательная к окружности, а из точки A на касательную опущен перпендикуляр AF. Найти ∠ACB, если ∠FAB=27º.
Дано : ∆ABC, окр. (O; R) — описанная,
1) Рассмотрим ∆ABF. ∠AFB=90º. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABF=90º-∠FAB=90-27=63º.
2) ∠ABF — угол между касательной BF и хордой AB. Значит, он равен половине дуги AB:
3) ∠AСB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно он также равен её половине:
Окружность. Основные теоремы
Определения
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :
Следствие
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Доказательство
Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.
И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Доказательство
Теорема
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Доказательство
Теорема о произведении отрезков хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Теорема о касательной и секущей
Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство
Следствие
Угол между касательной и хордой
Урок геометрии в 10 классе УМК Л.С.Атанасян
МБОУ Верхличская СОШ Красногорского района Брянскойобласти
Учитель: Струговец Елена Васильевна
Тема урока: Угол между касательной и хордой.
Цель урока:
Систематизировать знания учащихся по разделу планиметрии «Углы, связанные с окружностью». Доказать теорему об угле между касательной и хордой. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач.
Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.
Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.
Тесты и карточки для ответов.
Организационный момент. (1 мин)
Проверить готовность учащихся к уроку, отметить отсутствующих.
Актуализация знаний. (7 мин)
Диктант (с последующей проверкой). Закончить прочитанное предложение.
Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным).
Отрезок, соединяющий две точки окружности называется … (хордой).
Мера дуги равна мере … (центрального угла).
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется…(касательной)
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания взаимно…(перпендикулярны)
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется… (секущей).
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр …(прямые)
Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки называется …(описанным).
2) Решение задач по чертежу.
Центральный угол АОВ на 30 0 больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
Мы знаем, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Докажем теорему об угле между касательной и хордой.
Теорема.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Доказательство.
Рис.1
Пусть АВ- данная хорда, СС 1 — касательная, проходящая через точку А. Если АВ- диаметр (рис.1), то заключенная внутри угла ВАС (и также
угла ВАС 1 ) дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС и ВАС 1 в этом случае прямые, поэтому утверждение теоремы верно.
Решение задач по чертежу. (5мин)
1. 
Если 
2. Если 
VI . Решение задач с оформлением. (7мин)
АВЕ=
АВ – по теореме об угле между касательной и хордой.
АВС=АС – вписанный угол.
2. Уметь доказывать теорему.
VIII . Подведение итогов. Самоанализ урока. (3мин)
Анализ работы учащихся на уроке. Выставление отметок.
Самоанализ по полученным знаниям
Имя ученика: _______________________________________
Углы, связанные с окружностью.
Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.
Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.
Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Навигация
Загрузки всякие
Связь
Содержание
Вписанный и центральный углы. Касательная
Угловой мерой дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается (по определению).
Если провести два радиуса, то образуется два центральных угла (сумма которых 360°) и две дуги окружности (сумма длин которых 2πR). Большему центральному углу соответствует большая дуга.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Проще говоря, угол (и центральный и вписанный) опирается на ту дугу, которая принадлежит части плоскости между сторонами угла.
Радианы — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r. Таким образом, на единичной окружности величина центрального угла в радианах равна длине стягивающей дуги.
Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.
Теорема. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или иначе говоря, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Следствия:
Следствие из 2-го следствия:
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности. 
Касательная
Касательная прямая к окружности в евклидовой геометрии на плоскости — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Также можно определить касательную как предельное положение секущей, когда точки пересечения её с окружностью бесконечно сближаются.
Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.
Построение касательной
Соединить данную точку P и центр окружности O. На отрезке OP нужно «восстановить» прямоугольный треугольник. Воспользуемся тем, что если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то этот угол прямой.
Касательная к двум окружностям
Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r
Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r
Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
Касательные прямые и бильярд
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Угол между касательной и хордой является вырожденным случаем вписанного угла, в котором вершина угла совпадает с одним из концов дуги.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Теорема о секущей и касательной
Квадрат отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство следует из подобия треугольников PMT и PTN https://i.imgur.com/C5EMn1t.jpg
Угол между секущими
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают.
Теорема выполняется, если заменить секущую на касательную к окружности.
Свойства дуг, хорд и углов окружности
