Доказать что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны

Теорема о трех перпендикулярах

Что такое теорема о трех перпендикулярах простыми словами

Как ее использовать в задачах

Как оформлять на ЕГЭ

Начнем с парочки вводных понятий, ты же хочешь жить по понятиям?

Если в плоскости альфа провести прямую KL через точку В так, что KL ⊥ BC, тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.т.п.) KL ⊥ BA.

Словами можно сказать так: прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость (верно и наоборот).

Перейдем к самому распространенному примеру:

1) Докажите, что в тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны.

У тетраэдра есть три пары скрещивающихся ребер. Докажем перпендикулярность одной пары, другие вы сделаете по аналогии, например, AD ⊥ BC.

Сейчас есть только наклонная AD и плоскость (ABC), значит, нам не хватает проекции наклонной и перпендикуляра, тогда проведем их:

Тогда, чтобы доказать, что AD ⊥ BC:
1) AH ⊥ BC (если продлить АН до пересечения с BC), т.к. AH является выстой в правильном треугольнике.
2) DH ⊥ (ABC) (по построению, а, значит, перпендикулярно любой прямой, находящейся в этой плоскости) => DH ⊥ BC.

После того, как мы это доказали, можем смело сказать, что AD ⊥ BC (всегда дожно быть доказательство двух пунктов, и только тогда вывод).

2) Докажите, что в прямом параллепипеде ребра B₁C и CD перпендикулярны.

Возьмем B₁C как наклонную к плоскости (ABCD), тогда перпендикуляром будет BB₁, а проекцией наклонной на эту плоскость — BC.

1) BB₁ ⊥ (ABCD) т.к. параллепипед прямой (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) => BB₁ ⊥ CD (если прямая перпендикулярна плоскости, то и перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости).
2) BC ⊥ CD т.к. ABCD — прямоугольник.
3) По т.т.п.: B₁C ⊥ CD.

Два пункта доказательства, третий пункт вывод.

3) Дана пирамида SABC с высотой AS, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с прямым углом A. Докажите, что SB⊥ AC.

Скажем, что BC — наклонная к плоскости (ABC):

1) SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ AC
2) AB ⊥ AC ( ABC — прямоугольный треугольник по условию).

Вывод:

Два пункта доказательство и вывод!
1) Перпендикуляр будет опускаться на плоскость под 90 °.
2) Проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой.
3) По т.т.п. наклонная перпендикулярна прямой.

Источник

Доказать что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны

Докажите, что если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания, то противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.

Пусть H — точка пересечения высот основания треугольной пирамиды SABC, тогда SH — высота пирамиды. Заметим, что AH — проекция наклонной SA на плоскость основания. Заметим, что AH перпендикулярна BC. По теореме о трех перпендикулярах SA перпендикулярна BC. Аналогично SB перпендикулярна AC и SC перпендикулярна AB.

Докажите, что в правильной четырёхугольной пирамиде SABCD диагональ BD основания ABCD перпендикулярна прямой, соединяющей центр основания и середину ребра SC.

Аналоги к заданию № 172: 173 Все

Докажите, что в прямой призме основанием которой является ромб ABCD, прямые и BD перпендикулярны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, тогда AC перпендикулярно BD. Так как призма прямая, то CC₁ перпендикулярно AC. Заметим, что AC — проекция AC₁ на плоскость основания (теорема о трех перпендикулярах). Так как AC перпендикулярно BD, то и AC₁ перпендикулярно BD.

Источник

Доказать что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.

а) Пусть L — середина SC, M — середина SA. Тогда (средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также это и есть описанная в условии плоскость А сечение пирамиды — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку Вычислим его угол.

поскольку проекция SB на плоскость ABC — высота BH треугольника ABC.

б) Проведем плоскость SBH, где H — середина AC. Пусть она пересекает ML и PK в точках T и Q соответственно. Эта плоскость перпендикулярна ML, поскольку Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ — средняя линия треугольника SHB и

Рассмотрим треугольник SHB. В нем Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении откуда длина этой высоты равна Теперь можно найти нужное расстояние.

Ответ:

Источник

Доказать что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.

б) Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC = 3 : 1.

А) Строим последовательно:

3. Отрезок AF. AFKB — искомое сечение.

Положение точек А, В и К задано условием задачи. Нам следует доказать:

1) F ∈ (ABK); 2) AFKB — трапеция. Докажем.

1) Из условия: DC || AB, по построению: KF || DC. Следовательно, KF || AB по свойству транзитивности отношения параллельности. Так как через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость, то F ∈ (ABK).

