Доказать что векторы компланарны

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах

-определение компланарных векторов.

— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

— основы векторного метода решения задач.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.

Противоположно направлены и их длины равны.

Сонаправлены и их длины равны.

Лежат на одной или параллельных прямых

Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим некоторые случаи:

1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.

3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны

Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Часть 2. Векторный метод решения задач

Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.

Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Докажем, что точка О лежит на прямой МN.

Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.

Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ М —точка пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁, точка K — середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁, KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.

Решение. Введем векторы: . Векторы некомпланарны.

Разложим векторы и по векторам. Получим:

+= .

Тогда векторы = + компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А₁В₁, KМ и ВС₁.

Источник

Компланарные векторы

Урок 37. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Компланарные векторы»

Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.

И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.

Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.

Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.

Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.

Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.

Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.

прямоугольный параллелепипед.

Компланарны ли векторы?

а) , ,

б) , ,

Первой рассмотрим тройку .

Через векторы и проведём плоскость ACC₁.

Рассмотрим следующую тройку векторов. .

В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.

Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.

Если вектор можно разложить по векторам и , то есть представить его в таком виде , где x и y некоторые числа. То векторы , и компланарны.

Докажем данный признак.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.

Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.

По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы , и действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.

Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.

Если векторы , и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы и являются такими по условию.

Тогда отложим векторы , и от некоторой точки О плоскости.

Вектор равен сумме векторов и , каждый из которых коллинеарен векторам и соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор представить в виде произведения вектора и некоторого числа x, а вектор — в виде произведения вектора и некоторого числа y.

Отсюда получаем, что вектор равен сумме произведений вектора на число x и вектора на число y.

Тем самым мы смогли разложить вектор по векторам и .

Что и требовалось доказать.

Для параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ среди данных троек векторов найти компланарные.

Первой рассмотрим тройку векторов .

Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.

Далее рассмотрим векторы , и .

Векторы и лежат в одной плоскости, а вектор пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.

Следующей рассмотрим тройку векторов , и .

Среди них есть пара коллинеарных векторов, и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.

Осталось рассмотреть тройку векторов , и .

В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору . Но для вектора в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.

Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.

Задача. тетраэдр. Точки и — середины сторон и . Доказать, что . Компланарны ли векторы , и ?

Итак, сначала проведём доказательство.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что . С другой стороны вектор .

Сложим покомпонентно эти два равенства.

Векторы и , а также и противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.

Тогда мы получаем, что .

Что и требовалось доказать.

Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы , и .

Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.

Так мы записали разложение вектора по векторам и , где оба коэффициента разложения равны .

Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.

Если вектор можно разложить по неколлинеарным векторам и , то векторы , и компланарны.

Справедливо также и обратное утверждение.

Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Источник