2) Для доказательства того, что AFKB — трапеция, достаточно убедиться, что AF и KB не параллельны. Предположим, что AF || KB, тогда AFKB — параллелограмм, откуда: FK = AB, следовательно, FK = CD, чего быть не может, так как по смыслу задачи FK Ответ: Б)

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K так, что AK : KB = 5 : 1.

а) Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью MKC в отношении 5:1.

б) Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

а) Объем пирамиды равен произведению высоты на одну треть площади основания. Заметим, что у пирамид AKCM и BKCM общая высота, проведенная из вершины M. Основания этих пирамид − треугольники AKC и BKC соответственно. У этих треугольников, в свою очередь, общая высота, проведенная из вершины C, поэтому их площади относятся как . Следовательно, так же относятся и объемы пирамид AKCM и BKCM.

б) Пусть L — середина AB. Тогда

Пусть BN — высота грани BMC, а MH — высота грани AMC. Посчитаем площади равных треугольников BMC и AMC двумя разными способами: откуда

Искомый угол между гранями равен углу, противолежащему основанию равнобедренного треугольника ANB. Этот угол равен удвоенному углу BNL. В прямоугольном треугольнике BNL имеем:

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде PABC (P — вершина) точка K – середина AB, точка M — середина BC, точка N лежит на ребре АР, причем АN : NP = 1 : 3.

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки N, K, M, является равнобедренная трапеция.

б) Найдите угол между плоскостями NKM и ABC, если известно, что AB = 6, АР = 8.

а) Отметим на ребре PC точку T так, что Тогда откуда KMTN — трапеция. Заметим далее, что поэтому треугольники CTM и ANK равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, и трапеция равнобедренная.

(очевидно, так что это не параллелограмм).

б) Пусть H — середина AC, тогда Обозначим за O центр основания пирамиды, за E и F пересечение KM и NT с плоскостью PHB соответственно, за G — проекцию точки F на плоскость ABC (очевидно, она лежит на BH). Тогда FE, (поскольку лежат в плоскости BHP) и линейный угол искомого двугранного угла это Теперь проведем некоторые вычисления.

(поскольку

Тогда

Ответ:

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Прямая S₁M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересечения медиан треугольника SAS₁ и O — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC = 1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S₁LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равнобокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 6, поскольку ABCD — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 3, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна

Аналоги к заданию № 512357: 513347 512399 513366 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении считая от вершины A, точка K — делит сторону BC в отношении считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости если известно, что

а) Заметим, что поэтому треугольники PBK и ABC подобны, а тогда PK || AC. Поскольку плоскость проходит через прямую PK, параллельную плоскости ASC, пересекает ASC по прямой, параллельной PK. Пусть эта прямая пересекает SA и SC в точках M и L соответственно. Тогда прямые PK, AC и LM параллельны.

Кроме того, по условию, поэтому прямые MP и LK параллельны SB, а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике LMKP противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение — параллелограмм.

Скрещивающиеся рёбра правильной пирамиды взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярны соответственно параллельные им прямые LM и LK. Тем самым, стороны сечения перпендикулярны, следовательно, сечение — прямоугольник. Это и требовалось доказать.

б) Пусть H — середина AC. Проведём SH и BH и пусть плоскость SHB пересекает по прямой QR. Тогда QR || SB, а расстояние от точки S до плоскости равно d(SB, QR) — расстоянию между параллельными прямыми SB и QR. Найдем его.

В треугольнике SHB длина Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников BHT и SHT получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно,

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 525393: 526014 526216 Все

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

а) Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает медиану BB₁ основания BCD в точке T. Тогда BT : TB₁ = 4 : 5, поскольку BO также является медианой треугольника SS₁B.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LB₁ = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB₁ — медиана треугольника BCD. Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём и Из равенства треугольников BMP и DKL получим а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

а) Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает медиану BB₁ основания BCD в точке T. Тогда поскольку BO также является медианой треугольника SS₁B.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении так как и отрезок BB₁ — медиана треугольника BCD. Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём и Из равенства треугольников BMP и DKL получим а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 14, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 9, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

Аналоги к заданию № 530673: 530693 Все

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20, а боковое ребро —

а) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Обозначим K — середину ребра АВ, L — середину ребра AD. Так как плоскость сечения параллельна ребру AM, то она пересекает грани MAB и MAD по прямым, параллельным AM — средним линиям треугольников MAB и MAD. Полученное сечение пересекает ребра AB, AD, MB и MD, а, следовательно, и все грани пирамиды. Таким образом, сечение является пятиугольником.

Обозначим теперь P — середину ребра MB и Q — середину ребра MD. Полученные точки являются точками пересечения сечения с ребрами пирамиды. При этом отрезки PK, AM и QL параллельны и отрезки KL и BD параллельны. Прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, а, следовательно, и прямой AM, значит, отрезки PK и QL перпендикулярны отрезку KL, а углы PKL и QLK — прямые.

Обозначим точку пересечения сечения с ребром MC — R, с прямой AC — T (середина KL), с высотой пирамиды MO — S (середина PQ). Заметим, что Таким образом, KLQP — квадрат со стороной

Отрезки RT и AM параллельны, следовательно, треугольник RTC подобен треугольнику MAC с коэффициентом и отрезок RT равен Таким образом отрезки RS, PS и SQ равны друг другу и равны Из вышесказанного следует, что треугольник PRQ — прямоугольный и угол PRQ — прямой.

б) Как было сказано в п. а) сечение разбивается на квадрат со стороной и равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой и высотой Найдем площадь сечения:

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 12. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Прямая S₁M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересечения медиан треугольника SAS₁ и O — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC = 1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S₁LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равнобокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 12, поскольку ABCD — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 6, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна

Аналоги к заданию № 512357: 513347 512399 513366 Все

В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N — середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ = 8, АР = 6.

а) Выразим формулу объёма пирамиды NEFMK из объёма пирамиды PABC:

( поскольку плоскость делит высоту пирамиды пополам и параллельна плоскости основания).

б) Пусть — середина Тогда — оба они подобны с коэффициентом Следовательно, они оба равносторонние. Центр сферы будет лежать на высоте пирамиды, которая равна

Поскольку равны и их радиусы описанных окружностей. Они равны А центр сферы лежит посредине между плоскостями этих треугольников. Поэтому расстояние от него до плоскостей равно и тогда радиус сферы равен

Ответ: б)

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4.

а) Докажите, что объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.

б) Найдите площадь этого сечения.

равен объёму пирамиды.

б) Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Ответ :

Аналоги к заданию № 504416: 504437 511387 Все

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

а) Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает отрезок BB₁, являющийся медианой треугольника BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁ = 4 : 5, так как T — точка пересечения медиан треугольника SS₁B, а O — точка пересечения медиан треугольника BCD.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LВ₁ = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7, а BB₁ — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём в треугольнике SBD через точку M среднюю линию, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

почему в 1-ом предложении решения BT : TB1 = 4:5, что это за свойство? «по­сколь­ку BB1 также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка SS1B.» такого свойства нет

Это хорошо всем известное свойство медианы, остается только правильно воспользоваться им дважды.

Скажите, откуда вы берете отношение 4:5? Можете это свойство медиан объяснить?

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает медиану BB₁ основания BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁ = 4 : 5, поскольку BB₁ также является медианой треугольника SS₁B.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LВ₁ = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB₁ — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобокая трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 14, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 9, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

Аналоги к заданию № 512357: 513347 512399 513366 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.

а) Пусть L — середина SC, M — середина SA. Тогда (средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также это и есть описанная в условии плоскость А сечение пирамиды — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку Вычислим его угол.

поскольку проекция SB на плоскость ABC — высота BH треугольника ABC.

б) Проведем плоскость SBH, где H — середина AC. Пусть она пересекает ML и PK в точках T и Q соответственно. Эта плоскость перпендикулярна ML, поскольку Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ — средняя линия треугольника SHB и

Рассмотрим треугольник SHB. В нем Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении откуда длина этой высоты равна Теперь можно найти нужное расстояние.

Ответ:

В правильной пирамиде SABC ребра AB = 2, SC = 3. Через среднюю линию MN треугольника АВС, параллельную AB, проведено сечение минимальной площади пирамиды SABC, пересекающее ребро SC.

а) Докажите, что это сечение перпендикулярно ребру SC.

б) Найдите площадь этого сечения

а) Пусть — точка пересечения этого сечения с ребром — середина Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому Значит,

Поэтому площадь минимальна, если — кратчайшее расстояние от до Значит, прямая перпендикулярна прямой Кроме того, прямая перпендикулярна прямой поскольку проекция на плоскость основания — высота треугольника проведенная из она перпендикулярна а тогда и Значит, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости поэтому прямая перпендикулярна плоскости

б) Вычислим высоту пирамиды. Она равна:

поскольку падает в такую точку на высоте основания что и Далее,

Как уже установлено в пункте а) Значит,

Ответ:

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 12. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 : 1, считая от вершины M.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Через точки N и K проведём прямые, параллельные ребру AD. Эти прямые пересекают рёбра MD и MC в точках P и L соответственно. Четырёхугольник KLPN — сечение пирамиды указанной плоскостью. Стороны NP и KL параллельны и не равны. Следовательно, KLPN — трапеция. В треугольниках NMK и PML углы при вершине M равны, ML = MK, MN = MP. Следовательно, треугольники равны, и поэтому NK = PL. Таким образом, трапеция KLPN равнобедренная.

б) Пусть NH — высота трапеции KLPN. Имеем

Найдём NK из треугольника NMK. Имеем NM = NP = 6, MK = KL = 8. По теореме косинусов,

Поскольку трапеция равнобедренная,

По теореме Пифагора из треугольника KHN получаем:

Следовательно, площадь трапеции равна

Ответ: б)

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 5:1, считая от вершины M.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Через точки N и K проведём прямые, параллельные ребру AD. Эти прямые пересекают рёбра MD и MC в точках P и L соответственно. Четырёхугольник KLPN — сечение пирамиды указанной плоскостью. Стороны NP и KL параллельны и не равны. Следовательно, KLPN — трапеция. В треугольниках NMK и PML углы при вершине M равны, ML = MK, MN = MP. Следовательно, треугольники равны, и поэтому NK = PL. Таким образом, трапеция KLPN равнобедренная.

б) Пусть NH — высота трапеции KLPN. Имеем

Найдём NK из треугольника NMK. Имеем NM = NP = 3, MK = KL = 5. По теореме косинусов,

Поскольку трапеция равнобедренная,

По теореме Пифагора из треугольника KHN получаем:

Следовательно, площадь трапеции равна

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 519810: 519829 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью параллельно прямой BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости если известно, что

а) Треугольники SNK и SBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, поэтому отрезок NK параллелен ВС. Поскольку прямая ВС параллельна лежащей в плоскости сечения прямой NK, она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Пусть H — середина BC. Проведём SH и AH и пусть плоскость SHA пересекает по прямой QR (см. рис.). Тогда QR и SА параллельны, а расстояние от точки B до плоскости равно расстоянию от точки Н до плоскости

В треугольнике SHA имеем: Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора для треугольников ATH и STH, получаем:

Тогда

По построению, отрезок НT перпендикулярен ребру SA. В силу параллельности SA и QR, отрезки НT и QR также перпендикулярны. Кроме того, ребро ВС перпендикулярно плоскости SHA по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и ВС перпендикулярно НT. Но ВС параллельно NK, поэтому НT и NK перпендикулярны. Тем самым, прямая НT перпендикулярна двум пересекающимся прямым NK и QR, лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения.

Треугольники SNK и SBC подобны с коэффициентом поэтому а тогда треугольники QHR и SHA подобны с коэффициентом Это означает, что плоскость сечения делит высоту HT в отношении 2:1, считая от точки Н. Следовательно, расстояние между Н и QR равно двум третьим высоты HT или

Ответ: б)

В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник ABC со стороной В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник A₁B₁C₁ так, что он повернут относительно треугольника ABC на угол 60°.

а) Докажите, что четырехугольник ABB₁C₁ — прямоугольник.

а) Рассмотрим угол между прямыми и по условию, он равен 60°. При этом как центральный в равностороннем треугольнике. Значит, угол между и равен 180° или, иными словами, Очевидно, что следовательно, Кроме того, таким образом, — параллелограмм. Пусть теперь, B’ — проекция на нижнее основание. Так как отрезок — диаметр, следовательно, угол ABB’ — прямой. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, а — прямоугольник.

б) Требуемый многогранник можно разбить на две равных четырехугольных пирамиды, общим основанием которых является прямоугольник а вершинами — точки и Одна из сторон основания — сторона треугольника Вторую сторону найдем из прямоугольного треугольника Отрезок является катетом прямоугольного треугольника с катетом и откуда Таким образом, а Осталось найти высоты пирамид.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра проходящее через точки и Пусть MN — линия его пересечения с прямоугольником где M — середина AB, а N — Опустим на MN из перпендикуляр докажем, что это высота пирамиды, и найдем ее.

Заметим, что и следовательно, Отрезок AH лежит в плоскости значит, Кроме того, (по построению), тогда и является высотой пирамиды.

Точка является центром верхнего основания, следовательно, а Очевидно, что следовательно, а тогда то есть, по теореме теореме Пифагора, имеем откуда

Тогда

Ответ:

Источник